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1.若$\sqrt{a+2} + |b-1| = 0$，则$(a+b)^{2025}$的值为（
A.1
B.$-1$
C.$3^{2025}$
D.$-3^{2025}$
B
）A.1
B.$-1$
C.$3^{2025}$
D.$-3^{2025}$
答案
B
解析
【分析】
我们知道算术平方根和绝对值都是非负数，即$\sqrt{a+2} ≥ 0$，$|b-1| ≥ 0$。若两个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，据此可分别求出a、b的取值，再代入$(a+b)^{2025}$计算即可得到结果。
【解析】
根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}\sqrt{a+2}=0 \\|b-1|=0\end{cases}$
分别求解上述方程：
由$\sqrt{a+2}=0$得$a+2=0$，解得$a=-2$；
由$|b-1|=0$得$b-1=0$，解得$b=1$。
将$a=-2$，$b=1$代入$(a+b)^{2025}$：
$a+b=-2+1=-1$，所以$(a+b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$（负数的奇数次幂为负数，2025是奇数）。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质，绝对值的性质，乘方运算
【点评】
本题是基础常考题，核心考查非负数性质的应用，解题的关键是明确“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”，再结合乘方的运算规则计算即可，计算时注意奇次幂的符号判断。
【难度系数】
0.8
我们知道算术平方根和绝对值都是非负数，即$\sqrt{a+2} ≥ 0$，$|b-1| ≥ 0$。若两个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，据此可分别求出a、b的取值，再代入$(a+b)^{2025}$计算即可得到结果。
【解析】
根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}\sqrt{a+2}=0 \\|b-1|=0\end{cases}$
分别求解上述方程：
由$\sqrt{a+2}=0$得$a+2=0$，解得$a=-2$；
由$|b-1|=0$得$b-1=0$，解得$b=1$。
将$a=-2$，$b=1$代入$(a+b)^{2025}$：
$a+b=-2+1=-1$，所以$(a+b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$（负数的奇数次幂为负数，2025是奇数）。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质，绝对值的性质，乘方运算
【点评】
本题是基础常考题，核心考查非负数性质的应用，解题的关键是明确“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”，再结合乘方的运算规则计算即可，计算时注意奇次幂的符号判断。
【难度系数】
0.8
2. 下列各式中,比较大小正确的是(
A.$-\sqrt{5} ＜ -\sqrt{6}$
B.$-π ＜ -3.14$
C.$-\sqrt{10} ＞ -3$
D.$-\sqrt[3]{9} ＞ -\sqrt[3]{7}$
B
)A.$-\sqrt{5} ＜ -\sqrt{6}$
B.$-π ＜ -3.14$
C.$-\sqrt{10} ＞ -3$
D.$-\sqrt[3]{9} ＞ -\sqrt[3]{7}$
答案
B
解析
【分析】
比较两个负数的大小，核心规则是“绝对值大的负数反而更小”。解题时可以按以下步骤思考：1. 先求出每个选项中两个负数的绝对值；2. 利用平方根、立方根的性质，或者对无理数进行估值，比较两个绝对值的大小；3. 结合负数比较大小的规则，反推原负数的大小关系，逐一判断选项正误即可。
【解析】
根据“两个负数比较大小，绝对值大的数更小”，逐一分析选项：
A. 两数绝对值分别为$\sqrt{5}$、$\sqrt{6}$，因为$5＜6$，所以$\sqrt{5}＜\sqrt{6}$，可得$-\sqrt{5} ＞ -\sqrt{6}$，该选项错误；
B. 两数绝对值分别为$π$、$3.14$，$π\approx3.14159＞3.14$，可得$-π ＜ -3.14$，该选项正确；
C. $3=\sqrt{9}$，两数绝对值分别为$\sqrt{10}$、$\sqrt{9}$，因为$10＞9$，所以$\sqrt{10}＞\sqrt{9}=3$，可得$-\sqrt{10} ＜ -3$，该选项错误；
D. 立方根的被开方数越大，立方根越大，所以$\sqrt[3]{9}＞\sqrt[3]{7}$，可得$-\sqrt[3]{9} ＜ -\sqrt[3]{7}$，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
负数比较大小规则；平方根性质；立方根性质
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，重点考查对负数比较大小规则的运用，以及平方根、立方根性质的掌握，熟练掌握相关规则就能快速判断选项。
