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6. 在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，$∠ B=∠ B'=40°$，$AB=A'B'=5$，$AC=A'C'=3$。
若$∠ C=n°$，则$∠ C'$的度数为$\quad (\quad)$
A.$40°$
B.$n°$
C.$n°$或$180° - n°$
D.$40°$或$140°$
若$∠ C=n°$，则$∠ C'$的度数为$\quad (\quad)$
A.$40°$
B.$n°$
C.$n°$或$180° - n°$
D.$40°$或$140°$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形全等的判定条件，明确SSA（两边及其中一边的对角对应相等）不能判定两个三角形全等，存在两种符合条件的三角形。我们可以通过尺规作图的思路分析：固定∠B的大小和AB的长度，以A为圆心、AC长为半径画弧，会和∠B的另一边所在直线交于两个点，对应两种三角形：一种与△A'B'C'全等，此时∠C'等于∠C；另一种三角形的∠C'与∠C互补，据此即可得到∠C'的两种可能度数。
【解析】
解：已知在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'=40°，AB=A'B'=5，AC=A'C'=3，该条件属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），SSA不能判定两个三角形全等，因此分两种情况讨论：
1. 当△ABC≌△A'B'C'时，根据全等三角形对应角相等，可得∠C'=∠C=n°；
2. 当△ABC与△A'B'C'不全等时，作图可知：以A'为圆心、3为半径画弧，与射线B'C'交于两个点，其中非全等情况对应的三角形中，∠C'与∠C互补，即∠C'=180°-n°。
综上，∠C'的度数为n°或180°-n°。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定；补角的性质；三角形边角关系
【点评】
本题易错点是忽略SSA不能判定三角形全等，直接认为两个三角形全等错选B，解题时可通过作图的方式直观理解SSA对应的两种三角形情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆三角形全等的判定条件，明确SSA（两边及其中一边的对角对应相等）不能判定两个三角形全等，存在两种符合条件的三角形。我们可以通过尺规作图的思路分析：固定∠B的大小和AB的长度，以A为圆心、AC长为半径画弧，会和∠B的另一边所在直线交于两个点，对应两种三角形：一种与△A'B'C'全等，此时∠C'等于∠C；另一种三角形的∠C'与∠C互补，据此即可得到∠C'的两种可能度数。
【解析】
解：已知在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'=40°，AB=A'B'=5，AC=A'C'=3，该条件属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），SSA不能判定两个三角形全等，因此分两种情况讨论：
1. 当△ABC≌△A'B'C'时，根据全等三角形对应角相等，可得∠C'=∠C=n°；
2. 当△ABC与△A'B'C'不全等时，作图可知：以A'为圆心、3为半径画弧，与射线B'C'交于两个点，其中非全等情况对应的三角形中，∠C'与∠C互补，即∠C'=180°-n°。
综上，∠C'的度数为n°或180°-n°。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定；补角的性质；三角形边角关系
【点评】
本题易错点是忽略SSA不能判定三角形全等，直接认为两个三角形全等错选B，解题时可通过作图的方式直观理解SSA对应的两种三角形情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7. 琪琪在计算正数$a$的平方时，误算成$a$与2的积，求得的答案比正确答案大1，则$a$的值为（
A.1
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.1或$\sqrt{2}+1$
A
）A.1
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.1或$\sqrt{2}+1$
答案
7. A
解析
【分析】
解题时先明确两种计算的结果：正确计算正数a的平方，结果为$a^2$；误算的结果是a与2的积，即$2a$。根据“错误答案比正确答案大1”的条件，找到等量关系：错误结果 - 正确结果 = 1，据此列出一元二次方程，解方程后结合a是正数的条件筛选出符合题意的解即可。
【解析】
根据题意可列方程：
$2a - a^2 = 1$
