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7. 在物理实践活动中，小明和小亮同学通过测量判断一个铁球是否是实心的。他们的实验操作如下:如图(甲)所示,把一个空杯子放在水平桌面上,将铁球放入空杯中,向杯中缓慢加水至与杯口齐平,测得杯子、铁球和水的总质量为498 g;如图(乙)所示,将铁球从杯子中取出水面后滴干水,测得杯子和水的总质量为340 g;如图(丙)所示,向杯中加水至与杯口齐平,测得此时水和杯子的总质量为390 g。($\rho_{水}=1.0× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$,$\rho_{铁}=7.9× 10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$)
(1)铁球的总体积是多少?
(2)求铁球的密度。
(3)请判断铁球是否是实心的。若是空心的,空心部分的体积是多少?
(1)铁球的总体积是多少?
(2)求铁球的密度。
(3)请判断铁球是否是实心的。若是空心的,空心部分的体积是多少?
答案
7. (1)$50\ \mathrm{cm}^3$ (2)$3.16\ \mathrm{g/cm}^3$ (3)不是实心的，空心部分体积为$30\ \mathrm{cm}^3$
解析:(1)如图(丙)所示,再向杯内加水的质量
$m_{水}=m_{丙}-m_{乙}=390\ \mathrm{g}-340\ \mathrm{g}=50\ \mathrm{g}$，
铁球的总体积等于再向杯中加的水的体积
$V_{球}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{50\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=50\ \mathrm{cm}^3$。
(2)铁球的质量$m_{球}=m_{甲}-m_{乙}=498\ \mathrm{g}-340\ \mathrm{g}=158\ \mathrm{g}$，
铁球的密度$\rho_{球}=\frac{m_{球}}{V_{球}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=3.16\ \mathrm{g/cm}^3$。
(3)因为$\rho_{球}＜\rho_{铁}$，所以铁球是空心的，
铁的体积$V_{铁}=\frac{m_{球}}{\rho_{铁}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{7.9\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$，
空心部分的体积$V_{空}=V_{球}-V_{铁}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$。
解析:(1)如图(丙)所示,再向杯内加水的质量
$m_{水}=m_{丙}-m_{乙}=390\ \mathrm{g}-340\ \mathrm{g}=50\ \mathrm{g}$，
铁球的总体积等于再向杯中加的水的体积
$V_{球}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{50\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=50\ \mathrm{cm}^3$。
(2)铁球的质量$m_{球}=m_{甲}-m_{乙}=498\ \mathrm{g}-340\ \mathrm{g}=158\ \mathrm{g}$，
铁球的密度$\rho_{球}=\frac{m_{球}}{V_{球}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=3.16\ \mathrm{g/cm}^3$。
(3)因为$\rho_{球}＜\rho_{铁}$，所以铁球是空心的，
铁的体积$V_{铁}=\frac{m_{球}}{\rho_{铁}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{7.9\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$，
空心部分的体积$V_{空}=V_{球}-V_{铁}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
要解决这道题，需利用排水法测量铁球的体积，结合密度公式计算铁球的密度，再通过比较密度或体积判断铁球是否空心。步骤如下：
1. 铁球的体积等于将铁球从杯中取出后，再次加水至杯口时增加的水的体积，因为取出铁球后，杯内空缺的体积就是铁球的体积，补充的水的体积等于铁球体积；
2. 铁球的质量为甲图总质量减去乙图总质量（甲是杯子+铁球+水，乙是杯子+水，差值为铁球质量）；
3. 计算铁球密度，与铁的密度比较，若铁球密度小于铁的密度则为空心，再计算同质量铁的体积，用铁球体积减去铁的体积得到空心部分体积。
【解析】
(1) 由图乙和图丙可知，向杯中再次加水的质量：