【难度系数】
0.7
比较两个负数的大小，核心规则是“绝对值大的负数反而更小”。解题时可以按以下步骤思考：1. 先求出每个选项中两个负数的绝对值；2. 利用平方根、立方根的性质，或者对无理数进行估值，比较两个绝对值的大小；3. 结合负数比较大小的规则，反推原负数的大小关系，逐一判断选项正误即可。
【解析】
根据“两个负数比较大小，绝对值大的数更小”，逐一分析选项：
A. 两数绝对值分别为$\sqrt{5}$、$\sqrt{6}$，因为$5＜6$，所以$\sqrt{5}＜\sqrt{6}$，可得$-\sqrt{5} ＞ -\sqrt{6}$，该选项错误；
B. 两数绝对值分别为$π$、$3.14$，$π\approx3.14159＞3.14$，可得$-π ＜ -3.14$，该选项正确；
C. $3=\sqrt{9}$，两数绝对值分别为$\sqrt{10}$、$\sqrt{9}$，因为$10＞9$，所以$\sqrt{10}＞\sqrt{9}=3$，可得$-\sqrt{10} ＜ -3$，该选项错误；
D. 立方根的被开方数越大，立方根越大，所以$\sqrt[3]{9}＞\sqrt[3]{7}$，可得$-\sqrt[3]{9} ＜ -\sqrt[3]{7}$，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
负数比较大小规则；平方根性质；立方根性质
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，重点考查对负数比较大小规则的运用，以及平方根、立方根性质的掌握，熟练掌握相关规则就能快速判断选项。
【难度系数】
0.7
3.已知$m,n$为两个连续的整数，且$m＜\sqrt{10}＜n$，则$(m+n-8)^{2025}$的值是(
A.2025
B.$-2025$
C.1
D.$-1$
D
)A.2025
B.$-2025$
C.1
D.$-1$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要确定√10的取值范围：我们可以通过比较10与相邻完全平方数的大小，结合算术平方根的性质估算√10介于哪两个连续整数之间，从而得到m、n的值，再将m、n代入所求代数式，根据乘方的运算法则计算结果即可。
【解析】
1. 估算√10的取值范围：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
∴ 根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
2. 确定m、n的值：
已知m、n为连续整数，且$m＜\sqrt{10}＜n$，因此$m=3$，$n=4$
3. 代入计算：
将m=3、n=4代入$(m+n-8)^{2025}$得：
原式=$(3+4-8)^{2025}=(-1)^{2025}$
∵ 2025是奇数，负数的奇数次幂为负数
∴ $(-1)^{2025}=-1$
【答案】
D
【知识点】
无理数的估算，乘方的运算，算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数的估算方法，熟记常见整数的平方值是快速估算无理数范围的关键，同时要准确掌握负数乘方的符号规律，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先要确定√10的取值范围：我们可以通过比较10与相邻完全平方数的大小，结合算术平方根的性质估算√10介于哪两个连续整数之间，从而得到m、n的值，再将m、n代入所求代数式，根据乘方的运算法则计算结果即可。
【解析】
1. 估算√10的取值范围：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
∴ 根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
2. 确定m、n的值：
已知m、n为连续整数，且$m＜\sqrt{10}＜n$，因此$m=3$，$n=4$
3. 代入计算：
将m=3、n=4代入$(m+n-8)^{2025}$得：
原式=$(3+4-8)^{2025}=(-1)^{2025}$
∵ 2025是奇数，负数的奇数次幂为负数
∴ $(-1)^{2025}=-1$
【答案】
D
【知识点】
无理数的估算，乘方的运算，算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数的估算方法，熟记常见整数的平方值是快速估算无理数范围的关键，同时要准确掌握负数乘方的符号规律，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
4.如图,从一个大正方形中裁去两个面积分别为$x^2$和$y^2$的小正方形。若$x=\sqrt{5}-2$,$y=\sqrt{5}+2$,则留下的阴影部分的面积为
2
。答案
2
解析
【分析】
首先观察图形可得，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和，已知两个小正方形的面积分别为$x^2$、$y^2$，因此它们的边长分别为$x$、$y$，大正方形边长为$x+y$。求阴影部分面积的思路为：用大正方形的总面积减去两个空白小正方形的面积，先对面积表达式化简，再代入$x$、$y$的数值，利用平方差公式简化运算即可得到结果。
【解析】
1. 推导阴影面积表达式：