移项整理得：
$a^2 - 2a + 1 = 0$
因式分解得：
$(a - 1)^2 = 0$
解得：$a = 1$
验证：当$a=1$时，正确结果为$1^2=1$，错误结果为$2×1=2$，$2-1=1$，符合“错误答案比正确答案大1”的条件，且1是正数，满足题意。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程解应用题，因式分解法解方程，正数的判定
【点评】
本题的易错点是容易混淆正确结果和错误结果的大小关系，列错方程导致错解，解题时要注意审题，明确等量关系，解出方程后还要验证解是否符合题目的限定条件，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两种计算的结果：正确计算正数a的平方，结果为$a^2$；误算的结果是a与2的积，即$2a$。根据“错误答案比正确答案大1”的条件，找到等量关系：错误结果 - 正确结果 = 1，据此列出一元二次方程，解方程后结合a是正数的条件筛选出符合题意的解即可。
【解析】
根据题意可列方程：
$2a - a^2 = 1$
移项整理得：
$a^2 - 2a + 1 = 0$
因式分解得：
$(a - 1)^2 = 0$
解得：$a = 1$
验证：当$a=1$时，正确结果为$1^2=1$，错误结果为$2×1=2$，$2-1=1$，符合“错误答案比正确答案大1”的条件，且1是正数，满足题意。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程解应用题，因式分解法解方程，正数的判定
【点评】
本题的易错点是容易混淆正确结果和错误结果的大小关系，列错方程导致错解，解题时要注意审题，明确等量关系，解出方程后还要验证解是否符合题目的限定条件，避免出错。
【难度系数】
0.7
8. 由$(\dfrac{2+c}{3+c}-\dfrac{2}{3})$值的正负可以比较$A=\dfrac{2+c}{3+c}$与$\dfrac{2}{3}$的大小. 下列结论中，正确的是（
A.当$c=-3$时，$A=\dfrac{2}{3}$
B.当$c=0$时，$A≠\dfrac{2}{3}$
C.当$c＜-3$时，$A＞\dfrac{2}{3}$
D.当$c＜0$时，$A＜\dfrac{2}{3}$
C
）A.当$c=-3$时，$A=\dfrac{2}{3}$
B.当$c=0$时，$A≠\dfrac{2}{3}$
C.当$c＜-3$时，$A＞\dfrac{2}{3}$
D.当$c＜0$时，$A＜\dfrac{2}{3}$
答案
8. C
解析
【分析】
本题采用作差法比较两个分式的大小，解题思路如下：首先先将两个分式作差，通分化简得到最简形式，再结合分式有意义的条件（分母不为0），分情况讨论差的正负性，进而判断两个分式的大小关系，最后逐一验证每个选项的正确性即可。
【解析】
首先对两个分式作差并化简：
$\begin{aligned}\frac{2+c}{3+c}-\frac{2}{3}&=\frac{3(2+c)-2(3+c)}{3(3+c)}\\&=\frac{6+3c-6-2c}{3(3+c)}\\&=\frac{c}{3(3+c)}\end{aligned}$
注意：分式有意义的前提是分母不为0，即$3+c≠0$，也就是$c≠-3$。
接下来逐一分析选项：
选项A：当$c=-3$时，分式$A=\frac{2+c}{3+c}$的分母为0，无意义，故A错误；
选项B：当$c=0$时，代入差得$\frac{0}{3×(3+0)}=0$，即$A=\frac{2}{3}$，故B错误；
选项C：当$c＜-3$时，$c＜0$，$3+c＜0$，则分子$c$为负，分母$3(3+c)$也为负，负负得正，即$\frac{c}{3(3+c)}＞0$，所以$A＞\frac{2}{3}$，故C正确；
选项D：当$c＜0$时，分两种情况：①若$c＜-3$，由选项C的推导可知$A＞\frac{2}{3}$；②若$-3＜c＜0$，此时$c＜0$，$3+c＞0$，则$\frac{c}{3(3+c)}＜0$，即$A＜\frac{2}{3}$。因此当$c＜0$时，$A$不一定小于$\frac{2}{3}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
作差法比较大小；分式有意义的条件；分式的加减运算
【点评】
本题核心考查分式大小比较的常用方法，作差法是比较代数式大小的基础技巧，解题时要优先考虑分式有意义的前提，分类讨论参数范围时要做到不重不漏，避免因忽略部分区间的情况错选答案。
【难度系数】
0.6
本题采用作差法比较两个分式的大小，解题思路如下：首先先将两个分式作差，通分化简得到最简形式，再结合分式有意义的条件（分母不为0），分情况讨论差的正负性，进而判断两个分式的大小关系，最后逐一验证每个选项的正确性即可。
【解析】
首先对两个分式作差并化简：
