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9. 项目式学习。
| 项目问题 | 证明三角形内角和是$180°$。 |
| --- | --- |
| 项目目的 | 通过深入探索并论证三角形内角和定理，从小学的实验验证，逐步迈向初中的严谨论证，体验数学的严谨性和逻辑性。 |
| 问题提出 | 如图7-9①②，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想；然而实验会存在误差，不符合数学证明的严谨性。因此不禁要问：是否可以通过逻辑推理来证明三角形内角和定理呢？
图7-9 |
续表
| 思路启迪 | 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？ |
| --- | --- |
| 思考尝试 | 请过三角形的顶点A添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于证明三角形内角和定理，要求如下：
1. 用两种不同的方法（后续论证方法不同）对图7-9③④添加辅助线；
2. 用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述。
|
| 逻辑论证 | 在上述图形中，选择其中一种方法，完成三角形内角和定理的证明。 |
| 触类旁通 | 小华同学经过思考，发现在$△ ABC$的边AB上任意取一点P（如图7-9⑤），添加合适的辅助线，也能证明“三角形内角和定理”。
图7-9 |
(1)完成“思考尝试”中的操作与描述；
(2)写出“逻辑论证”中的证明过程；
(3)写出“触类旁通”中的证明过程。
| 项目问题 | 证明三角形内角和是$180°$。 |
| --- | --- |
| 项目目的 | 通过深入探索并论证三角形内角和定理，从小学的实验验证，逐步迈向初中的严谨论证，体验数学的严谨性和逻辑性。 |
| 问题提出 | 如图7-9①②，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想；然而实验会存在误差，不符合数学证明的严谨性。因此不禁要问：是否可以通过逻辑推理来证明三角形内角和定理呢？
图7-9 |
续表
| 思路启迪 | 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？ |
| --- | --- |
| 思考尝试 | 请过三角形的顶点A添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于证明三角形内角和定理，要求如下：
1. 用两种不同的方法（后续论证方法不同）对图7-9③④添加辅助线；
2. 用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述。
|| 逻辑论证 | 在上述图形中，选择其中一种方法，完成三角形内角和定理的证明。 |
| 触类旁通 | 小华同学经过思考，发现在$△ ABC$的边AB上任意取一点P（如图7-9⑤），添加合适的辅助线，也能证明“三角形内角和定理”。
图7-9 |
(1)完成“思考尝试”中的操作与描述；
(2)写出“逻辑论证”中的证明过程；
(3)写出“触类旁通”中的证明过程。
答案
9. (1) 如答图7-1①,过点 A 作$MN// BC$。
如答图7-1②,延长 BC 至点 E,过点 C 作$CF// AB$。
(2) 证明:如答图7-1①,过点 A 作$MN// BC$。
因为 $MN// BC$,
所以$∠ B=∠ MAB,∠ C=∠ NAC$。
因为$∠ MAB+∠ BAC+∠ NAC=180°$,
所以$∠ B+∠ BAC+∠ C=180°$。
或如答图7-1②,延长 BC 至点 E,过点 C 作$CF// AB$。
因为 $CF// AB$,
所以$∠ B=∠ ECF,∠ A=∠ ACF$。
因为$∠ ACB+∠ ACF+∠ ECF=180°$,
所以$∠ ACB+∠ A+∠ B=180°$。
(3) 证明:如答图7-1③,过点 P 作 $PM// BC$ 交 AC 于 M,作$PQ// AC$ 交 BC 于 Q,
因为 $PM// BC$,
所以$∠ APM=∠ B,∠ MPQ=∠ BQP$。
因为 $PQ// AC$,
所以$∠ C=∠ BQP,∠ A=∠ BPQ$,
所以$∠ C=∠ MPQ$。
因为$∠ APM+∠ MPQ+∠ BPQ=180°$,
所以$∠ B+∠ C+∠ A=180°$。
解析
【分析】
要证明三角形内角和为180°，核心思路是利用“平角为180°”的已知结论，通过平行线的角相等性质，将三角形的三个内角等量转移到同一顶点处拼成平角，实现等量代换证明结论：
1. 构造辅助线时，围绕“做平行线转移角”的方向设计，两种不同方法分别选择过三角形顶点作对边平行线、延长边后做平行线的方式即可；
2. 证明时先根据平行线性质得到对应角相等，再结合平角的度数特征，等量代换即可得到三个内角的和为180°；
3. 第三问在边上取点的情况，通过做两条平行线，分别将三个内角转移到边上的取点处拼成平角，同理推导即可。
【解析】
(1) 两种辅助线构造方法：
方法一：过点A作直线MN，使$MN// BC$；
方法二：延长BC到点E，过点C作$CF// AB$。
(2) 选择方法一证明：
过点A作$MN// BC$，
∵ $MN// BC$（已作），
∴ $∠B=∠MAB$，$∠C=∠NAC$（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°$（平角的定义），
∴ $∠B+∠BAC+∠C=180°$（等量代换），即三角形内角和为180°。
（若选方法二：延长BC至E，过C作$CF// AB$，
∵ $CF// AB$，
∴ $∠B=∠ECF$（两直线平行，同位角相等），$∠A=∠ACF$（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $∠ACB+∠ACF+∠ECF=180°$（平角定义），
∴ $∠ACB+∠A+∠B=180°$。）
