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1. 下列选项中,不能反映一组数据集中趋势的是(
A.方差
B.平均数
C.众数
D.中位数
A
)A.方差
B.平均数
C.众数
D.中位数
答案
A
解析
【分析】
解题时首先明确题干要求，即选出无法反映一组数据集中趋势的统计量。首先回忆相关概念：集中趋势是指一组数据向某一中心值聚集的特征，常用的反映集中趋势的统计量包括平均数、中位数、众数；而方差是描述数据离散程度的统计量，用于衡量数据的波动大小，和集中趋势无关，据此即可判断正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项的作用：
1. 选项B（平均数）：是一组数据的平均水平，属于反映数据集中趋势的常用指标；
2. 选项C（众数）：是一组数据中出现次数最多的数值，反映多数数据的水平，属于集中趋势指标；
3. 选项D（中位数）：是将数据按大小排序后处在中间位置的数值，反映数据的中等水平，属于集中趋势指标；
4. 选项A（方差）：用于衡量一组数据的波动大小（离散程度），方差越大数据波动越大，无法反映数据的集中趋势。
因此符合题意的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 集中趋势描述指标 2. 方差的含义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对不同统计量功能的区分，只要准确识记各统计量的意义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题干要求，即选出无法反映一组数据集中趋势的统计量。首先回忆相关概念：集中趋势是指一组数据向某一中心值聚集的特征，常用的反映集中趋势的统计量包括平均数、中位数、众数；而方差是描述数据离散程度的统计量，用于衡量数据的波动大小，和集中趋势无关，据此即可判断正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项的作用：
1. 选项B（平均数）：是一组数据的平均水平，属于反映数据集中趋势的常用指标；
2. 选项C（众数）：是一组数据中出现次数最多的数值，反映多数数据的水平，属于集中趋势指标；
3. 选项D（中位数）：是将数据按大小排序后处在中间位置的数值，反映数据的中等水平，属于集中趋势指标；
4. 选项A（方差）：用于衡量一组数据的波动大小（离散程度），方差越大数据波动越大，无法反映数据的集中趋势。
因此符合题意的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 集中趋势描述指标 2. 方差的含义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对不同统计量功能的区分，只要准确识记各统计量的意义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.甲、乙、丙、丁四名运动员各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是$s^2_甲=2.1$，$s^2_乙=1.1$，$s^2_丙=1.5$，$s^2_丁=0.9$。这四名运动员成绩最稳定的是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
D
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确方差的实际意义：在平均成绩相同的前提下，方差是判断成绩稳定性的依据，方差越小代表成绩波动越小、越稳定。因此解题步骤为：第一步回忆方差与稳定性的关系，第二步比较四名运动员方差的大小，第三步选出方差最小的运动员即可得到答案。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小的统计量：当几组数据的平均数相同时，方差越大，数据的离散程度越大，稳定性越差；方差越小，数据的离散程度越小，稳定性越好。
已知四名运动员平均成绩相同，方差大小为：$s^2_丁=0.9＜s^2_乙=1.1＜s^2_丙=1.5＜s^2_甲=2.1$，丁的方差最小，因此丁的成绩最稳定。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
方差的意义；方差与稳定性的关系
【点评】
本题是方差在实际场景中的基础应用题，核心考查对方差性质的理解，只需牢记“平均水平相当时，方差越小数据越稳定”的规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确方差的实际意义：在平均成绩相同的前提下，方差是判断成绩稳定性的依据，方差越小代表成绩波动越小、越稳定。因此解题步骤为：第一步回忆方差与稳定性的关系，第二步比较四名运动员方差的大小，第三步选出方差最小的运动员即可得到答案。
