二、拓展性作业
9. 小明和小强一起研讨一道数学题:如图 7-3-19,点 E,F 分别在直线 CD,AB 上,连接 BE,CF,FD,BE ⊥ FD 于点 G。∠FCD = ∠1,∠2+∠FDC=90°,你能得出哪些结论?
①小明得出结论:∠2 与∠3 的数量关系是相等；
②小强得出结论:∠B=∠FCD。
你认为小明和小强的结论正确吗?若正确,请说明理由;若不正确,请写出正确的结论并说明理由。

图 7-3-19

9. 解:①小明的结论错误,正确结论是∠2与∠3互余。
理由:因为∠1=∠FCD,
所以BE//CF。
又因为DF⊥BE,
所以DF⊥CF。
所以∠CFD=90°。
所以∠2+∠3=90°。
②小强的结论正确。
理由:由①知∠2+∠3=90°。
又因为∠2+∠FDC=90°,
所以∠3=∠FDC。
所以AB//CD。
所以∠1=∠B。
又因为∠FCD=∠1,
所以∠B=∠FCD。

【分析】
解题时先从已知角相等入手判断直线平行：首先由∠FCD=∠1，根据同位角相等两直线平行可得BE//CF；再结合BE⊥FD的条件，可推出CF⊥FD得到∠CFD=90°，结合平角定义就能得到∠2和∠3的数量关系，判断小明的结论是否正确。接着利用已知∠2+∠FDC=90°，结合前面得到的∠2+∠3=90°，根据同角的余角相等得到∠3=∠FDC，进而推出AB//CD，再结合平行线的性质和已知角的等量关系，即可判断小强的结论是否正确。
【解析】
①判断小明的结论：
∵∠FCD=∠1，
∴BE//CF（同位角相等，两直线平行），
∵DF⊥BE，
∴DF⊥CF（一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条），
∴∠CFD=90°，
∵点F在AB上，∠2+∠3+∠CFD=180°，
∴∠2+∠3=180°-90°=90°，即∠2与∠3互余，因此小明的结论错误。
②判断小强的结论：
由①可知∠2+∠3=90°，
又
∵∠2+∠FDC=90°，
∴∠3=∠FDC（同角的余角相等），
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠FCD=∠1，
∴∠B=∠FCD（等量代换），因此小强的结论正确。
【答案】
①小明的结论错误，正确结论是∠2与∠3互余。理由：因为∠1=∠FCD，所以BE//CF。又因为DF⊥BE，所以DF⊥CF，所以∠CFD=90°，所以∠2+∠3=90°。
②小强的结论正确。理由：由①知∠2+∠3=90°，又因为∠2+∠FDC=90°，所以∠3=∠FDC，所以AB//CD，所以∠1=∠B，又因为∠FCD=∠1，所以∠B=∠FCD。
【知识点】
平行线的判定与性质，垂直的性质，余角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，需要结合已知条件逐步推导平行、垂直关系，再利用角的等量关系得出结论，解题时要注意每一步推导都要有对应的定理作为依据，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

10. (1)【问题】如图 7-3-20 ①,若 $AB // CD$, $∠ BEP=25°$, $∠ PFC=150°$。求 $∠ EPF$ 的度数。
(2)【问题迁移】如图 7-3-20 ②, $AB // CD$, 点 $P$ 在 $AB$ 的上方, 问 $∠ PEA$, $∠ PFC$, $∠ EPF$ 之间有何数量关系? 请说明理由。
(3)【联想拓展】如图 7-3-20 ③, 在(2)的条件下, 已知 $∠ EPF=α$, $∠ PEA$ 的平分线和 $∠ PFC$ 的平分线交于点 $G$, 用含有 $α$ 的式子表示 $∠ G$ 的度数。

