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6. 请你参与下面的探究过程，完成所提出的问题。
(1)问题引入:如图7-3-16①,直线AB,BC,AC两两相交,交点分别为A,B,C,点M在线段BA上,过M作MN//AC交BC于点N,过点N作NP//AB交AC于点P。若∠BAC=53°,求∠MNP的度数。请将下面的解答过程补充完整。
解:∵NP//AB,
∴∠MNP=
又∵MN//AC,
∴
∴∠MNP=∠BAC（
又∵∠BAC=53°,∴∠MNP=
(2)类比探究:
如图7-3-16②,直线AB,BC,AC两两相交,交点分别为A,B,C,点M在线段BA的延长线上,过M作MN//AC交BC的延长线于点N,过点N作NP//AB交AC的延长线于点P。若∠BAC=53°,求∠MNP的度数,并说明理由。
(3)归纳总结:如果∠BAC的两边分别平行于∠MNP的两边,请直接写出∠BAC与∠MNP的数量关系:
(1)问题引入:如图7-3-16①,直线AB,BC,AC两两相交,交点分别为A,B,C,点M在线段BA上,过M作MN//AC交BC于点N,过点N作NP//AB交AC于点P。若∠BAC=53°,求∠MNP的度数。请将下面的解答过程补充完整。
解:∵NP//AB,
∴∠MNP=
∠BMN
（两直线平行,内错角相等
）。又∵MN//AC,
∴
∠BMN
=∠BAC（两直线平行,同位角相等
）,∴∠MNP=∠BAC（
等量代换
）。又∵∠BAC=53°,∴∠MNP=
53°
。(2)类比探究:
如图7-3-16②,直线AB,BC,AC两两相交,交点分别为A,B,C,点M在线段BA的延长线上,过M作MN//AC交BC的延长线于点N,过点N作NP//AB交AC的延长线于点P。若∠BAC=53°,求∠MNP的度数,并说明理由。
(3)归纳总结:如果∠BAC的两边分别平行于∠MNP的两边,请直接写出∠BAC与∠MNP的数量关系:
相等或互补
。答案
6. (1)∠BMN 两直线平行,内错角相等 ∠BMN 两直线平行,同位角相等 等量代换 53°
(2)解:∠MNP=127°。
理由:因为AB//NP,
所以∠BAC=∠APN。
又因为AP//MN,
所以∠APN+∠MNP=180°。
所以∠BAC+∠MNP=180°。
又因为∠BAC=53°,
所以∠MNP=180°-53°=127°。
(3)相等或互补
(2)解:∠MNP=127°。
理由:因为AB//NP,
所以∠BAC=∠APN。
又因为AP//MN,
所以∠APN+∠MNP=180°。
所以∠BAC+∠MNP=180°。
又因为∠BAC=53°,
所以∠MNP=180°-53°=127°。
(3)相等或互补
解析
【分析】
(1) 第(1)问利用平行线的性质推导角的关系：首先由NP//AB，根据平行线的内错角相等找到与∠MNP相等的角；再由MN//AC，根据平行线的同位角相等得到该角与∠BAC相等，通过等量代换即可求出∠MNP的度数。
(2) 第(2)问类比第(1)问的思路，同样使用平行线的性质：先由NP//AB得到∠BAC与∠APN相等，再由MN//AC得到∠APN与∠MNP互补，通过等量代换得到∠MNP与∠BAC互补，代入角度计算即可。
(3) 第(3)问综合前两问的结论，归纳出当两个角的两边分别平行时，两角的数量关系为相等或互补。
【解析】
(1) 解：
∵NP//AB，
∴∠MNP=∠BMN（两直线平行，内错角相等）。
又
∵MN//AC，
∴∠BMN=∠BAC（两直线平行，同位角相等），
∴∠MNP=∠BAC（等量代换）。
又
∵∠BAC=53°，
∴∠MNP=53°。
(2) 解：∠MNP=127°，理由如下：
因为AB//NP，所以∠BAC=∠APN。
又因为AP//MN，所以∠APN+∠MNP=180°。
所以∠BAC+∠MNP=180°。
又因为∠BAC=53°，所以∠MNP=180°-53°=127°。
(3) 结合(1)(2)的结论，当∠BAC的两边分别平行于∠MNP的两边时，两角要么相等要么互补。
【答案】
(1) ∠BMN；两直线平行，内错角相等；∠BMN；两直线平行，同位角相等；等量代换；53°
(2) ∠MNP=127°，理由见解析
(3) 相等或互补