$m_{水}=m_{丙}-m_{乙}=390\ \mathrm{g}-340\ \mathrm{g}=50\ \mathrm{g}$
铁球的总体积等于再次加入水的体积，根据$\rho=\frac{m}{V}$，可得：
$V_{球}=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{50\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=50\ \mathrm{cm}^3$
(2) 铁球的质量等于图甲总质量减去图乙总质量：
$m_{球}=m_{甲}-m_{乙}=498\ \mathrm{g}-340\ \mathrm{g}=158\ \mathrm{g}$
铁球的密度：
$\rho_{球}=\frac{m_{球}}{V_{球}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=3.16\ \mathrm{g/cm}^3$
(3) 铁的密度$\rho_{铁}=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$，因为$\rho_{球}＜\rho_{铁}$，所以铁球是空心的。
铁的体积：
$V_{铁}=\frac{m_{球}}{\rho_{铁}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{7.9\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$
空心部分体积：
$V_{空}=V_{球}-V_{铁}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1)$50\ \mathrm{cm}^3$；(2)$3.16\ \mathrm{g/cm}^3$；(3)不是实心的，空心部分体积为$30\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
密度计算、空心实心判断、排水法测体积
【点评】
本题通过排水法巧妙测量铁球体积，结合密度公式解决实心空心判断问题，是密度应用的典型基础题，注重对实验原理和公式的运用。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需利用排水法测量铁球的体积，结合密度公式计算铁球的密度，再通过比较密度或体积判断铁球是否空心。步骤如下：
1. 铁球的体积等于将铁球从杯中取出后，再次加水至杯口时增加的水的体积，因为取出铁球后，杯内空缺的体积就是铁球的体积，补充的水的体积等于铁球体积；
2. 铁球的质量为甲图总质量减去乙图总质量（甲是杯子+铁球+水，乙是杯子+水，差值为铁球质量）；
3. 计算铁球密度，与铁的密度比较，若铁球密度小于铁的密度则为空心，再计算同质量铁的体积，用铁球体积减去铁的体积得到空心部分体积。
【解析】
(1) 由图乙和图丙可知，向杯中再次加水的质量：
$m_{水}=m_{丙}-m_{乙}=390\ \mathrm{g}-340\ \mathrm{g}=50\ \mathrm{g}$
铁球的总体积等于再次加入水的体积，根据$\rho=\frac{m}{V}$，可得：
$V_{球}=V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{50\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=50\ \mathrm{cm}^3$
(2) 铁球的质量等于图甲总质量减去图乙总质量：
$m_{球}=m_{甲}-m_{乙}=498\ \mathrm{g}-340\ \mathrm{g}=158\ \mathrm{g}$
铁球的密度：
$\rho_{球}=\frac{m_{球}}{V_{球}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=3.16\ \mathrm{g/cm}^3$
(3) 铁的密度$\rho_{铁}=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$，因为$\rho_{球}＜\rho_{铁}$，所以铁球是空心的。
铁的体积：
$V_{铁}=\frac{m_{球}}{\rho_{铁}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{7.9\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$
空心部分体积：
$V_{空}=V_{球}-V_{铁}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1)$50\ \mathrm{cm}^3$；(2)$3.16\ \mathrm{g/cm}^3$；(3)不是实心的，空心部分体积为$30\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
密度计算、空心实心判断、排水法测体积
【点评】
本题通过排水法巧妙测量铁球体积，结合密度公式解决实心空心判断问题，是密度应用的典型基础题，注重对实验原理和公式的运用。