大正方形面积为$(x+y)^2$，两个空白小正方形面积分别为$x^2$、$y^2$，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=(x+y)^2 - x^2 - y^2$
2. 化简表达式：
根据完全平方公式展开得：
$(x+y)^2 - x^2 - y^2 = x^2 + 2xy + y^2 - x^2 - y^2 = 2xy$
3. 代入数值计算：
将$x=\sqrt{5}-2$，$y=\sqrt{5}+2$代入，根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$：
$xy=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5})^2 - 2^2=5-4=1$
因此$S_{\mathrm{阴影}}=2xy=2×1=2$
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，正方形面积计算
【点评】
本题结合几何面积计算考查整式乘法公式的应用，解题核心是正确推导阴影部分的面积表达式，巧用乘法公式可大幅简化根式运算，能有效考查学生对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可得，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和，已知两个小正方形的面积分别为$x^2$、$y^2$，因此它们的边长分别为$x$、$y$，大正方形边长为$x+y$。求阴影部分面积的思路为：用大正方形的总面积减去两个空白小正方形的面积，先对面积表达式化简，再代入$x$、$y$的数值，利用平方差公式简化运算即可得到结果。
【解析】
1. 推导阴影面积表达式：
大正方形面积为$(x+y)^2$，两个空白小正方形面积分别为$x^2$、$y^2$，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=(x+y)^2 - x^2 - y^2$
2. 化简表达式：
根据完全平方公式展开得：
$(x+y)^2 - x^2 - y^2 = x^2 + 2xy + y^2 - x^2 - y^2 = 2xy$
3. 代入数值计算：
将$x=\sqrt{5}-2$，$y=\sqrt{5}+2$代入，根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$：
$xy=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5})^2 - 2^2=5-4=1$
因此$S_{\mathrm{阴影}}=2xy=2×1=2$
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，正方形面积计算
【点评】
本题结合几何面积计算考查整式乘法公式的应用，解题核心是正确推导阴影部分的面积表达式，巧用乘法公式可大幅简化根式运算，能有效考查学生对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
5.若$m+n=3$，$mn=2$，则$\sqrt{\dfrac{n}{m}}+\sqrt{\dfrac{m}{n}}$的值为
$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
。答案
$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
首先，根据已知条件判断m、n的符号：由mn=2＞0可知m、n同号，结合m+n=3＞0，可确定m、n均为正数，因此所求二次根式有意义。接下来我们不需要单独求解m、n的值，可通过化简所求式子，将其转化为含m+n和mn的形式，再整体代入已知数值计算即可，这样能简化运算步骤。
【解析】
解：
∵ mn=2＞0，
∴ m、n同号，
又
∵ m+n=3＞0，
∴ m＞0，n＞0，
对所求式子化简：
$\sqrt{\dfrac{n}{m}}+\sqrt{\dfrac{m}{n}}=\dfrac{\sqrt{mn}}{m}+\dfrac{\sqrt{mn}}{n}=\sqrt{mn}·(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n})=\sqrt{mn}·\dfrac{m+n}{mn}$
将$m+n=3$，$mn=2$代入上式：
原式=$\sqrt{2}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式运算、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题考查二次根式的化简与代数式求值，解题关键是先判断m、n的符号，避免出现符号错误，运用整体代入的思想无需单独求解m、n的值，可大幅降低计算量。
【难度系数】
0.7
首先，根据已知条件判断m、n的符号：由mn=2＞0可知m、n同号，结合m+n=3＞0，可确定m、n均为正数，因此所求二次根式有意义。接下来我们不需要单独求解m、n的值，可通过化简所求式子，将其转化为含m+n和mn的形式，再整体代入已知数值计算即可，这样能简化运算步骤。
【解析】
解：
∵ mn=2＞0，
∴ m、n同号，
又
∵ m+n=3＞0，
∴ m＞0，n＞0，
对所求式子化简：