$\begin{aligned}\frac{2+c}{3+c}-\frac{2}{3}&=\frac{3(2+c)-2(3+c)}{3(3+c)}\\&=\frac{6+3c-6-2c}{3(3+c)}\\&=\frac{c}{3(3+c)}\end{aligned}$
注意：分式有意义的前提是分母不为0，即$3+c≠0$，也就是$c≠-3$。
接下来逐一分析选项：
选项A：当$c=-3$时，分式$A=\frac{2+c}{3+c}$的分母为0，无意义，故A错误；
选项B：当$c=0$时，代入差得$\frac{0}{3×(3+0)}=0$，即$A=\frac{2}{3}$，故B错误；
选项C：当$c＜-3$时，$c＜0$，$3+c＜0$，则分子$c$为负，分母$3(3+c)$也为负，负负得正，即$\frac{c}{3(3+c)}＞0$，所以$A＞\frac{2}{3}$，故C正确；
选项D：当$c＜0$时，分两种情况：①若$c＜-3$，由选项C的推导可知$A＞\frac{2}{3}$；②若$-3＜c＜0$，此时$c＜0$，$3+c＞0$，则$\frac{c}{3(3+c)}＜0$，即$A＜\frac{2}{3}$。因此当$c＜0$时，$A$不一定小于$\frac{2}{3}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
作差法比较大小；分式有意义的条件；分式的加减运算
【点评】
本题核心考查分式大小比较的常用方法，作差法是比较代数式大小的基础技巧，解题时要优先考虑分式有意义的前提，分类讨论参数范围时要做到不重不漏，避免因忽略部分区间的情况错选答案。
【难度系数】
0.6
9. 已知$52^2=2704$，$53^2=2809$，$54^2=2916$，$55^2=3025$。若$n$为整数且$n＜\sqrt{2888}＜n+1$，则$n$的值为（
A.52
B.53
C.54
D.55
B
）A.52
B.53
C.54
D.55
答案
9. B
解析
【分析】
本题考查无理数的估算，解题核心是利用“算术平方根的大小与被开方数的大小正相关”的性质，找到2888介于哪两个相邻整数的平方之间，就能确定$\sqrt{2888}$的整数部分，也就是n的值。首先观察题目给出的已知平方数，筛选出和2888接近的两个相邻数的平方，再比较大小即可推导。
【解析】
解：由题中已知条件可得：
$53^2=2809$，$54^2=2916$
比较被开方数大小：$2809 ＜ 2888 ＜ 2916$
根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，对三个数同时开算术平方根可得：
$\sqrt{2809} ＜ \sqrt{2888} ＜ \sqrt{2916}$
即$53 ＜ \sqrt{2888} ＜ 54$
又因为$n$为整数且$n ＜ \sqrt{2888} ＜ n+1$，所以$n=53$。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根估算；实数大小比较
【点评】
本题是无理数估算的基础题型，解题关键是熟练掌握平方运算和算术平方根的对应关系，通过夹逼法确定无理数的整数范围即可快速求解，运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
本题考查无理数的估算，解题核心是利用“算术平方根的大小与被开方数的大小正相关”的性质，找到2888介于哪两个相邻整数的平方之间，就能确定$\sqrt{2888}$的整数部分，也就是n的值。首先观察题目给出的已知平方数，筛选出和2888接近的两个相邻数的平方，再比较大小即可推导。
【解析】
解：由题中已知条件可得：
$53^2=2809$，$54^2=2916$
比较被开方数大小：$2809 ＜ 2888 ＜ 2916$
根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，对三个数同时开算术平方根可得：
$\sqrt{2809} ＜ \sqrt{2888} ＜ \sqrt{2916}$
即$53 ＜ \sqrt{2888} ＜ 54$
又因为$n$为整数且$n ＜ \sqrt{2888} ＜ n+1$，所以$n=53$。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根估算；实数大小比较
【点评】
本题是无理数估算的基础题型，解题关键是熟练掌握平方运算和算术平方根的对应关系，通过夹逼法确定无理数的整数范围即可快速求解，运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
10. 如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC的同侧，AB＜BC，∠EBD=90°，BE=BD，△EAB≌△BCD，连接DE. 设AB=a，BC=b，DE=c. 下列结论中，正确的是 （
①$a+b＜c$；②$a+b＞\sqrt{a^2+b^2}$；③$\sqrt{2}(a+b)＞c$.