【难度系数】
0.6
8. 小丁在陶艺馆自制了一个圆柱形的陶瓷杯子，他想知道这种陶瓷的密度。于是他把一个薄壁圆柱形容器放在电子天平上，并将自制的陶瓷杯摆在其正中间，再沿柱形容器壁向容器中缓慢注入水直到电子天平示数不再变化。小丁发现整个过程杯子没有移动，并把电子天平显示的示数$m$与容器液面高度$h$的关系图绘制出来如图(乙)所示，之前已测得圆柱形容器的质量为$140\ \mathrm{g}$，$\rho_{水}=1×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，$\rho_{牛奶}=1.02×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，求：
(1)陶瓷杯的质量。
(2)若用陶瓷杯装牛奶，最多能装多少克牛奶？
(3)陶瓷杯的密度。
(1)陶瓷杯的质量。
(2)若用陶瓷杯装牛奶，最多能装多少克牛奶？
(3)陶瓷杯的密度。
答案
8. (1)$660\ \mathrm{g}$ (2)$306\ \mathrm{g}$ (3)$2.2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
解析:(1)由图(乙)可知,当液面高度为0时,天平的示数为800 g,即圆柱形容器与陶瓷杯的总质量为800 g,之前已测得圆柱形容器的质量为140 g,则陶瓷杯的质量
$m_{陶瓷}=m_{陶+容}-m_{容器}=800\ \mathrm{g}-140\ \mathrm{g}=660\ \mathrm{g}$。
(2)由题意及图分析得,注水分为以下三个过程:①$m$在800~1 200 g,水注入容器中但未进入陶瓷杯;②$m$从1 200~1 500 g,水面高度等于陶瓷杯高度,水从容器漫进陶瓷杯中;③$m$从1 500~2 000 g,水面高度超过陶瓷杯高度,继续上升,直到溢出;由②阶段可知杯子的容积$V_{容}=V_{杯水}=\frac{m_{水2}}{\rho_{水}}=\frac{1\ 500\ \mathrm{g}-1\ 200\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=300\ \mathrm{cm}^3$,若用陶瓷杯装牛奶,最多能装的牛奶的质量$m_{牛奶}=\rho_{牛奶}\ V_{容}=1.02\ \mathrm{g/cm}^3×300\ \mathrm{cm}^3=306\ \mathrm{g}$。
(3)由图分析得,液面高度从20~30 cm,增加的水的体积$V_3=\frac{m_3}{\rho_{水}}=\frac{2\ 000\ \mathrm{g}-1\ 500\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=500\ \mathrm{cm}^3$,且$m=2\ 000\ \mathrm{g}$时,容器恰好装满水,所以容器底面积$S=\frac{V_3}{h_3}=\frac{500\ \mathrm{cm}^3}{10\ \mathrm{cm}}=50\ \mathrm{cm}^2$,容器总容积$V_{总}=Sh_{总}=50\ \mathrm{cm}^2×30\ \mathrm{cm}=1\ 500\ \mathrm{cm}^3$,液面高度从0~30 cm,注入水的总体积$V_{水总}=\frac{m_{总}-m_{陶+容}}{\rho_{水}}=\frac{2\ 000\ \mathrm{g}-800\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=1\ 200\ \mathrm{cm}^3$,则陶瓷杯的体积$V_{陶瓷}=V_{总}-V_{水总}=1\ 500\ \mathrm{cm}^3-1\ 200\ \mathrm{cm}^3=300\ \mathrm{cm}^3$,所以陶瓷杯的密度$\rho_{陶瓷}=\frac{m_{陶瓷}}{V_{陶瓷}}=\frac{660\ \mathrm{g}}{300\ \mathrm{cm}^3}=2.2\ \mathrm{g/cm}^3=2.2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
解析:(1)由图(乙)可知,当液面高度为0时,天平的示数为800 g,即圆柱形容器与陶瓷杯的总质量为800 g,之前已测得圆柱形容器的质量为140 g,则陶瓷杯的质量
$m_{陶瓷}=m_{陶+容}-m_{容器}=800\ \mathrm{g}-140\ \mathrm{g}=660\ \mathrm{g}$。
(2)由题意及图分析得,注水分为以下三个过程:①$m$在800~1 200 g,水注入容器中但未进入陶瓷杯;②$m$从1 200~1 500 g,水面高度等于陶瓷杯高度,水从容器漫进陶瓷杯中;③$m$从1 500~2 000 g,水面高度超过陶瓷杯高度,继续上升,直到溢出;由②阶段可知杯子的容积$V_{容}=V_{杯水}=\frac{m_{水2}}{\rho_{水}}=\frac{1\ 500\ \mathrm{g}-1\ 200\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=300\ \mathrm{cm}^3$,若用陶瓷杯装牛奶,最多能装的牛奶的质量$m_{牛奶}=\rho_{牛奶}\ V_{容}=1.02\ \mathrm{g/cm}^3×300\ \mathrm{cm}^3=306\ \mathrm{g}$。