$\sqrt{\dfrac{n}{m}}+\sqrt{\dfrac{m}{n}}=\dfrac{\sqrt{mn}}{m}+\dfrac{\sqrt{mn}}{n}=\sqrt{mn}·(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n})=\sqrt{mn}·\dfrac{m+n}{mn}$
将$m+n=3$，$mn=2$代入上式：
原式=$\sqrt{2}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式运算、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题考查二次根式的化简与代数式求值，解题关键是先判断m、n的符号，避免出现符号错误，运用整体代入的思想无需单独求解m、n的值，可大幅降低计算量。
【难度系数】
0.7
6.已知$\sqrt{0.03}\approx0.1732$，$\sqrt{3}\approx1.732$，则$\sqrt{300}\approx$
17.32
。答案
17.32
解析
【分析】
解题时先观察待求式子的被开方数与已知算术平方根的被开方数的关系：300是3的100倍，100是完全平方数。我们可以利用二次根式的乘法性质，将√300拆分为含√3的式子，再代入已知数值计算；也可以利用算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点向右移动2位，对应的算术平方根的小数点向右移动1位，直接推导结果。
【解析】
方法一：利用二次根式化简计算
∵ $\sqrt{300}=\sqrt{100×3}=\sqrt{100}×\sqrt{3}=10\sqrt{3}$
又已知 $\sqrt{3}\approx1.732$
∴ $\sqrt{300}\approx10×1.732=17.32$
方法二：利用小数点移动规律
被开方数从3变为300，小数点向右移动了2位，因此它的算术平方根的小数点对应向右移动1位，已知$\sqrt{3}\approx1.732$，所以$\sqrt{300}\approx17.32$。
【答案】
17.32
【知识点】
二次根式的化简；算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的运算规律和算术平方根的变化规律，解题的关键是找到待求被开方数与已知被开方数的倍数关系，结合完全平方数拆分计算即可。
【难度系数】
0.9
解题时先观察待求式子的被开方数与已知算术平方根的被开方数的关系：300是3的100倍，100是完全平方数。我们可以利用二次根式的乘法性质，将√300拆分为含√3的式子，再代入已知数值计算；也可以利用算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点向右移动2位，对应的算术平方根的小数点向右移动1位，直接推导结果。
【解析】
方法一：利用二次根式化简计算
∵ $\sqrt{300}=\sqrt{100×3}=\sqrt{100}×\sqrt{3}=10\sqrt{3}$
又已知 $\sqrt{3}\approx1.732$
∴ $\sqrt{300}\approx10×1.732=17.32$
方法二：利用小数点移动规律
被开方数从3变为300，小数点向右移动了2位，因此它的算术平方根的小数点对应向右移动1位，已知$\sqrt{3}\approx1.732$，所以$\sqrt{300}\approx17.32$。
【答案】
17.32
【知识点】
二次根式的化简；算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的运算规律和算术平方根的变化规律，解题的关键是找到待求被开方数与已知被开方数的倍数关系，结合完全平方数拆分计算即可。
【难度系数】
0.9
7. 计算。
(1) $\sqrt{\frac{1}{7}} - \sqrt{28} + \sqrt{700}$；
(2) $(2\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)$；
(3) $(3\sqrt{18} + \frac{1}{5}\sqrt{50} - 4\sqrt{\frac{1}{2}}) ÷ \sqrt{32}$。
(1) $\sqrt{\frac{1}{7}} - \sqrt{28} + \sqrt{700}$；
(2) $(2\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)$；
(3) $(3\sqrt{18} + \frac{1}{5}\sqrt{50} - 4\sqrt{\frac{1}{2}}) ÷ \sqrt{32}$。
答案
(1) 解:原式$=\dfrac{\sqrt{7}}{7}-2\sqrt{7}+10\sqrt{7}$
$=\dfrac{57\sqrt{7}}{7}$。
(2) 解:原式$=(2\sqrt{3})^2-4\sqrt{3}+1+(\sqrt{3})^2-2^2$
$=12-4\sqrt{3}+1+3-4$
$=12-4\sqrt{3}$。
(3) 解:原式$=(9\sqrt{2}+\dfrac{1}{5}×5\sqrt{2}-4×\dfrac{\sqrt{2}}{2})÷4\sqrt{2}$
$=(9\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2})÷4\sqrt{2}$
$=8\sqrt{2}÷4\sqrt{2}$
