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1.如图，D是△ABC的重心，连接AD并延长AD，交BC于点E，则BE与CE的数量关系为。
答案
解：
∵ D是△ABC的重心，
∴ AE是△ABC的边BC上的中线，
∴ 点E是BC的中点，
∴ BE = CE。
∵ D是△ABC的重心，
∴ AE是△ABC的边BC上的中线，
∴ 点E是BC的中点，
∴ BE = CE。
解析
【分析】
解题时先从已知条件“D是△ABC的重心”入手，回忆三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此连接顶点与重心并延长交对边的线段就是三角形的中线，而三角形的中线会平分对边，据此即可推出BE和CE的数量关系。
【解析】
∵ D是△ABC的重心，
∴ AE是△ABC的边BC上的中线，
∴ 点E是BC的中点，
∴ BE = CE。
【答案】
BE=CE
【知识点】
三角形重心的定义；三角形中线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对三角形重心相关性质的掌握，熟练掌握基础概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件“D是△ABC的重心”入手，回忆三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此连接顶点与重心并延长交对边的线段就是三角形的中线，而三角形的中线会平分对边，据此即可推出BE和CE的数量关系。
【解析】
∵ D是△ABC的重心，
∴ AE是△ABC的边BC上的中线，
∴ 点E是BC的中点，
∴ BE = CE。
【答案】
BE=CE
【知识点】
三角形重心的定义；三角形中线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对三角形重心相关性质的掌握，熟练掌握基础概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.匀质圆形薄板的重心在上，
匀质长方形薄板对角线的交点
（填“是”或“不是”）该薄板的重心。
匀质长方形薄板对角线的交点
（填“是”或“不是”）该薄板的重心。
答案
解：
圆心
是
圆心
是
解析
【分析】
解题时首先要明确匀质（即质量分布均匀）、形状规则的物体的重心位置规律：这类物体的重心在自身的几何中心处。接下来分别分析两个物体：①圆形属于规则几何图形，它的几何中心是圆心，因此可得出匀质圆形薄板的重心位置；②长方形属于规则几何图形，它的几何中心是两条对角线的交点，结合匀质的条件即可判断该交点是不是重心。
【解析】
对于质量分布均匀、形状规则的物体，其重心位于物体的几何中心处：
1. 匀质圆形薄板形状规则、质量均匀，它的几何中心是圆心，因此其重心在圆心上；
2. 匀质长方形薄板形状规则、质量均匀，它的几何中心为两条对角线的交点，因此该交点是薄板的重心。
【答案】
圆心；是
【知识点】
1. 规则匀质物体重心判定
2. 常见平面图形的几何中心
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记质量分布均匀、形状规则的物体重心在其几何中心，结合常见图形的几何中心特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确匀质（即质量分布均匀）、形状规则的物体的重心位置规律：这类物体的重心在自身的几何中心处。接下来分别分析两个物体：①圆形属于规则几何图形，它的几何中心是圆心，因此可得出匀质圆形薄板的重心位置；②长方形属于规则几何图形，它的几何中心是两条对角线的交点，结合匀质的条件即可判断该交点是不是重心。
【解析】
对于质量分布均匀、形状规则的物体，其重心位于物体的几何中心处：
1. 匀质圆形薄板形状规则、质量均匀，它的几何中心是圆心，因此其重心在圆心上；
2. 匀质长方形薄板形状规则、质量均匀，它的几何中心为两条对角线的交点，因此该交点是薄板的重心。
【答案】
圆心；是
【知识点】
1. 规则匀质物体重心判定
2. 常见平面图形的几何中心
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记质量分布均匀、形状规则的物体重心在其几何中心，结合常见图形的几何中心特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3.图①和图②是利用悬挂法确定形状不规则的薄板重心的示意图.
(1)实验步骤:
①间隔适当的距离在薄板上取两点A,B;
②分别在A,B两点将薄板悬挂起来，的交点位置即为重心.
(2)若图③中用铅笔尖在重心O处顶起该薄板,则薄板(填“能”“不能”或“不一定”)处于平衡状态.
(1)实验步骤:
①间隔适当的距离在薄板上取两点A,B;
②分别在A,B两点将薄板悬挂起来，的交点位置即为重心.
(2)若图③中用铅笔尖在重心O处顶起该薄板,则薄板(填“能”“不能”或“不一定”)处于平衡状态.