(3)由图分析得,液面高度从20~30 cm,增加的水的体积$V_3=\frac{m_3}{\rho_{水}}=\frac{2\ 000\ \mathrm{g}-1\ 500\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=500\ \mathrm{cm}^3$,且$m=2\ 000\ \mathrm{g}$时,容器恰好装满水,所以容器底面积$S=\frac{V_3}{h_3}=\frac{500\ \mathrm{cm}^3}{10\ \mathrm{cm}}=50\ \mathrm{cm}^2$,容器总容积$V_{总}=Sh_{总}=50\ \mathrm{cm}^2×30\ \mathrm{cm}=1\ 500\ \mathrm{cm}^3$,液面高度从0~30 cm,注入水的总体积$V_{水总}=\frac{m_{总}-m_{陶+容}}{\rho_{水}}=\frac{2\ 000\ \mathrm{g}-800\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=1\ 200\ \mathrm{cm}^3$,则陶瓷杯的体积$V_{陶瓷}=V_{总}-V_{水总}=1\ 500\ \mathrm{cm}^3-1\ 200\ \mathrm{cm}^3=300\ \mathrm{cm}^3$,所以陶瓷杯的密度$\rho_{陶瓷}=\frac{m_{陶瓷}}{V_{陶瓷}}=\frac{660\ \mathrm{g}}{300\ \mathrm{cm}^3}=2.2\ \mathrm{g/cm}^3=2.2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
解析
【分析】
要解决本题，需结合图像分析不同液面高度对应的物理过程：首先，当液面高度h=0时，电子天平的示数是容器和陶瓷杯的总质量，可直接计算陶瓷杯质量；其次，分析图像中质量的变化阶段，当液面高度到20cm时，天平示数的变化对应进入陶瓷杯的水，由此得到陶瓷杯的容积，进而计算装牛奶的质量；最后，通过液面从20cm到30cm的变化，算出容器底面积和总容积，结合注入水的总体积，得到陶瓷杯的体积，从而计算其密度。
【解析】
(1) 由图乙可知，当液面高度h=0时，电子天平的示数为800g，即圆柱形容器与陶瓷杯的总质量为800g。已知圆柱形容器的质量为140g，因此陶瓷杯的质量：
$m_{陶瓷}=800\ \mathrm{g} - 140\ \mathrm{g}=660\ \mathrm{g}$。
(2) 分析图像阶段：当液面高度h=20cm时，天平示数从1200g变为1500g，质量差为进入陶瓷杯的水的质量，此时水刚好充满陶瓷杯，陶瓷杯的容积等于这部分水的体积：
$V_{杯}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{1500\ \mathrm{g}-1200\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=300\ \mathrm{cm}^3$。
用陶瓷杯装牛奶，最多装牛奶的体积等于杯的容积，因此牛奶的质量：
$m_{牛奶}=\rho_{牛奶}V_{杯}=1.02\ \mathrm{g/cm}^3×300\ \mathrm{cm}^3=306\ \mathrm{g}$。
(3) 当液面高度从20cm到30cm时，增加的水的质量为$2000\ \mathrm{g}-1500\ \mathrm{g}=500\ \mathrm{g}$，这部分水的体积：
$V_{增}=\frac{500\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=500\ \mathrm{cm}^3$，
液面高度变化$\Delta h=30\ \mathrm{cm}-20\ \mathrm{cm}=10\ \mathrm{cm}$，所以圆柱形容器的底面积：
$S=\frac{V_{增}}{\Delta h}=\frac{500\ \mathrm{cm}^3}{10\ \mathrm{cm}}=50\ \mathrm{cm}^2$，
容器总容积：$V_{总}=S×h_{总}=50\ \mathrm{cm}^2×30\ \mathrm{cm}=1500\ \mathrm{cm}^3$。
当h=30cm时，电子天平示数为2000g，此时注入水的总质量为$2000\ \mathrm{g}-800\ \mathrm{g}=1200\ \mathrm{g}$，注入水的总体积：
$V_{水总}=\frac{1200\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=1200\ \mathrm{cm}^3$，