【解析】
方差是反映一组数据波动大小的统计量：当几组数据的平均数相同时，方差越大，数据的离散程度越大，稳定性越差；方差越小，数据的离散程度越小，稳定性越好。
已知四名运动员平均成绩相同，方差大小为：$s^2_丁=0.9＜s^2_乙=1.1＜s^2_丙=1.5＜s^2_甲=2.1$，丁的方差最小，因此丁的成绩最稳定。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
方差的意义；方差与稳定性的关系
【点评】
本题是方差在实际场景中的基础应用题，核心考查对方差性质的理解，只需牢记“平均水平相当时，方差越小数据越稳定”的规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3.若$x_1,x_2,\dots,x_{10}$的平均数是10，$x_{11},x_{12},\dots,x_{30}$的平均数是20，则$x_1,x_2,\dots,x_{30}$的平均数是(
A.10
B.20
C.15
D.$\dfrac{50}{3}$
D
)A.10
B.20
C.15
D.$\dfrac{50}{3}$
答案
D
解析
【分析】
要计算30个数据的平均数，需遵循平均数的基本计算逻辑：平均数=所有数据的总和÷数据总个数。首先我们可以利用“总和=平均数×个数”分别求出前10个数据的总和、后20个数据的总和，再将两个总和相加得到30个数据的总总和，最后除以总个数30即可得到结果，注意不能直接将两个平均数相加除以2，因为两组数据的数量不相等，权重不同。
【解析】
第一步：计算前10个数的总和
由“总和=平均数×个数”可得，$x_1,x_2,\dots,x_{10}$的总和为：$10×10=100$
第二步：计算后20个数的总和
同理，$x_{11},x_{12},\dots,x_{30}$的总和为：$20×20=400$
第三步：计算30个数的平均数
30个数的总总和为$100+400=500$，因此平均数为$\frac{500}{30}=\frac{50}{3}$
【答案】
D
【知识点】
平均数的计算、加权平均数
【点评】
本题考查平均数的基本应用，属于易错题，易错点是忽略两组数据的数量差异，直接对两个平均数取算术平均得到错误结果15，解题时牢记平均数计算需要用总数量除以总份数即可避免错误。
【难度系数】
0.7
要计算30个数据的平均数，需遵循平均数的基本计算逻辑：平均数=所有数据的总和÷数据总个数。首先我们可以利用“总和=平均数×个数”分别求出前10个数据的总和、后20个数据的总和，再将两个总和相加得到30个数据的总总和，最后除以总个数30即可得到结果，注意不能直接将两个平均数相加除以2，因为两组数据的数量不相等，权重不同。
【解析】
第一步：计算前10个数的总和
由“总和=平均数×个数”可得，$x_1,x_2,\dots,x_{10}$的总和为：$10×10=100$
第二步：计算后20个数的总和
同理，$x_{11},x_{12},\dots,x_{30}$的总和为：$20×20=400$
第三步：计算30个数的平均数
30个数的总总和为$100+400=500$，因此平均数为$\frac{500}{30}=\frac{50}{3}$
【答案】
D
【知识点】
平均数的计算、加权平均数
【点评】
本题考查平均数的基本应用，属于易错题，易错点是忽略两组数据的数量差异，直接对两个平均数取算术平均得到错误结果15，解题时牢记平均数计算需要用总数量除以总份数即可避免错误。
【难度系数】
0.7
4.体育组为了了解八年级学生1 min跳绳次数的情况，随机抽取了20名八年级学生进行1 min跳绳测试(单位：次)，数据如下：
100,110,114,114,120,122,122,131,
144,148,152,155,156,165,165,165,
165,174,188,190。
学生跳绳次数的下四分位数是
100,110,114,114,120,122,122,131,
144,148,152,155,156,165,165,165,
165,174,188,190。
学生跳绳次数的下四分位数是
121
次，上四分位数是165
次。答案
121；165
解析
【分析】
要计算一组数据的下四分位数和上四分位数，步骤如下：首先确认数据已按从小到大的顺序排列，本题给出的数据已经完成排序；其次明确下四分位数即第25百分位数，上四分位数即第75百分位数，计算对应位置i=n×p（n为数据总个数，p为对应百分位）；最后根据i的取值规则计算结果：若i是整数，取第i个和第i+1个数据的平均数，若i不是整数，向上取整后对应位置的数据即为所求。
【解析】
已知抽取的20名学生的跳绳次数已按从小到大排列，总数据个数n=20。