$=2$。
$=\dfrac{57\sqrt{7}}{7}$。
(2) 解:原式$=(2\sqrt{3})^2-4\sqrt{3}+1+(\sqrt{3})^2-2^2$
$=12-4\sqrt{3}+1+3-4$
$=12-4\sqrt{3}$。
(3) 解:原式$=(9\sqrt{2}+\dfrac{1}{5}×5\sqrt{2}-4×\dfrac{\sqrt{2}}{2})÷4\sqrt{2}$
$=(9\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2})÷4\sqrt{2}$
$=8\sqrt{2}÷4\sqrt{2}$
$=2$。
解析
【分析】
这是一组二次根式的运算题，解题思路如下：
(1) 先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的同类二次根式即可求解；
(2) 分别利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$、平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开两个式子，再合并同类项和同类二次根式；
(3) 先把括号内的所有二次根式化为最简，合并同类二次根式后，再除以化简后的除数，计算系数的除法即可得到结果。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{\frac{1}{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$，$\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=2\sqrt{7}$，$\sqrt{700}=\sqrt{100×7}=10\sqrt{7}$
原式$=\dfrac{\sqrt{7}}{7}-2\sqrt{7}+10\sqrt{7}$
$=\dfrac{57\sqrt{7}}{7}$
(2) 分别用公式展开：
$(2\sqrt{3}-1)^2=(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×1+1^2=12-4\sqrt{3}+1$
$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)=(\sqrt{3})^2-2^2=3-4$
原式$=12-4\sqrt{3}+1+3-4$
$=12-4\sqrt{3}$
(3) 先化简括号内和除数的二次根式：
$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
原式$=(9\sqrt{2}+\dfrac{1}{5}×5\sqrt{2}-4×\dfrac{\sqrt{2}}{2})÷4\sqrt{2}$
$=(9\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2})÷4\sqrt{2}$
$=8\sqrt{2}÷4\sqrt{2}$
$=2$
【答案】
(1) $\dfrac{57\sqrt{7}}{7}$；(2) $12-4\sqrt{3}$；(3) $2$
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、乘法公式应用
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考察根式化简规则和乘法公式的运用，计算时需注意化简的准确性、公式展开时的符号和系数运算，熟练掌握基础运算规则就能快速得分。
【难度系数】
0.8
这是一组二次根式的运算题，解题思路如下：
(1) 先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的同类二次根式即可求解；
(2) 分别利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$、平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开两个式子，再合并同类项和同类二次根式；
(3) 先把括号内的所有二次根式化为最简，合并同类二次根式后，再除以化简后的除数，计算系数的除法即可得到结果。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{\frac{1}{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$，$\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=2\sqrt{7}$，$\sqrt{700}=\sqrt{100×7}=10\sqrt{7}$
原式$=\dfrac{\sqrt{7}}{7}-2\sqrt{7}+10\sqrt{7}$
$=\dfrac{57\sqrt{7}}{7}$
(2) 分别用公式展开：
$(2\sqrt{3}-1)^2=(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×1+1^2=12-4\sqrt{3}+1$
$(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)=(\sqrt{3})^2-2^2=3-4$
