1. 下列计算正确的是（）

A.$\sqrt{3}+\sqrt{3}=3$
B.$4\sqrt{5}-\sqrt{5}=4$
C.$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{6}$
D.$\sqrt{32}÷\sqrt{8}=4$

1.C

【分析】
本题考查二次根式的四则运算，解题思路为依次对每个选项按照二次根式对应的运算法则计算，判断计算结果是否正确即可。首先明确运算法则：1.二次根式加减：只有同类二次根式可以合并，合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变；2.二次根式乘法：$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）；3.二次根式除法：$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），将法则对应到每个选项计算判断即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：$\sqrt{3}+\sqrt{3}=(1+1)\sqrt{3}=2\sqrt{3}≠3$，计算错误；
B选项：$4\sqrt{5}-\sqrt{5}=(4-1)\sqrt{5}=3\sqrt{5}≠4$，计算错误；
C选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}$，计算正确；
D选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{32}÷\sqrt{8}=\sqrt{32÷8}=\sqrt{4}=2≠4$，计算错误。
综上，只有C选项计算正确。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握二次根式的四则运算法则，运算时注意加减运算仅能合并同类二次根式，乘除运算后要将结果化为最简二次根式，避免因法则混淆或计算粗心出错。
【难度系数】
0.8

2. 下图是一个计算程序。若输入－2，则输出的值是()


A.$10+4\sqrt{6}$
B.$10-4\sqrt{6}$
C.$2$
D.$-2$

2.C

【分析】
解题时先遵循计算程序的步骤逐步推导：首先把输入的-2与√6相加，得到中间结果后判断其正负，再根据判断结果选择对应的运算规则，最后利用二次根式的运算公式计算即可。首先判断-2+√6的正负：√6≈2.45，因此-2+√6＞0，应选择乘以(2+√6)的运算，计算时可利用平方差公式简化运算，避免复杂计算。
【解析】
解：已知输入值为-2，
第一步：先执行“+√6”的运算，得：$-2 + \sqrt{6} = \sqrt{6} - 2$，
第二步：判断大小：$\because \sqrt{6} \approx 2.449 ＞ 2$，$\therefore \sqrt{6} - 2 ＞ 0$，符合“是”的分支，
第三步：执行“×$(2+\sqrt{6})$”的运算，得：
$(\sqrt{6} - 2) × (2 + \sqrt{6}) = (\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2)$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$，代入$a=\sqrt{6}$，$b=2$：
原式$= (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$
因此输出的值为2。
【答案】
C

【知识点】
二次根式的运算，平方差公式，程序流程图计算
【点评】
本题将程序流程图和二次根式运算结合，核心考查学生的规则理解能力和二次根式运算能力，解题的关键是先正确判断运算分支，再巧用平方差公式简化计算，能有效避免运算错误。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在正方形ABCD中,若正方形AEPF和正方形PHCG的面积分别为12和3,则正方形ABCD的边长为()

A.9
B.15
C.$2\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{3}$

3.D

【分析】
解题时先结合正方形面积与边长的关系，由两个小正方形的面积分别求出它们的边长；再观察图形特征可知，大正方形ABCD的边长恰好等于两个小正方形的边长之和，最后将两个边长相加化简，即可得到大正方形的边长，对应选出正确选项。
【解析】
解：根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为正方形边长）：
正方形AEPF的面积为12，因此它的边长为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
正方形PHCG的面积为3，因此它的边长为$\sqrt{3}$；
观察图形可得，正方形ABCD的边长为两个小正方形的边长之和：
$2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；二次根式的化简运算
【点评】
本题属于二次根式的基础应用题，解题的核心是准确理解正方形面积和边长的关系，正确化简二次根式、合并同类二次根式。
【难度系数】
0.7

4.计算。
(1)$2×(1-\sqrt{2})+\sqrt{8}$；
(2)$(4\sqrt{3}+3\sqrt{6})÷2\sqrt{3}$；
(3)$\frac{1}{2}\sqrt{32}-2\sqrt{75}+\sqrt{0.5}-3\sqrt{\frac{1}{27}}$。

(1) 原式=2。
(2) 原式=$2+\frac{3}{2}\sqrt{2}$。
(3) 原式=$\frac{5}{2}\sqrt{2}-\frac{31}{3}\sqrt{3}$。

【分析】
这三道题均属于二次根式的混合运算，解题总体思路遵循整式运算的顺序：先算乘除，后算加减，有括号先算括号内的；运算前先将所有非最简二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可。具体到各小题：(1)先计算乘法，再化简$\sqrt{8}$，最后抵消同类二次根式得到结果；(2)类比整式多项式除以单项式的法则，将括号内两项分别除以除数，再化简求和；(3)先逐一将所有二次根式化简为最简形式，再分别合并含$\sqrt{2}$和含$\sqrt{3}$的同类二次根式。
【解析】
(1) 先计算乘法，再化简二次根式：
原式$=2×1 - 2×\sqrt{2} + \sqrt{4×2}$
$=2 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$
$=2$
(2) 按照多项式除以单项式的规则拆分计算：
原式$=4\sqrt{3}÷2\sqrt{3} + 3\sqrt{6}÷2\sqrt{3}$
$=(4÷2)×(\sqrt{3}÷\sqrt{3}) + (3÷2)×(\sqrt{6÷3})$
$=2×1 + \frac{3}{2}×\sqrt{2}$
$=2+\frac{3}{2}\sqrt{2}$
(3) 先将所有二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式：
化简各部分：
$\frac{1}{2}\sqrt{32}=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
$2\sqrt{75}=2×5\sqrt{3}=10\sqrt{3}$
$\sqrt{0.5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$3\sqrt{\frac{1}{27}}=3×\frac{\sqrt{3}}{9}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
代入原式计算：
原式$=2\sqrt{2} - 10\sqrt{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}$
$=(2\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}) + (-10\sqrt{3}-\frac{1}{3}\sqrt{3})$
$=\frac{5}{2}\sqrt{2} - \frac{31}{3}\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $\boxed{2+\dfrac{3}{2}\sqrt{2}}$
(3) $\boxed{\dfrac{5}{2}\sqrt{2}-\dfrac{31}{3}\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 二次根式混合运算
3. 同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的化简能力和运算规则的应用，解题时需注意先化简再运算，合并同类二次根式时要准确计算系数，注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7