1. 计算下四分位数：
下四分位数对应第25百分位数，位置$i_1=20×25\%=5$，$i_1$为整数，因此下四分位数是第5个和第6个数据的平均数。
第5个数据为120，第6个数据为122，故下四分位数$=(120+122)÷2=121$。
2. 计算上四分位数：
上四分位数对应第75百分位数，位置$i_2=20×75\%=15$，$i_2$为整数，因此上四分位数是第15个和第16个数据的平均数。
第15个数据为165，第16个数据为165，故上四分位数$=(165+165)÷2=165$。
【答案】
121；165
【知识点】
1. 四分位数的计算
2. 百分位数的计算
【点评】
本题考查四分位数的计算，解题核心是准确计算百分位对应的位置，尤其要注意当计算出的位置为整数时，需取对应位置和下一个位置数据的平均数，避免直接取对应位置的数导致错误。
【难度系数】
0.7
要计算一组数据的下四分位数和上四分位数，步骤如下：首先确认数据已按从小到大的顺序排列，本题给出的数据已经完成排序；其次明确下四分位数即第25百分位数，上四分位数即第75百分位数，计算对应位置i=n×p（n为数据总个数，p为对应百分位）；最后根据i的取值规则计算结果：若i是整数，取第i个和第i+1个数据的平均数，若i不是整数，向上取整后对应位置的数据即为所求。
【解析】
已知抽取的20名学生的跳绳次数已按从小到大排列，总数据个数n=20。
1. 计算下四分位数：
下四分位数对应第25百分位数，位置$i_1=20×25\%=5$，$i_1$为整数，因此下四分位数是第5个和第6个数据的平均数。
第5个数据为120，第6个数据为122，故下四分位数$=(120+122)÷2=121$。
2. 计算上四分位数：
上四分位数对应第75百分位数，位置$i_2=20×75\%=15$，$i_2$为整数，因此上四分位数是第15个和第16个数据的平均数。
第15个数据为165，第16个数据为165，故上四分位数$=(165+165)÷2=165$。
【答案】
121；165
【知识点】
1. 四分位数的计算
2. 百分位数的计算
【点评】
本题考查四分位数的计算，解题核心是准确计算百分位对应的位置，尤其要注意当计算出的位置为整数时，需取对应位置和下一个位置数据的平均数，避免直接取对应位置的数导致错误。
【难度系数】
0.7
5.甲、乙两地某月日平均气温的箱线图如图所示,根据图中信息判断,这个月日平均气温的方差较大的是
甲地
(填“甲地”或“乙地”)答案
甲地
解析
【分析】
要判断哪地的日平均气温方差更大，首先明确方差的意义：方差是反映一组数据波动大小的统计量，数据波动越大（离散程度越高），方差越大。接下来观察甲、乙两地的箱线图，箱线图的上下端点分别对应数据的最大值和最小值，箱体对应四分位区间，分布越宽说明数据波动越大。可见甲地气温的最大值更高、最小值更低，整体分布范围比乙地更广，波动更大，因此方差更大。
【解析】
方差用于衡量数据的波动程度：数据离散程度越高，波动越大，对应的方差就越大。
观察箱线图可得：甲地的日平均气温取值范围更大，数据离散程度比乙地更高，波动幅度更大，因此甲地的日平均气温方差更大。
【答案】
甲地
【知识点】
方差的意义；箱线图的识别
【点评】
本题结合箱线图考查方差的相关性质，解题核心是理解方差与数据波动程度的对应关系，能通过统计图表判断数据的离散程度，属于基础类统计应用题。
【难度系数】
0.7
要判断哪地的日平均气温方差更大，首先明确方差的意义：方差是反映一组数据波动大小的统计量，数据波动越大（离散程度越高），方差越大。接下来观察甲、乙两地的箱线图，箱线图的上下端点分别对应数据的最大值和最小值，箱体对应四分位区间，分布越宽说明数据波动越大。可见甲地气温的最大值更高、最小值更低，整体分布范围比乙地更广，波动更大，因此方差更大。
【解析】
方差用于衡量数据的波动程度：数据离散程度越高，波动越大，对应的方差就越大。
观察箱线图可得：甲地的日平均气温取值范围更大，数据离散程度比乙地更高，波动幅度更大，因此甲地的日平均气温方差更大。
【答案】
甲地
【知识点】
方差的意义；箱线图的识别
【点评】
本题结合箱线图考查方差的相关性质，解题核心是理解方差与数据波动程度的对应关系，能通过统计图表判断数据的离散程度，属于基础类统计应用题。
【难度系数】
0.7
6.甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击6次，甲的成绩(单位:环)为8，8，9，10，5，8；乙的成绩(单位:环)为6，10，6，10，9，7。这两名运动员中发挥得更稳定的是
甲
(填“甲”或“乙”)。答案
甲
解析
【分析】
要判断两名运动员谁发挥更稳定，核心是比较两人成绩的方差，方差越小说明数据波动越小，发挥越稳定。解题思路可分为三步：第一步分别计算甲、乙两人成绩的平均数，第二步根据平均数计算两人成绩的方差，第三步比较方差大小，方差更小的运动员发挥更稳定。