10. 解:(1)如答图7-3-2,过点P作PQ//AB,
因为PQ//AB,AB//CD,
所以CD//PQ。
所以∠CFP+∠FPQ=180°
所以∠FPQ=180°-150°=30°,
又因为PQ//AB,
所以∠BEP=∠EPQ=25°,
所以∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=25°+30°=55°。
(2)∠PFC=∠PEA+∠EPF,
理由:如答图7-3-3,过P点作PN//AB,则PN//CD,
所以∠PEA=∠NPE。
因为∠FPN=∠NPE+∠FPE,
所以∠FPN=∠PEA+∠FPE。
因为PN//CD,
所以∠FPN=∠PFC,
所以∠PFC=∠PEA+∠FPE。
(3)如答图7-3-4,过点G作AB的平行线GH。
因为GH//AB,AB//CD,
所以GH//AB//CD,
所以∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG。
又因为∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,
所以∠HGE=∠AEG=$\frac{1}{2}$∠AEP,∠HGF=∠CFG=$\frac{1}{2}$∠CFP,
同理(2),∠CFP=∠P+∠AEP,
所以∠HGF=$\frac{1}{2}$(∠P+∠AEP)=$\frac{1}{2}$(α+∠AEP),
所以∠EGF=∠HGF-∠HGE=$\frac{1}{2}$(α+∠AEP)-∠HGE=$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{2}$∠AEP-∠HGE=$\frac{1}{2}$α。

【分析】
(1) 本题属于平行线间的拐角求角度问题，解题核心是过拐点作平行线：过点P作平行于AB的辅助线，根据平行公理的推论可得该辅助线也平行于CD，再利用平行线的同旁内角互补、内错角相等的性质，将∠EPF拆分为两个可计算的角，求和即可得到结果。
(2) 探究三个角的数量关系依然使用作平行线的方法：过点P作AB的平行线，借助平行线的内错角相等的性质，将∠PFC和∠PEA、∠EPF转化到同一组角的和差关系中，即可推导得到三者的数量关系。
(3) 本问是前两问的延伸，先过点G作AB的平行线，类比第二问的角度转化方法，结合角平分线的定义将∠G的两个组成部分用已知量表示，再代入第二问的结论化简，即可得到∠G与α的关系。
【解析】
(1) 如答图7-3-2，过点P作PQ//AB，
因为PQ//AB，AB//CD，
所以CD//PQ，
所以∠CFP+∠FPQ=180°，
所以∠FPQ=180°-150°=30°，
又因为PQ//AB，
所以∠BEP=∠EPQ=25°，
所以∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=25°+30°=55°。
(2) ∠PFC=∠PEA+∠EPF，理由如下：
如答图7-3-3，过P点作PN//AB，则PN//CD，
所以∠PEA=∠NPE，
因为∠FPN=∠NPE+∠FPE，
所以∠FPN=∠PEA+∠FPE，
因为PN//CD，
所以∠FPN=∠PFC，
所以∠PFC=∠PEA+∠FPE。
(3) 如答图7-3-4，过点G作AB的平行线GH。
因为GH//AB，AB//CD，
所以GH//AB//CD，
所以∠HGE=∠AEG，∠HGF=∠CFG，
又因为∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
所以∠HGE=∠AEG=$\frac{1}{2}$∠AEP，∠HGF=∠CFG=$\frac{1}{2}$∠CFP，
同理(2)，∠CFP=∠P+∠AEP，
所以∠HGF=$\frac{1}{2}$(∠P+∠AEP)=$\frac{1}{2}$(α+∠AEP)，
所以∠EGF=∠HGF-∠HGE=$\frac{1}{2}$(α+∠AEP)-$\frac{1}{2}$∠AEP=$\frac{1}{2}$α。
【答案】
(1) $\boldsymbol{55°}$
(2) $\boldsymbol{∠PFC=∠PEA+∠EPF}$
(3) $\boldsymbol{∠G=\frac{1}{2}α}$
辅助线图：
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行公理推论
【点评】
本题是平行线中典型的拐角模型探究题，解题核心是过拐点作已知直线的平行线，将未知角转化为平行线间的内错角、同旁内角求解。题目层级设置清晰，前一问的结论可直接为后一问推导提供支撑，掌握此类辅助线的构造方法是解决同类问题的关键。
【难度系数】
0.6