(3) 过点P作$PM// BC$交AC于点M，作$PQ// AC$交BC于点Q，
∵ $PM// BC$（已作），
∴ $∠APM=∠B$（两直线平行，同位角相等），$∠MPQ=∠BQP$（两直线平行，内错角相等），
∵ $PQ// AC$（已作），
∴ $∠C=∠BQP$（两直线平行，同位角相等），$∠A=∠BPQ$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠C=∠MPQ$（等量代换），
又
∵ $∠APM+∠MPQ+∠BPQ=180°$（平角定义），
∴ $∠B+∠C+∠A=180°$（等量代换），即三角形内角和为180°。
【答案】
9. (1) 如答图7-1①,过点 A 作$MN// BC$。
如答图7-1②,延长 BC 至点 E,过点 C 作$CF// AB$。
(2) 证明:如答图7-1①,过点 A 作$MN// BC$。
因为 $MN// BC$,
所以$∠ B=∠ MAB,∠ C=∠ NAC$。
因为$∠ MAB+∠ BAC+∠ NAC=180°$,
所以$∠ B+∠ BAC+∠ C=180°$。
或如答图7-1②,延长 BC 至点 E,过点 C 作$CF// AB$。
因为 $CF// AB$,
所以$∠ B=∠ ECF,∠ A=∠ ACF$。
因为$∠ ACB+∠ ACF+∠ ECF=180°$,
所以$∠ ACB+∠ A+∠ B=180°$。
(3) 证明:如答图7-1③,过点 P 作 $PM// BC$ 交 AC 于 M,作$PQ// AC$ 交 BC 于 Q,
因为 $PM// BC$,
所以$∠ APM=∠ B,∠ MPQ=∠ BQP$。
因为 $PQ// AC$,
所以$∠ C=∠ BQP,∠ A=∠ BPQ$,
所以$∠ C=∠ MPQ$。
因为$∠ APM+∠ MPQ+∠ BPQ=180°$,
所以$∠ B+∠ C+∠ A=180°$。
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形内角和定理的证明展开，通过多种辅助线构造方法，体现了数学中的转化思想，能有效锻炼逻辑推理能力和辅助线构造能力，加深对平行线性质应用的理解，也让学生体会到数学证明的严谨性。
【难度系数】
0.7
要证明三角形内角和为180°，核心思路是利用“平角为180°”的已知结论，通过平行线的角相等性质，将三角形的三个内角等量转移到同一顶点处拼成平角，实现等量代换证明结论：
1. 构造辅助线时，围绕“做平行线转移角”的方向设计，两种不同方法分别选择过三角形顶点作对边平行线、延长边后做平行线的方式即可；
2. 证明时先根据平行线性质得到对应角相等，再结合平角的度数特征，等量代换即可得到三个内角的和为180°；
3. 第三问在边上取点的情况，通过做两条平行线，分别将三个内角转移到边上的取点处拼成平角，同理推导即可。
【解析】
(1) 两种辅助线构造方法：
方法一：过点A作直线MN，使$MN// BC$；
方法二：延长BC到点E，过点C作$CF// AB$。
(2) 选择方法一证明：
过点A作$MN// BC$，
∵ $MN// BC$（已作），
∴ $∠B=∠MAB$，$∠C=∠NAC$（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°$（平角的定义），
∴ $∠B+∠BAC+∠C=180°$（等量代换），即三角形内角和为180°。
（若选方法二：延长BC至E，过C作$CF// AB$，
∵ $CF// AB$，
∴ $∠B=∠ECF$（两直线平行，同位角相等），$∠A=∠ACF$（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $∠ACB+∠ACF+∠ECF=180°$（平角定义），
∴ $∠ACB+∠A+∠B=180°$。）
(3) 过点P作$PM// BC$交AC于点M，作$PQ// AC$交BC于点Q，
∵ $PM// BC$（已作），
∴ $∠APM=∠B$（两直线平行，同位角相等），$∠MPQ=∠BQP$（两直线平行，内错角相等），
∵ $PQ// AC$（已作），
∴ $∠C=∠BQP$（两直线平行，同位角相等），$∠A=∠BPQ$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠C=∠MPQ$（等量代换），
又
∵ $∠APM+∠MPQ+∠BPQ=180°$（平角定义），
∴ $∠B+∠C+∠A=180°$（等量代换），即三角形内角和为180°。
【答案】
9. (1) 如答图7-1①,过点 A 作$MN// BC$。
如答图7-1②,延长 BC 至点 E,过点 C 作$CF// AB$。
(2) 证明:如答图7-1①,过点 A 作$MN// BC$。
因为 $MN// BC$,
所以$∠ B=∠ MAB,∠ C=∠ NAC$。
因为$∠ MAB+∠ BAC+∠ NAC=180°$,
所以$∠ B+∠ BAC+∠ C=180°$。
或如答图7-1②,延长 BC 至点 E,过点 C 作$CF// AB$。
因为 $CF// AB$,
所以$∠ B=∠ ECF,∠ A=∠ ACF$。
因为$∠ ACB+∠ ACF+∠ ECF=180°$,
所以$∠ ACB+∠ A+∠ B=180°$。
(3) 证明:如答图7-1③,过点 P 作 $PM// BC$ 交 AC 于 M,作$PQ// AC$ 交 BC 于 Q,
因为 $PM// BC$,
所以$∠ APM=∠ B,∠ MPQ=∠ BQP$。
因为 $PQ// AC$,
所以$∠ C=∠ BQP,∠ A=∠ BPQ$,
所以$∠ C=∠ MPQ$。
因为$∠ APM+∠ MPQ+∠ BPQ=180°$,
所以$∠ B+∠ C+∠ A=180°$。
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形内角和定理的证明展开，通过多种辅助线构造方法，体现了数学中的转化思想，能有效锻炼逻辑推理能力和辅助线构造能力，加深对平行线性质应用的理解，也让学生体会到数学证明的严谨性。
【难度系数】
0.7