【解析】
1. 计算甲的相关统计量：
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲 = \frac{8+8+9+10+5+8}{6} = \frac{48}{6} = 8$（环）
甲的成绩方差：
$\begin{aligned}s^2_甲 &= \frac{1}{6}×[(8-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (10-8)^2 + (5-8)^2 + (8-8)^2] \\&= \frac{1}{6}×(0+0+1+4+9+0) \\&= \frac{14}{6} \approx 2.33\end{aligned}$
2. 计算乙的相关统计量：
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙 = \frac{6+10+6+10+9+7}{6} = \frac{48}{6} = 8$（环）
乙的成绩方差：
$\begin{aligned}s^2_乙 &= \frac{1}{6}×[(6-8)^2 + (10-8)^2 + (6-8)^2 + (10-8)^2 + (9-8)^2 + (7-8)^2] \\&= \frac{1}{6}×(4+4+4+4+1+1) \\&= 3\end{aligned}$
3. 比较方差判断稳定性：
因为$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，说明甲的成绩波动更小，所以甲发挥更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义；方差的计算；平均数的计算
【点评】
本题核心考查利用方差判断数据的稳定性，牢记“方差越小，数据波动越小，对应成绩越稳定”是解题的关键，计算过程中要注意运算的准确率，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
要判断两名运动员谁发挥更稳定，核心是比较两人成绩的方差，方差越小说明数据波动越小，发挥越稳定。解题思路可分为三步：第一步分别计算甲、乙两人成绩的平均数，第二步根据平均数计算两人成绩的方差，第三步比较方差大小，方差更小的运动员发挥更稳定。
【解析】
1. 计算甲的相关统计量：
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲 = \frac{8+8+9+10+5+8}{6} = \frac{48}{6} = 8$（环）
甲的成绩方差：
$\begin{aligned}s^2_甲 &= \frac{1}{6}×[(8-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (10-8)^2 + (5-8)^2 + (8-8)^2] \\&= \frac{1}{6}×(0+0+1+4+9+0) \\&= \frac{14}{6} \approx 2.33\end{aligned}$
2. 计算乙的相关统计量：
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙 = \frac{6+10+6+10+9+7}{6} = \frac{48}{6} = 8$（环）
乙的成绩方差：
$\begin{aligned}s^2_乙 &= \frac{1}{6}×[(6-8)^2 + (10-8)^2 + (6-8)^2 + (10-8)^2 + (9-8)^2 + (7-8)^2] \\&= \frac{1}{6}×(4+4+4+4+1+1) \\&= 3\end{aligned}$
3. 比较方差判断稳定性：
因为$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，说明甲的成绩波动更小，所以甲发挥更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义；方差的计算；平均数的计算
【点评】
本题核心考查利用方差判断数据的稳定性，牢记“方差越小，数据波动越小，对应成绩越稳定”是解题的关键，计算过程中要注意运算的准确率，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8
7.为了解吉他的品质，某音乐协会对A，B两种品牌的吉他进行了抽样调查。在相同条件下，随机抽取两种品牌的吉他各9把进行评分（满分100分），将结果整理成下表，并绘制成如图所示的折线统计图。
A,B两种品牌吉他得分统计表
(1)比较大小：$s^2_A$
(2)利用平均数、方差评价两种吉他的品质。
A,B两种品牌吉他得分统计表
(1)比较大小：$s^2_A$