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 等量代换
3. 平行角的数量关系
【点评】
本题结合图形探究两边分别平行的两个角的数量关系，重点考查平行线性质的应用，需要结合图形判断角的位置关系，进而确定角的数量关系，有助于培养逻辑推理和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.75
(1) 第(1)问利用平行线的性质推导角的关系：首先由NP//AB，根据平行线的内错角相等找到与∠MNP相等的角；再由MN//AC，根据平行线的同位角相等得到该角与∠BAC相等，通过等量代换即可求出∠MNP的度数。
(2) 第(2)问类比第(1)问的思路，同样使用平行线的性质：先由NP//AB得到∠BAC与∠APN相等，再由MN//AC得到∠APN与∠MNP互补，通过等量代换得到∠MNP与∠BAC互补，代入角度计算即可。
(3) 第(3)问综合前两问的结论，归纳出当两个角的两边分别平行时，两角的数量关系为相等或互补。
【解析】
(1) 解：
∵NP//AB，
∴∠MNP=∠BMN（两直线平行，内错角相等）。
又
∵MN//AC，
∴∠BMN=∠BAC（两直线平行，同位角相等），
∴∠MNP=∠BAC（等量代换）。
又
∵∠BAC=53°，
∴∠MNP=53°。
(2) 解：∠MNP=127°，理由如下：
因为AB//NP，所以∠BAC=∠APN。
又因为AP//MN，所以∠APN+∠MNP=180°。
所以∠BAC+∠MNP=180°。
又因为∠BAC=53°，所以∠MNP=180°-53°=127°。
(3) 结合(1)(2)的结论，当∠BAC的两边分别平行于∠MNP的两边时，两角要么相等要么互补。
【答案】
(1) ∠BMN；两直线平行，内错角相等；∠BMN；两直线平行，同位角相等；等量代换；53°
(2) ∠MNP=127°，理由见解析
(3) 相等或互补
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 等量代换
3. 平行角的数量关系
【点评】
本题结合图形探究两边分别平行的两个角的数量关系，重点考查平行线性质的应用，需要结合图形判断角的位置关系，进而确定角的数量关系，有助于培养逻辑推理和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.75
7. 如图7-3-17，已知$AB // CD$，$P$为$CD$上一点，$PE ⊥ QF$，垂足为$P$，若$∠ 2 = 40°$，求$∠ 1$，$∠ 3$与$∠ 4$的度数。
图7-3-17
图7-3-17
答案
7. 解:因为CD与QF相交于点P,∠2=40°,
所以∠3=∠2=40°。
因为∠1+∠2=180°,
所以∠1=180°-∠2=180°-40°=140°。
因为PF⊥PE,
所以∠EPF=90°,
所以∠EPC=180°-∠EPF-∠2=180°-90°-40°=50°。
因为AB//CD,
所以∠4=∠EPC=50°。
所以∠3=∠2=40°。
因为∠1+∠2=180°,
所以∠1=180°-∠2=180°-40°=140°。
因为PF⊥PE,
所以∠EPF=90°,
所以∠EPC=180°-∠EPF-∠2=180°-90°-40°=50°。
因为AB//CD,
所以∠4=∠EPC=50°。
解析
【分析】
解题时先从已知的∠2=40°入手，首先∠3和∠2是对顶角，根据对顶角相等可直接求出∠3；∠1和∠2是邻补角，二者和为180°，据此可求出∠1。接下来根据PE⊥QF可得∠EPF=90°，结合CD所在平角为180°，可求出∠EPC的度数，最后利用AB//CD的性质，同位角相等，即可求出∠4的度数。
【解析】
因为CD与QF相交于点P，∠2=40°，
所以∠3=∠2=40°（对顶角相等）。
因为∠1与∠2是邻补角，即∠1+∠2=180°，
所以∠1=180°-∠2=180°-40°=140°。
因为PE⊥QF，
所以∠EPF=90°（垂直的定义），
所以∠EPC=180°-∠EPF-∠2=180°-90°-40°=50°。
因为AB//CD，
所以∠4=∠EPC=50°（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