5. 提升题 如图(图中长度单位:m),某市有一块长为$(3a+b)$m、宽为$(2a+b)$m的长方形地块,规划部门计划将图中阴影部分进行绿化,在中间修建一座雕像,其底座是边长为$(a+b)$m的正方形。

(1)绿化的面积是多少平方米(用含a,b的代数式表示)?
(2)求出当$a=\sqrt{3},b=\sqrt{2}$时的绿化面积。

(1) $S_{阴影}=(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2=6a^2+5ab+b^2-a^2-2ab-b^2=(5a^2+3ab)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 当$a=\sqrt{3},b=\sqrt{2}$时，
$5a^2+3ab=5×(\sqrt{3})^2+3×\sqrt{3}×\sqrt{2}=(15+3\sqrt{6})\ \mathrm{m}^2$。

【分析】
要求阴影部分的绿化面积，可采用割补法，用整体大长方形的面积减去中间空白正方形（雕像底座）的面积即可。首先分别写出大长方形、正方形的面积表达式，再通过整式乘法展开、合并同类项得到化简后的代数式；第二问将a、b的数值代入第一问得到的代数式中，按照二次根式的运算法则计算就能得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算大长方形地块的面积：
长方形面积 = 长×宽 = $(3a+b)(2a+b)$
中间空白正方形的面积 = 边长×边长 = $(a+b)^2$
阴影部分绿化面积 = 大长方形面积 $-$ 空白正方形面积，计算如下：
$\begin{split}S_{阴影}&=(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2\\&=6a^2+3ab+2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)\\&=6a^2+5ab+b^2-a^2-2ab-b^2\\&=5a^2+3ab\end{split}$
(2) 当$a=\sqrt{3},b=\sqrt{2}$时，代入$5a^2+3ab$计算：
$\begin{split}原式&=5×(\sqrt{3})^2 + 3×\sqrt{3}×\sqrt{2}\\&=5×3 + 3\sqrt{6}\\&=15+3\sqrt{6}\end{split}$
【答案】
(1) 绿化面积是$(5a^2+3ab)\ \mathrm{m}^2$；
(2) 当$a=\sqrt{3},b=\sqrt{2}$时，绿化面积是$(15+3\sqrt{6})\ \mathrm{m}^2$。

【知识点】
整式的混合运算，二次根式化简求值，割补法求面积
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，核心是利用面积差建立代数式，再结合整式运算和二次根式运算规则求解，解题时注意多项式展开不要漏项、二次根式运算遵守运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

6.已知$x=\sqrt{3}+\sqrt{2},y=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
(1)求$xy$的值。
(2)求$x^2+3xy+y^2$的值。

(1) $xy=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1$。
(2) $x^2+3xy+y^2=(x^2+2xy+y^2)+xy=(x+y)^2+xy=(\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2})^2+1=12+1=13$。

【分析】
(1) 观察x和y的结构，发现二者分别是$\sqrt{3}$与$\sqrt{2}$的和、差，乘积刚好符合平方差公式的形式，套用平方差公式计算xy，比逐项展开更简便，能避免复杂的二次根式运算。
(2) 若直接将x、y代入$x^2+3xy+y^2$计算，需要分别计算x、y的平方，计算量较大。可以先对代数式变形，利用完全平方公式将式子整理为$(x+y)^2 + xy$的形式，先算出x+y的值，再结合第(1)问求出的xy的值代入即可，大幅简化计算过程。
【解析】
(1) 把$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$y=\sqrt{3}-\sqrt{2}$代入xy，可得：
$\begin{aligned}xy&=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})\\&=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2\\&=3-2\\&=1\end{aligned}$
(2) 先对$x^2+3xy+y^2$变形：
$\begin{aligned}x^2+3xy+y^2&=(x^2+2xy+y^2)+xy\\&=(x+y)^2+xy\end{aligned}$
先计算x+y的值：$x+y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}$，再将$x+y=2\sqrt{3}$、$xy=1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=(2\sqrt{3})^2 +1\\&=12+1\\&=13\end{aligned}$
【答案】
(1) $xy=1$；(2) $x^2+3xy+y^2=13$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 完全平方公式
3. 二次根式运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查整式乘法公式在二次根式运算中的应用，通过对代数式的合理变形，能有效减少计算量，降低出错概率，需要熟练掌握常见乘法公式的结构特征，灵活运用公式简化运算。
【难度系数】
0.8