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
D
）①$a+b＜c$；②$a+b＞\sqrt{a^2+b^2}$；③$\sqrt{2}(a+b)＞c$.
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
10. D
解析
【分析】
首先利用全等三角形的性质得到对应边相等，结合∠EBD=90°且BE=BD可知△EBD是等腰直角三角形，再借助勾股定理建立a、b、c之间的数量关系，最后通过平方法比较各不等式两边的大小，逐一判断三个结论是否正确。
解题思路：1. 由△EAB≌△BCD得EA=BC=b，AB=CD=a，且∠A=∠C=90°；2. 在Rt△EAB中用勾股定理得BE²=a²+b²；3. 等腰Rt△EBD中，DE²=2BE²，即c²=2(a²+b²)；4. 分别对三个结论两边平方，比较平方后的大小，即可判断结论是否成立。
【解析】
∵△EAB≌△BCD，
∴EA=BC=b，AB=CD=a，∠A=∠C=90°，
在Rt△EAB中，由勾股定理得：$BE^2=EA^2+AB^2=a^2+b^2$，
∵∠EBD=90°，BE=BD，
∴△EBD是等腰直角三角形，
∴$DE^2=BE^2+BD^2=2BE^2$，即$c^2=2(a^2+b^2)$。
接下来逐一判断结论：
1. 判断①$a+b＜c$：
将两边分别平方得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$c^2=2a^2+2b^2$，
作差得：$c^2-(a+b)^2=2a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，
∵AB＜BC即a＜b，
∴$(a-b)^2＞0$，即$c^2＞(a+b)^2$，
∵a、b、c均为正数，
∴$c＞a+b$，即$a+b＜c$，①正确。
2. 判断②$a+b＞\sqrt{a^2+b^2}$：
将两边分别平方得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(\sqrt{a^2+b^2})^2=a^2+b^2$，
∵a、b均为正数，
∴$2ab＞0$，即$(a+b)^2＞a^2+b^2$，
∵两边均为正数，
∴$a+b＞\sqrt{a^2+b^2}$，②正确。
3. 判断③$\sqrt{2}(a+b)＞c$：
将两边分别平方得：$[\sqrt{2}(a+b)]^2=2(a+b)^2=2a^2+4ab+2b^2$，$c^2=2a^2+2b^2$，
作差得：$2(a+b)^2 -c^2=2a^2+4ab+2b^2-(2a^2+2b^2)=4ab＞0$，
∵两边均为正数，
∴$\sqrt{2}(a+b)＞c$，③正确。
综上，①②③都正确。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质，勾股定理，不等式的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的综合题，解题的关键是利用全等三角形和等腰直角三角形的性质，结合勾股定理建立三个边长的数量关系，再通过平方法比较代数式的大小，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先利用全等三角形的性质得到对应边相等，结合∠EBD=90°且BE=BD可知△EBD是等腰直角三角形，再借助勾股定理建立a、b、c之间的数量关系，最后通过平方法比较各不等式两边的大小，逐一判断三个结论是否正确。
解题思路：1. 由△EAB≌△BCD得EA=BC=b，AB=CD=a，且∠A=∠C=90°；2. 在Rt△EAB中用勾股定理得BE²=a²+b²；3. 等腰Rt△EBD中，DE²=2BE²，即c²=2(a²+b²)；4. 分别对三个结论两边平方，比较平方后的大小，即可判断结论是否成立。
【解析】
∵△EAB≌△BCD，
∴EA=BC=b，AB=CD=a，∠A=∠C=90°，
在Rt△EAB中，由勾股定理得：$BE^2=EA^2+AB^2=a^2+b^2$，
∵∠EBD=90°，BE=BD，
∴△EBD是等腰直角三角形，
∴$DE^2=BE^2+BD^2=2BE^2$，即$c^2=2(a^2+b^2)$。
接下来逐一判断结论：
1. 判断①$a+b＜c$：
将两边分别平方得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$c^2=2a^2+2b^2$，
作差得：$c^2-(a+b)^2=2a^2+2b^2-(a^2+2ab+b^2)=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，
∵AB＜BC即a＜b，
∴$(a-b)^2＞0$，即$c^2＞(a+b)^2$，