因此陶瓷杯的体积：$V_{陶瓷}=V_{总}-V_{水总}=1500\ \mathrm{cm}^3-1200\ \mathrm{cm}^3=300\ \mathrm{cm}^3$，
陶瓷杯的密度：$\rho_{陶瓷}=\frac{m_{陶瓷}}{V_{陶瓷}}=\frac{660\ \mathrm{g}}{300\ \mathrm{cm}^3}=2.2\ \mathrm{g/cm}^3=2.2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1)$660\ \mathrm{g}$；(2)$306\ \mathrm{g}$；(3)$2.2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
密度计算；质量与体积关系；图像分析
【点评】
本题结合电子天平示数与液面高度的图像，考查密度相关计算，需要准确分析图像不同阶段的物理过程，理清各物理量的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合图像分析不同液面高度对应的物理过程：首先，当液面高度h=0时，电子天平的示数是容器和陶瓷杯的总质量，可直接计算陶瓷杯质量；其次，分析图像中质量的变化阶段，当液面高度到20cm时，天平示数的变化对应进入陶瓷杯的水，由此得到陶瓷杯的容积，进而计算装牛奶的质量；最后，通过液面从20cm到30cm的变化，算出容器底面积和总容积，结合注入水的总体积，得到陶瓷杯的体积，从而计算其密度。
【解析】
(1) 由图乙可知，当液面高度h=0时，电子天平的示数为800g，即圆柱形容器与陶瓷杯的总质量为800g。已知圆柱形容器的质量为140g，因此陶瓷杯的质量：
$m_{陶瓷}=800\ \mathrm{g} - 140\ \mathrm{g}=660\ \mathrm{g}$。
(2) 分析图像阶段：当液面高度h=20cm时，天平示数从1200g变为1500g，质量差为进入陶瓷杯的水的质量，此时水刚好充满陶瓷杯，陶瓷杯的容积等于这部分水的体积：
$V_{杯}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{1500\ \mathrm{g}-1200\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=300\ \mathrm{cm}^3$。
用陶瓷杯装牛奶，最多装牛奶的体积等于杯的容积，因此牛奶的质量：
$m_{牛奶}=\rho_{牛奶}V_{杯}=1.02\ \mathrm{g/cm}^3×300\ \mathrm{cm}^3=306\ \mathrm{g}$。
(3) 当液面高度从20cm到30cm时，增加的水的质量为$2000\ \mathrm{g}-1500\ \mathrm{g}=500\ \mathrm{g}$，这部分水的体积：
$V_{增}=\frac{500\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=500\ \mathrm{cm}^3$，
液面高度变化$\Delta h=30\ \mathrm{cm}-20\ \mathrm{cm}=10\ \mathrm{cm}$，所以圆柱形容器的底面积：
$S=\frac{V_{增}}{\Delta h}=\frac{500\ \mathrm{cm}^3}{10\ \mathrm{cm}}=50\ \mathrm{cm}^2$，
容器总容积：$V_{总}=S×h_{总}=50\ \mathrm{cm}^2×30\ \mathrm{cm}=1500\ \mathrm{cm}^3$。
当h=30cm时，电子天平示数为2000g，此时注入水的总质量为$2000\ \mathrm{g}-800\ \mathrm{g}=1200\ \mathrm{g}$，注入水的总体积：
$V_{水总}=\frac{1200\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=1200\ \mathrm{cm}^3$，
因此陶瓷杯的体积：$V_{陶瓷}=V_{总}-V_{水总}=1500\ \mathrm{cm}^3-1200\ \mathrm{cm}^3=300\ \mathrm{cm}^3$，
陶瓷杯的密度：$\rho_{陶瓷}=\frac{m_{陶瓷}}{V_{陶瓷}}=\frac{660\ \mathrm{g}}{300\ \mathrm{cm}^3}=2.2\ \mathrm{g/cm}^3=2.2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1)$660\ \mathrm{g}$；(2)$306\ \mathrm{g}$；(3)$2.2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
密度计算；质量与体积关系；图像分析
【点评】
本题结合电子天平示数与液面高度的图像，考查密度相关计算，需要准确分析图像不同阶段的物理过程，理清各物理量的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
