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9. 提升题 已知$a,b$为一个等腰三角形的两条边的长度，且满足$b=2\sqrt{a-3}+\sqrt{3-a}+5$，求此等腰三角形的周长。
答案
解:因为$\sqrt{a-3}$与$\sqrt{3-a}$有意义，
所以$a-3≥0,3-a≥0$，
所以$a=3,b=5$。
①当腰长为3时，底边长为5，能构成三角形。周长$=3+3+5=11$；
②当腰长为5时，底边长为3，能构成三角形。周长$=5+5+3=13$。
故此等腰三角形的周长为11或13。
所以$a-3≥0,3-a≥0$，
所以$a=3,b=5$。
①当腰长为3时，底边长为5，能构成三角形。周长$=3+3+5=11$；
②当腰长为5时，底边长为3，能构成三角形。周长$=5+5+3=13$。
故此等腰三角形的周长为11或13。
解析
【分析】
解题时可按以下思路逐步推导：①先根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出关于a的不等式组，求解得到a的取值，再代入表达式求出b的值；②因为a、b是等腰三角形的两条边长，不确定谁是腰谁是底，因此需要分腰长为3、底边长为5，和腰长为5、底边长为3两种情况讨论；③每种情况都先验证三边是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），符合条件的再计算周长。
【解析】
解：要使$\sqrt{a-3}$和$\sqrt{3-a}$有意义，则被开方数需满足非负条件，即：
$\begin{cases}a-3≥0 \\3-a≥0\end{cases}$
解不等式组可得$a=3$。
将$a=3$代入$b=2\sqrt{a-3}+\sqrt{3-a}+5$，得$b=0+0+5=5$。
已知a、b为等腰三角形的两条边长，分两种情况讨论：
①当腰长为3，底边长为5时：
验证三边关系：$3+3=6＞5$，满足三角形构成条件，此时周长为$3+3+5=11$；
②当腰长为5，底边长为3时：
验证三边关系：$3+5=8＞5$，满足三角形构成条件，此时周长为$5+5+3=13$。
综上，此等腰三角形的周长为11或13。
【答案】
11或13
【知识点】
二次根式有意义的条件；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是二次根式性质与等腰三角形周长计算的综合题，解题时需注意两个易错点：一是要先利用二次根式的取值约束求出参数的确定值，二是等腰三角形边长未明确腰和底时，一定要分类讨论，且每种情况都要验证是否满足三角形三边关系，避免出现多解漏解的错误。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路逐步推导：①先根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出关于a的不等式组，求解得到a的取值，再代入表达式求出b的值；②因为a、b是等腰三角形的两条边长，不确定谁是腰谁是底，因此需要分腰长为3、底边长为5，和腰长为5、底边长为3两种情况讨论；③每种情况都先验证三边是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），符合条件的再计算周长。
【解析】
解：要使$\sqrt{a-3}$和$\sqrt{3-a}$有意义，则被开方数需满足非负条件，即：
$\begin{cases}a-3≥0 \\3-a≥0\end{cases}$
解不等式组可得$a=3$。
将$a=3$代入$b=2\sqrt{a-3}+\sqrt{3-a}+5$，得$b=0+0+5=5$。
已知a、b为等腰三角形的两条边长，分两种情况讨论：
①当腰长为3，底边长为5时：
验证三边关系：$3+3=6＞5$，满足三角形构成条件，此时周长为$3+3+5=11$；
②当腰长为5，底边长为3时：
验证三边关系：$3+5=8＞5$，满足三角形构成条件，此时周长为$5+5+3=13$。
综上，此等腰三角形的周长为11或13。
【答案】
11或13
【知识点】
二次根式有意义的条件；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是二次根式性质与等腰三角形周长计算的综合题，解题时需注意两个易错点：一是要先利用二次根式的取值约束求出参数的确定值，二是等腰三角形边长未明确腰和底时，一定要分类讨论，且每种情况都要验证是否满足三角形三边关系，避免出现多解漏解的错误。
【难度系数】
0.7
10. 提升题 高空抛物是一种不文明的危险行为。据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间$ t $（单位：s）和高度$ h $（单位：m）近似满足公式$ t=\sqrt{\frac{h}{5}} $（不考虑空气阻力的影响）。
(1) 求物体从15 m高空落到地面的时间。
(2) 若物体从高空落到地面的时间为3 s，求其下落的高度。
(3) 已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）≈10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m）。一个质量为0.05 kg的鸡蛋经过6 s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中会伤害到楼下的行人吗？（注：伤害无防护人体只需要65 J的能量）
(1) 求物体从15 m高空落到地面的时间。
(2) 若物体从高空落到地面的时间为3 s，求其下落的高度。
(3) 已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）≈10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m）。一个质量为0.05 kg的鸡蛋经过6 s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中会伤害到楼下的行人吗？（注：伤害无防护人体只需要65 J的能量）
答案
解:(1)$t=\sqrt{\dfrac{h}{5}}=\sqrt{\dfrac{15}{5}}=\sqrt{3}(\mathrm{s})$。