∵a、b、c均为正数，
∴$c＞a+b$，即$a+b＜c$，①正确。
2. 判断②$a+b＞\sqrt{a^2+b^2}$：
将两边分别平方得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(\sqrt{a^2+b^2})^2=a^2+b^2$，
∵a、b均为正数，
∴$2ab＞0$，即$(a+b)^2＞a^2+b^2$，
∵两边均为正数，
∴$a+b＞\sqrt{a^2+b^2}$，②正确。
3. 判断③$\sqrt{2}(a+b)＞c$：
将两边分别平方得：$[\sqrt{2}(a+b)]^2=2(a+b)^2=2a^2+4ab+2b^2$，$c^2=2a^2+2b^2$，
作差得：$2(a+b)^2 -c^2=2a^2+4ab+2b^2-(2a^2+2b^2)=4ab＞0$，
∵两边均为正数，
∴$\sqrt{2}(a+b)＞c$，③正确。
综上，①②③都正确。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质，勾股定理，不等式的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的综合题，解题的关键是利用全等三角形和等腰直角三角形的性质，结合勾股定理建立三个边长的数量关系，再通过平方法比较代数式的大小，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
11. 已知$\sqrt{27} - \sqrt{2} = a\sqrt{3} + b\sqrt{2}$，则$ab=$
-3
。答案
11. -3
解析
【分析】
解题思路：首先将等式左侧的非最简二次根式$\sqrt{27}$化简为最简形式，再根据等式两边同类二次根式的系数对应相等的原则，分别求出$a$和$b$的取值，最后代入计算$ab$的乘积即可。具体步骤：第一步化简$\sqrt{27}$，第二步对比等式左右两边$\sqrt{3}$、$\sqrt{2}$的系数得到$a$、$b$的值，第三步计算$ab$的结果。
【解析】
首先化简等式左边的二次根式：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
因此等式左边整理为：
$\sqrt{27}-\sqrt{2}=3\sqrt{3}-\sqrt{2}$
已知$\sqrt{27}-\sqrt{2}=a\sqrt{3}+b\sqrt{2}$，对比等式两边同类二次根式的系数可得：
$\sqrt{3}$对应的系数：$a=3$
$\sqrt{2}$对应的系数：$b=-1$
因此$ab=3×(-1)=-3$
【答案】
-3
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式的化简方法以及同类二次根式系数对应相等的性质，计算量小，掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先将等式左侧的非最简二次根式$\sqrt{27}$化简为最简形式，再根据等式两边同类二次根式的系数对应相等的原则，分别求出$a$和$b$的取值，最后代入计算$ab$的乘积即可。具体步骤：第一步化简$\sqrt{27}$，第二步对比等式左右两边$\sqrt{3}$、$\sqrt{2}$的系数得到$a$、$b$的值，第三步计算$ab$的结果。
【解析】
首先化简等式左边的二次根式：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
因此等式左边整理为：
$\sqrt{27}-\sqrt{2}=3\sqrt{3}-\sqrt{2}$
已知$\sqrt{27}-\sqrt{2}=a\sqrt{3}+b\sqrt{2}$，对比等式两边同类二次根式的系数可得：
$\sqrt{3}$对应的系数：$a=3$
$\sqrt{2}$对应的系数：$b=-1$
因此$ab=3×(-1)=-3$
【答案】
-3
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式的化简方法以及同类二次根式系数对应相等的性质，计算量小，掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12. 方程$\frac{1}{3x+4}+\frac{1}{x}=0$的解为
$x=-1$
。答案
12. $x=-1$
解析
【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题遵循分式方程的常规求解思路：第一步先找到各分母的最简公分母，利用等式的性质给方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；第二步求解转化后的整式方程得到未知数的值；第三步检验所得的解是否会让原方程分母为0（即是否为增根），排除增根后得到的才是原方程的解。