答案
解：
(1) 沿悬线方向在薄板上所画的两条直线
(2) 能
(1) 沿悬线方向在薄板上所画的两条直线
(2) 能
解析
【分析】
(1) 本题可结合两直线相交的性质和悬挂法的原理思考：当不规则薄板悬挂静止时，悬线所在的直线必然经过重心，我们在A、B两点分别悬挂时，每次沿悬线在薄板上画一条直线，根据两条不同直线相交有且只有一个交点，这两条直线的交点就是重心的位置。
(2) 第二问可根据重心的性质判断：重心是物体重力的等效作用点，当支撑点正好在重心位置时，物体受力平衡，可保持静止状态。
【解析】
(1) 操作时，先在A点将薄板悬挂，待薄板静止后沿悬线方向在薄板上画一条直线；再在B点将薄板悬挂，静止后同样沿悬线方向画第二条直线，两条直线都经过重心，因此它们的交点就是重心位置，故应填沿悬线方向在薄板上所画的两条直线。
(2) 当铅笔尖顶在重心O处时，薄板受到的支持力和重力是一对平衡力，因此薄板能处于平衡状态，故填“能”。
【答案】
(1) 沿悬线方向在薄板上所画的两条直线
(2) 能
【知识点】
两直线相交的性质，重心的概念，悬挂法测重心
【点评】
本题结合实践操作考查几何基本性质和重心的特点，贴近生活实际，核心是理解悬挂法的操作原理和重心的基本性质，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
(1) 本题可结合两直线相交的性质和悬挂法的原理思考：当不规则薄板悬挂静止时，悬线所在的直线必然经过重心，我们在A、B两点分别悬挂时，每次沿悬线在薄板上画一条直线，根据两条不同直线相交有且只有一个交点，这两条直线的交点就是重心的位置。
(2) 第二问可根据重心的性质判断：重心是物体重力的等效作用点，当支撑点正好在重心位置时，物体受力平衡，可保持静止状态。
【解析】
(1) 操作时，先在A点将薄板悬挂，待薄板静止后沿悬线方向在薄板上画一条直线；再在B点将薄板悬挂，静止后同样沿悬线方向画第二条直线，两条直线都经过重心，因此它们的交点就是重心位置，故应填沿悬线方向在薄板上所画的两条直线。
(2) 当铅笔尖顶在重心O处时，薄板受到的支持力和重力是一对平衡力，因此薄板能处于平衡状态，故填“能”。
【答案】
(1) 沿悬线方向在薄板上所画的两条直线
(2) 能
【知识点】
两直线相交的性质，重心的概念，悬挂法测重心
【点评】
本题结合实践操作考查几何基本性质和重心的特点，贴近生活实际，核心是理解悬挂法的操作原理和重心的基本性质，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
4. 提升题【探究课题】三角形重心性质的探究.
【课本再现】三角形三条中线的交点叫
作三角形的重心.如图①,取一块质地均匀的三角形纸板ABC,如果用一根细绳从重心O处将三角形纸板提起来,那么纸板就会处于水平状态.
【解决问题】任务1:若$△ BOC$的面积为$m$,则$△ ABO$的面积为；
任务2:在任务1的条件下,$\frac{AO}{DO}$的值为.
【拓展应用】如图②,在$△ ABC$中,$O$是$△ ABC$的重心.连接$BO$,$CO$并延长,分别交$AC$,$AB$于点$D$,$E$.若$BO⊥ CO$,$BD=6$,$CE=9$,直接利用上面的结论,求四边形$AEOD$的面积.
【课本再现】三角形三条中线的交点叫
作三角形的重心.如图①,取一块质地均匀的三角形纸板ABC,如果用一根细绳从重心O处将三角形纸板提起来,那么纸板就会处于水平状态.
【解决问题】任务1:若$△ BOC$的面积为$m$,则$△ ABO$的面积为；
任务2:在任务1的条件下,$\frac{AO}{DO}$的值为.
【拓展应用】如图②,在$△ ABC$中,$O$是$△ ABC$的重心.连接$BO$,$CO$并延长,分别交$AC$,$AB$于点$D$,$E$.若$BO⊥ CO$,$BD=6$,$CE=9$,直接利用上面的结论,求四边形$AEOD$的面积.