原式$=12-4\sqrt{3}+1+3-4$
$=12-4\sqrt{3}$
(3) 先化简括号内和除数的二次根式：
$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
原式$=(9\sqrt{2}+\dfrac{1}{5}×5\sqrt{2}-4×\dfrac{\sqrt{2}}{2})÷4\sqrt{2}$
$=(9\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2})÷4\sqrt{2}$
$=8\sqrt{2}÷4\sqrt{2}$
$=2$
【答案】
(1) $\dfrac{57\sqrt{7}}{7}$；(2) $12-4\sqrt{3}$；(3) $2$
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、乘法公式应用
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考察根式化简规则和乘法公式的运用，计算时需注意化简的准确性、公式展开时的符号和系数运算，熟练掌握基础运算规则就能快速得分。
【难度系数】
0.8
8.对于两个不相等的实数$a,b$,定义一种新的运算：$a*b=\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}(a+b＞0)$。
例如：$3*2=\frac{\sqrt{3+2}}{3-2}=\sqrt{5}$。
(1)计算$8*7$的值。
(2)计算$6*(5*4)$的值。
例如：$3*2=\frac{\sqrt{3+2}}{3-2}=\sqrt{5}$。
(1)计算$8*7$的值。
(2)计算$6*(5*4)$的值。
答案
解:(1)$8*7=\dfrac{\sqrt{8+7}}{8-7}=\sqrt{15}$。
(2)$6*(5*4)=6*\dfrac{\sqrt{5+4}}{5-4}=6*3=\dfrac{\sqrt{6+3}}{6-3}=1$。
(2)$6*(5*4)=6*\dfrac{\sqrt{5+4}}{5-4}=6*3=\dfrac{\sqrt{6+3}}{6-3}=1$。
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是准确理解给定的新运算规则：对于满足$a+b＞0$的不相等实数$a、b$，$a*b$的结果为$\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$。解题时：(1)直接将$a=8、b=7$代入新运算公式计算即可；(2)遵循实数混合运算“有括号先算括号内”的顺序，先计算括号里的$5*4$，得到结果后，再将$a=6$和该结果作为新的运算数，代入公式计算最终结果，计算过程中注意二次根式的化简和分母不为0的要求。
【解析】
(1) 根据新运算规则，将$a=8，b=7$代入得：
$8*7=\frac{\sqrt{8+7}}{8-7}=\frac{\sqrt{15}}{1}=\sqrt{15}$
(2) 先计算括号内的$5*4$：
$5*4=\frac{\sqrt{5+4}}{5-4}=\frac{\sqrt{9}}{1}=3$
再计算$6*3$：
$6*3=\frac{\sqrt{6+3}}{6-3}=\frac{\sqrt{9}}{3}=\frac{3}{3}=1$
因此$6*(5*4)=1$
【答案】
(1) $\sqrt{15}$；(2) $1$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，实数混合运算
【点评】
本题属于新定义基础题型，重点考查对新运算规则的理解应用能力，解题时只要严格遵循运算顺序，准确代入数值、正确化简二次根式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题核心是准确理解给定的新运算规则：对于满足$a+b＞0$的不相等实数$a、b$，$a*b$的结果为$\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$。解题时：(1)直接将$a=8、b=7$代入新运算公式计算即可；(2)遵循实数混合运算“有括号先算括号内”的顺序，先计算括号里的$5*4$，得到结果后，再将$a=6$和该结果作为新的运算数，代入公式计算最终结果，计算过程中注意二次根式的化简和分母不为0的要求。
【解析】
(1) 根据新运算规则，将$a=8，b=7$代入得：
$8*7=\frac{\sqrt{8+7}}{8-7}=\frac{\sqrt{15}}{1}=\sqrt{15}$
(2) 先计算括号内的$5*4$：
$5*4=\frac{\sqrt{5+4}}{5-4}=\frac{\sqrt{9}}{1}=3$
再计算$6*3$：
$6*3=\frac{\sqrt{6+3}}{6-3}=\frac{\sqrt{9}}{3}=\frac{3}{3}=1$
因此$6*(5*4)=1$
【答案】
(1) $\sqrt{15}$；(2) $1$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，实数混合运算
【点评】
本题属于新定义基础题型，重点考查对新运算规则的理解应用能力，解题时只要严格遵循运算顺序，准确代入数值、正确化简二次根式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