【解析】
解：原方程为$\frac{1}{3x+4}+\frac{1}{x}=0$
首先确定分母不为0的前提：$3x+4≠0$且$x≠0$，即$x≠-\frac{4}{3}$且$x≠0$
方程两边同时乘最简公分母$x(3x+4)$，消去分母得：
$x + (3x + 4) = 0$
合并同类项得：$4x + 4 = 0$
移项后系数化为1得：$x = -1$
检验：将$x=-1$代入最简公分母$x(3x+4)$，得$(-1)×(3×(-1)+4)=-1≠0$，因此$x=-1$是原方程的解。
【答案】
$x=-1$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程验根
【点评】
本题属于基础题型，考查分式方程的常规求解流程，解题的易错点是忽略验根步骤，只要熟练掌握去分母、解整式方程、验根三个核心步骤，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程求解的题目，解题遵循分式方程的常规求解思路：第一步先找到各分母的最简公分母，利用等式的性质给方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；第二步求解转化后的整式方程得到未知数的值；第三步检验所得的解是否会让原方程分母为0（即是否为增根），排除增根后得到的才是原方程的解。
【解析】
解：原方程为$\frac{1}{3x+4}+\frac{1}{x}=0$
首先确定分母不为0的前提：$3x+4≠0$且$x≠0$，即$x≠-\frac{4}{3}$且$x≠0$
方程两边同时乘最简公分母$x(3x+4)$，消去分母得：
$x + (3x + 4) = 0$
合并同类项得：$4x + 4 = 0$
移项后系数化为1得：$x = -1$
检验：将$x=-1$代入最简公分母$x(3x+4)$，得$(-1)×(3×(-1)+4)=-1≠0$，因此$x=-1$是原方程的解。
【答案】
$x=-1$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程验根
【点评】
本题属于基础题型，考查分式方程的常规求解流程，解题的易错点是忽略验根步骤，只要熟练掌握去分母、解整式方程、验根三个核心步骤，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
13. 如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$。若$AC=3$，$DE=2$，则$△ ACD$的面积为
3
。答案
13. 3
解析
【分析】
要计算△ACD的面积，已知底AC=3，只需求出AC边上的高即可。结合已知AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AC的距离等于DE的长度，得到高之后代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点D作DF⊥AC，垂足为F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF = DE = 2（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
△ACD的面积$S=\frac{1}{2}×AC×DF$，
将AC=3，DF=2代入得：
$S=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题侧重对基础定理的理解和运用，解题的关键是通过角平分线的性质得到三角形未知的高，再结合面积公式计算即可。
【难度系数】
0.8
要计算△ACD的面积，已知底AC=3，只需求出AC边上的高即可。结合已知AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AC的距离等于DE的长度，得到高之后代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点D作DF⊥AC，垂足为F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF = DE = 2（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
△ACD的面积$S=\frac{1}{2}×AC×DF$，
将AC=3，DF=2代入得：
$S=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题侧重对基础定理的理解和运用，解题的关键是通过角平分线的性质得到三角形未知的高，再结合面积公式计算即可。
【难度系数】
0.8
14. 已知a，b，n均为正整数.