＜
（填“＞”“＜”或“=”）$s^2_B$。(2)利用平均数、方差评价两种吉他的品质。
答案
(1)＜
(2)$\overline{x}_\mathrm{A}=\dfrac{1}{9}×(81+82+83+88+90+90+90+92+95)\approx87.9$(分)，
$\overline{x}_\mathrm{B}=\dfrac{1}{9}×(74+75+85+88+89+90+91+97+97)\approx87.3$(分)。
因为A品牌吉他得分的平均数比B品牌吉他高，且其方差比B品牌吉他的方差小，所以A品牌吉他的品质优于B品牌吉他。
(2)$\overline{x}_\mathrm{A}=\dfrac{1}{9}×(81+82+83+88+90+90+90+92+95)\approx87.9$(分)，
$\overline{x}_\mathrm{B}=\dfrac{1}{9}×(74+75+85+88+89+90+91+97+97)\approx87.3$(分)。
因为A品牌吉他得分的平均数比B品牌吉他高，且其方差比B品牌吉他的方差小，所以A品牌吉他的品质优于B品牌吉他。
解析
【分析】
(1) 要比较两个品牌得分的方差大小，需先明确方差的意义：方差是衡量数据波动程度的统计量，数据波动越大，方差越大。观察两组数据的离散程度可知，A品牌得分更集中、波动更小，因此方差更小。
(2) 评价两种吉他的品质需结合平均数和方差两个统计量：平均数反映数据的平均水平，平均数越高说明整体得分越高；方差反映数据的稳定性，方差越小说明得分越稳定。解题时先分别计算A、B两种品牌吉他得分的平均数，再结合方差大小综合对比即可得出结论。
【解析】
(1) 观察A、B两组得分数据，A品牌的得分相对更集中，波动幅度更小，根据“波动越小方差越小”的规律，可得$s^2_A ＜ s^2_B$。
(2) 先分别计算两种品牌吉他得分的平均数：
$\overline{x}_\mathrm{A}=\dfrac{1}{9}×(81+82+83+88+90+90+90+92+95)\approx87.9$(分)，
$\overline{x}_\mathrm{B}=\dfrac{1}{9}×(74+75+85+88+89+90+91+97+97)\approx87.3$(分)。
对比两个统计量可知：A品牌吉他得分的平均数比B品牌高，说明A的平均得分水平更高；同时A的方差比B品牌小，说明A品牌得分更稳定，因此A品牌吉他的品质优于B品牌吉他。
【答案】
(1) $\boldsymbol{＜}$
(2) A品牌吉他的平均得分更高，且得分更稳定，因此A品牌吉他的品质优于B品牌吉他。
【知识点】
平均数的计算，方差的意义，统计量的应用
【点评】
本题结合实际场景考查统计知识的应用，要求学生掌握平均数的计算方法，理解方差反映数据波动程度的特征，能够结合多个统计量的特征对实际问题做出综合判断，是统计知识生活化应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要比较两个品牌得分的方差大小，需先明确方差的意义：方差是衡量数据波动程度的统计量，数据波动越大，方差越大。观察两组数据的离散程度可知，A品牌得分更集中、波动更小，因此方差更小。
(2) 评价两种吉他的品质需结合平均数和方差两个统计量：平均数反映数据的平均水平，平均数越高说明整体得分越高；方差反映数据的稳定性，方差越小说明得分越稳定。解题时先分别计算A、B两种品牌吉他得分的平均数，再结合方差大小综合对比即可得出结论。
【解析】
(1) 观察A、B两组得分数据，A品牌的得分相对更集中，波动幅度更小，根据“波动越小方差越小”的规律，可得$s^2_A ＜ s^2_B$。
(2) 先分别计算两种品牌吉他得分的平均数：
$\overline{x}_\mathrm{A}=\dfrac{1}{9}×(81+82+83+88+90+90+90+92+95)\approx87.9$(分)，
$\overline{x}_\mathrm{B}=\dfrac{1}{9}×(74+75+85+88+89+90+91+97+97)\approx87.3$(分)。
对比两个统计量可知：A品牌吉他得分的平均数比B品牌高，说明A的平均得分水平更高；同时A的方差比B品牌小，说明A品牌得分更稳定，因此A品牌吉他的品质优于B品牌吉他。
【答案】
(1) $\boldsymbol{＜}$
(2) A品牌吉他的平均得分更高，且得分更稳定，因此A品牌吉他的品质优于B品牌吉他。
【知识点】
平均数的计算，方差的意义，统计量的应用
【点评】
本题结合实际场景考查统计知识的应用，要求学生掌握平均数的计算方法，理解方差反映数据波动程度的特征，能够结合多个统计量的特征对实际问题做出综合判断，是统计知识生活化应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
