17.（本小题满分8分）
如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC=AD，点F在ED上，∠BAF=∠EAD，∠ABF=∠AFB.
(1)求证：$△ ABC ≌ △ AFD$.
(2)若$BE=EF$，求证：$AC ⊥ BD$.

17. 证明：(1)$\because ∠ BAF=∠ EAD$，
$\therefore ∠ BAF-∠ CAF=∠ EAD-∠ CAF$，
即$∠ BAC=∠ FAD$.
$\because ∠ ABF=∠ AFB$，
$\therefore AB=AF$.
在$△ ABC$和$△ AFD$中，
$\because \begin{cases} AB=AF,\\ ∠ BAC=∠ FAD,\\ AC=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AFD(\mathrm{SAS})$.
(2)由(1)得$AB=AF$.
$\because BE=EF$，
$\therefore AC⊥ BF$，
即$AC⊥ BD$.

【分析】
(1) 要证明$△ ABC ≌ △ AFD$，先梳理已知条件：已知$AC=AD$，还需推导一组对应边相等和一组对应夹角相等。首先由$∠ BAF=∠ EAD$，两个角同时减去公共角$∠ CAF$，可得$∠ BAC=∠ FAD$；再由$∠ ABF=∠ AFB$，根据等角对等边可推出$AB=AF$，满足全等三角形SAS的判定条件，即可完成证明。
(2) 要证明$AC ⊥ BD$，结合(1)的结论可知$AB=AF$，即$△ ABF$是等腰三角形，又已知$BE=EF$，说明$AE$是等腰$△ ABF$底边$BF$上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AE ⊥ BF$，即$AC ⊥ BD$。
【解析】
(1) $\because ∠ BAF=∠ EAD$，
$\therefore ∠ BAF-∠ CAF=∠ EAD-∠ CAF$，
即$∠ BAC=∠ FAD$。
$\because ∠ ABF=∠ AFB$，
$\therefore AB=AF$。
在$△ ABC$和$△ AFD$中，
$\because \begin{cases} AB=AF,\\ ∠ BAC=∠ FAD,\\ AC=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AFD(\mathrm{SAS})$。
(2) 由(1)得$AB=AF$，
$\because BE=EF$，
根据等腰三角形三线合一的性质可得$AC⊥ BF$，
即$AC⊥ BD$。
【答案】
(1) $△ ABC ≌ △ AFD$，证明见上述过程；
(2) $AC ⊥ BD$，证明见上述过程。
【知识点】
全等三角形判定，等腰三角形性质，等角对等边
【点评】
本题属于几何基础证明题，重点考查全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质，解题关键是通过角的和差关系、等角对等边推导得到所需的边、角相等条件，熟练掌握相关基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7