∠1=140°，∠3=40°，∠4=50°
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于相交线与平行线的基础综合题，解题的关键是结合图形准确识别各角之间的位置关系，灵活运用相关性质逐步推导计算，是巩固几何基础运算的典型习题。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知的∠2=40°入手，首先∠3和∠2是对顶角，根据对顶角相等可直接求出∠3；∠1和∠2是邻补角，二者和为180°，据此可求出∠1。接下来根据PE⊥QF可得∠EPF=90°，结合CD所在平角为180°，可求出∠EPC的度数，最后利用AB//CD的性质，同位角相等，即可求出∠4的度数。
【解析】
因为CD与QF相交于点P，∠2=40°，
所以∠3=∠2=40°（对顶角相等）。
因为∠1与∠2是邻补角，即∠1+∠2=180°，
所以∠1=180°-∠2=180°-40°=140°。
因为PE⊥QF，
所以∠EPF=90°（垂直的定义），
所以∠EPC=180°-∠EPF-∠2=180°-90°-40°=50°。
因为AB//CD，
所以∠4=∠EPC=50°（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
∠1=140°，∠3=40°，∠4=50°
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于相交线与平行线的基础综合题，解题的关键是结合图形准确识别各角之间的位置关系，灵活运用相关性质逐步推导计算，是巩固几何基础运算的典型习题。
【难度系数】
0.85
8. 如图 7-3-18, 点 B, C 在直线 AD 上, $∠ ABE=70°$, BF 平分 $∠ DBE$, $CG// BF$, 求 $∠ DCG$ 的度数。
答案
8. 解:因为∠ABE=70°,
所以∠CBE=110°。
因为BF平分∠DBE,
所以∠CBF=55°。
因为CG//BF,
所以∠DCG=∠CBF=55°。
所以∠CBE=110°。
因为BF平分∠DBE,
所以∠CBF=55°。
因为CG//BF,
所以∠DCG=∠CBF=55°。
解析
【分析】
解题时先从已知角∠ABE出发，利用平角度数为180°的性质，先求出∠DBE的度数；再结合角平分线的定义，算出BF平分∠DBE后得到的∠DBF的度数；最后根据CG平行BF，利用平行线同位角相等的性质，即可求出∠DCG的度数。
【解析】
解：因为∠ABE=70°，∠ABE与∠DBE组成平角，
所以∠DBE=180°-∠ABE=110°。
因为BF平分∠DBE，
所以∠DBF=½∠DBE=½×110°=55°。
因为CG//BF，
所以∠DCG=∠DBF=55°（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
$\boxed{55°}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，重点考察角的数量关系和平行线性质的综合运用，解题关键是准确识别各角的位置和数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知角∠ABE出发，利用平角度数为180°的性质，先求出∠DBE的度数；再结合角平分线的定义，算出BF平分∠DBE后得到的∠DBF的度数；最后根据CG平行BF，利用平行线同位角相等的性质，即可求出∠DCG的度数。
【解析】
解：因为∠ABE=70°，∠ABE与∠DBE组成平角，
所以∠DBE=180°-∠ABE=110°。
因为BF平分∠DBE，
所以∠DBF=½∠DBE=½×110°=55°。
因为CG//BF，
所以∠DCG=∠DBF=55°（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
$\boxed{55°}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，重点考察角的数量关系和平行线性质的综合运用，解题关键是准确识别各角的位置和数量关系。
【难度系数】
0.8