答案
任务1：$\boldsymbol{m}$；任务2：$\boldsymbol{2}$；拓展应用：$\boldsymbol{12}$。
解析
【分析】
解题时首先明确重心是三角形三条中线的交点，结合中线的性质推导重心相关的面积、线段比例规律：
1. 任务1：利用中线将三角形分成面积相等的两部分，通过面积差推导得出重心与三顶点连线将原三角形分成3个面积相等的小三角形，即可得△ABO的面积；
2. 任务2：同高的两个三角形面积比等于底边长的比，结合△ABO和△OBD的面积关系即可求出线段比值；
3. 拓展应用：先利用重心分中线为2:1的比例求出BO、CO的长度，结合垂直条件计算△BOC的面积，再用前序结论得△ABC总面积，最后用总面积减去周围3个小三角形的面积即可求出四边形面积。
【解析】
任务1
∵O是△ABC的重心，
∴AD、BE、CF均为△ABC的中线，D是BC中点
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$，$S_{△ OBD}=S_{△ OCD}$
两式作差得：$S_{△ ABD}-S_{△ OBD}=S_{△ ACD}-S_{△ OCD}$，即$S_{△ ABO}=S_{△ ACO}$
同理可证$S_{△ ABO}=S_{△ BOC}$，已知$S_{△ BOC}=m$，故$S_{△ ABO}=m$
任务2
∵D是BC中点，
∴$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}S_{△ BOC}=\frac{m}{2}$
△ABO和△OBD同高（以B为顶点，AD为底的高相同），面积比等于底的比：
$\frac{S_{△ ABO}}{S_{△ OBD}}=\frac{AO}{DO}=\frac{m}{\frac{m}{2}}=2$，即$\frac{AO}{DO}=2$
拓展应用
∵O是△ABC的重心，
∴$BO:OD=2:1$，$CO:OE=2:1$
已知$BD=6$，$CE=9$，则$BO=\frac{2}{3}BD=4$，$CO=\frac{2}{3}CE=6$
∵$BO⊥ CO$，
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× BO× CO=\frac{1}{2}×4×6=12$
由任务1结论得$S_{△ ABO}=S_{△ ACO}=S_{△ BOC}=12$，故$S_{△ ABC}=12×3=36$
△BOE和△BOC同高（以B为顶点，CE为底的高相同），面积比等于底的比：
$\frac{S_{△ BOE}}{S_{△ BOC}}=\frac{OE}{OC}=\frac{1}{2}$，得$S_{△ BOE}=6$，同理可得$S_{△ COD}=6$
∴$S_{四边形AEOD}=S_{△ ABC}-S_{△ BOC}-S_{△ BOE}-S_{△ COD}=36-12-6-6=12$
【答案】
任务1：$\boldsymbol{m}$；任务2：$\boldsymbol{2}$；拓展应用：$\boldsymbol{12}$
【知识点】
三角形重心性质，三角形面积计算，中线的性质
【点评】
本题围绕三角形重心的性质展开考查，需要学生结合中线的面积性质推导重心相关的面积、线段比例规律，能很好地锻炼逻辑推导和数形结合的能力，解题时注意同高三角形面积比等于对应底的比这一结论的灵活运用。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确重心是三角形三条中线的交点，结合中线的性质推导重心相关的面积、线段比例规律：
1. 任务1：利用中线将三角形分成面积相等的两部分，通过面积差推导得出重心与三顶点连线将原三角形分成3个面积相等的小三角形，即可得△ABO的面积；
2. 任务2：同高的两个三角形面积比等于底边长的比，结合△ABO和△OBD的面积关系即可求出线段比值；
3. 拓展应用：先利用重心分中线为2:1的比例求出BO、CO的长度，结合垂直条件计算△BOC的面积，再用前序结论得△ABC总面积，最后用总面积减去周围3个小三角形的面积即可求出四边形面积。
【解析】
任务1
∵O是△ABC的重心，
∴AD、BE、CF均为△ABC的中线，D是BC中点
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$，$S_{△ OBD}=S_{△ OCD}$
两式作差得：$S_{△ ABD}-S_{△ OBD}=S_{△ ACD}-S_{△ OCD}$，即$S_{△ ABO}=S_{△ ACO}$
同理可证$S_{△ ABO}=S_{△ BOC}$，已知$S_{△ BOC}=m$，故$S_{△ ABO}=m$
任务2
∵D是BC中点，
∴$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}S_{△ BOC}=\frac{m}{2}$
△ABO和△OBD同高（以B为顶点，AD为底的高相同），面积比等于底的比：
$\frac{S_{△ ABO}}{S_{△ OBD}}=\frac{AO}{DO}=\frac{m}{\frac{m}{2}}=2$，即$\frac{AO}{DO}=2$
拓展应用
∵O是△ABC的重心，
∴$BO:OD=2:1$，$CO:OE=2:1$
已知$BD=6$，$CE=9$，则$BO=\frac{2}{3}BD=4$，$CO=\frac{2}{3}CE=6$
∵$BO⊥ CO$，
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× BO× CO=\frac{1}{2}×4×6=12$
由任务1结论得$S_{△ ABO}=S_{△ ACO}=S_{△ BOC}=12$，故$S_{△ ABC}=12×3=36$
△BOE和△BOC同高（以B为顶点，CE为底的高相同），面积比等于底的比：
$\frac{S_{△ BOE}}{S_{△ BOC}}=\frac{OE}{OC}=\frac{1}{2}$，得$S_{△ BOE}=6$，同理可得$S_{△ COD}=6$
∴$S_{四边形AEOD}=S_{△ ABC}-S_{△ BOC}-S_{△ BOE}-S_{△ COD}=36-12-6-6=12$
【答案】
任务1：$\boldsymbol{m}$；任务2：$\boldsymbol{2}$；拓展应用：$\boldsymbol{12}$
【知识点】
三角形重心性质，三角形面积计算，中线的性质
【点评】
本题围绕三角形重心的性质展开考查，需要学生结合中线的面积性质推导重心相关的面积、线段比例规律，能很好地锻炼逻辑推导和数形结合的能力，解题时注意同高三角形面积比等于对应底的比这一结论的灵活运用。
【难度系数】
0.6