故物体从15 m高空落到地面的时间为$\sqrt{3}\ \mathrm{s}$。
(2) 当$t=3\ \mathrm{s}$时，$3=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$，
解得$h=45$。
故该物体下落的高度为45 m。
(3) 当$t=6\ \mathrm{s}$时，$6=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$，
解得$h=180$。
从高空坠落的鸡蛋所带能量$\approx10×0.05×180=90(\mathrm{J})$。
因为$90\ \mathrm{J}＞65\ \mathrm{J}$，
所以会伤害到楼下的行人。
故物体从15 m高空落到地面的时间为$\sqrt{3}\ \mathrm{s}$。
(2) 当$t=3\ \mathrm{s}$时，$3=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$，
解得$h=45$。
故该物体下落的高度为45 m。
(3) 当$t=6\ \mathrm{s}$时，$6=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$，
解得$h=180$。
从高空坠落的鸡蛋所带能量$\approx10×0.05×180=90(\mathrm{J})$。
因为$90\ \mathrm{J}＞65\ \mathrm{J}$，
所以会伤害到楼下的行人。
解析
【分析】
本题是给定公式的实际应用类题目，解题核心是灵活运用给出的两个公式分步骤求解：①第(1)问已知下落高度h，直接将h=15代入时间公式，计算二次根式即可得到时间t；②第(2)问已知下落时间t，将t=3代入时间公式，通过两边同时平方去掉根号，就能解出h的值；③第(3)问先将t=6代入时间公式求出下落高度h，再代入能量计算公式算出鸡蛋的坠落能量，最后和伤害人体所需的最低能量65J比较大小，即可判断是否会伤人。
【解析】
(1) 已知高度$h=15\ \mathrm{m}$，代入公式$t=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$可得：
$t=\sqrt{\dfrac{15}{5}}=\sqrt{3}\ (\mathrm{s})$
(2) 已知下落时间$t=3\ \mathrm{s}$，代入公式$t=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$可得：
$3=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$
两边同时平方得$9=\dfrac{h}{5}$，解得$h=45\ (\mathrm{m})$
(3) 先将下落时间$t=6\ \mathrm{s}$代入公式$t=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$可得：
$6=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$
两边同时平方得$36=\dfrac{h}{5}$，解得$h=180\ (\mathrm{m})$
再代入能量计算公式：
坠落能量≈$10×0.05×180=90\ (\mathrm{J})$
由于$90\ \mathrm{J}＞65\ \mathrm{J}$，因此该鸡蛋会伤害到楼下的行人。
【答案】
(1) $\sqrt{3}\ \mathrm{s}$；(2) $45\ \mathrm{m}$；(3) 会伤害到楼下的行人
【知识点】
二次根式运算，代数式求值，实数大小比较
【点评】
本题结合高空抛物的生活场景考察数学知识的应用，解题关键是准确代入对应数值完成计算，既可以巩固二次根式相关的运算能力，也能让学生直观认识到高空抛物的危害性，兼具实用性和教育意义。
【难度系数】
0.7
本题是给定公式的实际应用类题目，解题核心是灵活运用给出的两个公式分步骤求解：①第(1)问已知下落高度h，直接将h=15代入时间公式，计算二次根式即可得到时间t；②第(2)问已知下落时间t，将t=3代入时间公式，通过两边同时平方去掉根号，就能解出h的值；③第(3)问先将t=6代入时间公式求出下落高度h，再代入能量计算公式算出鸡蛋的坠落能量，最后和伤害人体所需的最低能量65J比较大小，即可判断是否会伤人。
【解析】
(1) 已知高度$h=15\ \mathrm{m}$，代入公式$t=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$可得：
$t=\sqrt{\dfrac{15}{5}}=\sqrt{3}\ (\mathrm{s})$
(2) 已知下落时间$t=3\ \mathrm{s}$，代入公式$t=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$可得：
$3=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$
两边同时平方得$9=\dfrac{h}{5}$，解得$h=45\ (\mathrm{m})$
(3) 先将下落时间$t=6\ \mathrm{s}$代入公式$t=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$可得：
$6=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$
两边同时平方得$36=\dfrac{h}{5}$，解得$h=180\ (\mathrm{m})$
再代入能量计算公式：
坠落能量≈$10×0.05×180=90\ (\mathrm{J})$
由于$90\ \mathrm{J}＞65\ \mathrm{J}$，因此该鸡蛋会伤害到楼下的行人。
【答案】
(1) $\sqrt{3}\ \mathrm{s}$；(2) $45\ \mathrm{m}$；(3) 会伤害到楼下的行人
【知识点】
二次根式运算，代数式求值，实数大小比较
【点评】
本题结合高空抛物的生活场景考察数学知识的应用，解题关键是准确代入对应数值完成计算，既可以巩固二次根式相关的运算能力，也能让学生直观认识到高空抛物的危害性，兼具实用性和教育意义。
【难度系数】
0.7