(1)若$n＜\sqrt{17}＜n+1$，则$n=$
(2)若$n＜\sqrt{a}＜n+1$，$n-1＜\sqrt{b}＜n$，则满足条件的a的个数总比b的个数多
(1)若$n＜\sqrt{17}＜n+1$，则$n=$
4
.(2)若$n＜\sqrt{a}＜n+1$，$n-1＜\sqrt{b}＜n$，则满足条件的a的个数总比b的个数多
2
个.答案
14. (1)4
(2)2
(2)2
解析
【分析】
(1) 要确定n的值，需先估算$\sqrt{17}$的取值范围，找到与17相邻的两个完全平方数，得到$\sqrt{17}$介于哪两个相邻整数之间，结合$n＜\sqrt{17}＜n+1$即可求出n；(2) 先对两个含根号的不等式两边同时平方，分别得到正整数a、b的取值范围，再计算两个范围内符合要求的正整数个数，最后作差即可得到结果。
【解析】
(1) 计算相邻正整数的平方：$4^2=16$，$5^2=25$，
∵ $16＜17＜25$，
∴ $\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$，
又
∵ $n＜\sqrt{17}＜n+1$，且n为正整数，
∴ $n=4$。
(2) 已知a、b、n均为正整数：
对$n＜\sqrt{a}＜n+1$两边同时平方（正数平方后不等号方向不变），得$n^2 ＜ a ＜ (n+1)^2$，
则a的可取范围是$n^2+1, n^2+2, \dots, (n+1)^2-1$，
总个数为：$[(n+1)^2 -1] - (n^2 +1) + 1 = 2n$个；
对$n-1＜\sqrt{b}＜n$两边同时平方，得$(n-1)^2 ＜ b ＜ n^2$，
则b的可取范围是$(n-1)^2+1, (n-1)^2+2, \dots, n^2-1$，
总个数为：$(n^2 -1) - [(n-1)^2 +1] +1 = 2n-2$个；
因此a的个数比b的个数多：$2n - (2n-2) = 2$个。
【答案】
(1)4；(2)2
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 不等式的性质 3. 整数计数
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，通过平方运算将无理数的大小关系转化为有理数的范围是解题关键，计算整数个数时要注意端点值是否符合要求，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定n的值，需先估算$\sqrt{17}$的取值范围，找到与17相邻的两个完全平方数，得到$\sqrt{17}$介于哪两个相邻整数之间，结合$n＜\sqrt{17}＜n+1$即可求出n；(2) 先对两个含根号的不等式两边同时平方，分别得到正整数a、b的取值范围，再计算两个范围内符合要求的正整数个数，最后作差即可得到结果。
【解析】
(1) 计算相邻正整数的平方：$4^2=16$，$5^2=25$，
∵ $16＜17＜25$，
∴ $\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$，
又
∵ $n＜\sqrt{17}＜n+1$，且n为正整数，
∴ $n=4$。
(2) 已知a、b、n均为正整数：
对$n＜\sqrt{a}＜n+1$两边同时平方（正数平方后不等号方向不变），得$n^2 ＜ a ＜ (n+1)^2$，
则a的可取范围是$n^2+1, n^2+2, \dots, (n+1)^2-1$，
总个数为：$[(n+1)^2 -1] - (n^2 +1) + 1 = 2n$个；
对$n-1＜\sqrt{b}＜n$两边同时平方，得$(n-1)^2 ＜ b ＜ n^2$，
则b的可取范围是$(n-1)^2+1, (n-1)^2+2, \dots, n^2-1$，
总个数为：$(n^2 -1) - [(n-1)^2 +1] +1 = 2n-2$个；
因此a的个数比b的个数多：$2n - (2n-2) = 2$个。
【答案】
(1)4；(2)2
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 不等式的性质 3. 整数计数
【点评】
本题核心考查无理数的估算方法，通过平方运算将无理数的大小关系转化为有理数的范围是解题关键，计算整数个数时要注意端点值是否符合要求，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
