登录
[例2] 如图所示，某工厂生产的一款最轻的碳纤维复合材料公路自行车，车架是用密度小、强度大的碳纤维制成的，使得单车整体轻量化。若这款碳纤维复合材料公路自行车仅重8.6 kg，其所使用的碳纤维质量为6 kg，已知其密度为$1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，若其中橡胶占自行车总体积的一半。请计算：
(1)这辆自行车所用碳纤维的体积。
(2)自行车所使用橡胶的密度。
(3)自行车碳纤维部分换为某种合金，自行车质量增加了6 kg，则自行车所使用的金属材料的密度。
(1)这辆自行车所用碳纤维的体积。
(2)自行车所使用橡胶的密度。
(3)自行车碳纤维部分换为某种合金，自行车质量增加了6 kg，则自行车所使用的金属材料的密度。
答案
[例2] (1) $4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$
(2) $0.65×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3) $3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(2) $0.65×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
(3) $3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
解析
【分析】
本题围绕密度公式的应用展开，解题思路为：(1) 已知碳纤维的质量和密度，利用密度公式变形直接计算其体积；(2) 根据橡胶占总体积的一半，先求出橡胶的体积，再结合总质量与碳纤维质量的差得到橡胶质量，最后用密度公式求橡胶密度；(3) 碳纤维换合金时体积不变，先算出合金质量，再结合体积计算合金密度。
【解析】
(1) 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形得碳纤维的体积：
$V_{\mathrm{碳}}=\frac{m_{\mathrm{碳}}}{\rho_{\mathrm{碳}}}=\frac{6\ \mathrm{kg}}{1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
(2) 由题意，橡胶占总体积的一半，因此总体积$V_{\mathrm{总}}=2V_{\mathrm{碳}}=2×4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，则橡胶体积$V_{\mathrm{橡胶}}=\frac{V_{\mathrm{总}}}{2}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$；
橡胶质量$m_{\mathrm{橡胶}}=m_{\mathrm{总}}-m_{\mathrm{碳}}=8.6\ \mathrm{kg}-6\ \mathrm{kg}=2.6\ \mathrm{kg}$；
橡胶密度：$\rho_{\mathrm{橡胶}}=\frac{m_{\mathrm{橡胶}}}{V_{\mathrm{橡胶}}}=\frac{2.6\ \mathrm{kg}}{4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=0.65×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3) 碳纤维换为合金后体积不变，即$V_{\mathrm{合金}}=V_{\mathrm{碳}}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$；
合金质量$m_{\mathrm{合金}}=m_{\mathrm{碳}}+\Delta m=6\ \mathrm{kg}+6\ \mathrm{kg}=12\ \mathrm{kg}$；
合金密度：$\rho_{\mathrm{合金}}=\frac{m_{\mathrm{合金}}}{V_{\mathrm{合金}}}=\frac{12\ \mathrm{kg}}{4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1) $4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$；(2) $0.65×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(3) $3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
密度公式应用、密度计算、质量体积关系
【点评】
本题是密度公式的基础应用题型，需明确各物质的质量、体积关联，解题时注意总体积与各部分体积的比例，以及替换材料时体积不变的特点，属于初中物理密度章节的常规练习题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题围绕密度公式的应用展开，解题思路为：(1) 已知碳纤维的质量和密度，利用密度公式变形直接计算其体积；(2) 根据橡胶占总体积的一半，先求出橡胶的体积，再结合总质量与碳纤维质量的差得到橡胶质量，最后用密度公式求橡胶密度；(3) 碳纤维换合金时体积不变，先算出合金质量，再结合体积计算合金密度。
【解析】
(1) 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形得碳纤维的体积：
$V_{\mathrm{碳}}=\frac{m_{\mathrm{碳}}}{\rho_{\mathrm{碳}}}=\frac{6\ \mathrm{kg}}{1.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
(2) 由题意，橡胶占总体积的一半，因此总体积$V_{\mathrm{总}}=2V_{\mathrm{碳}}=2×4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=8×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，则橡胶体积$V_{\mathrm{橡胶}}=\frac{V_{\mathrm{总}}}{2}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$；
橡胶质量$m_{\mathrm{橡胶}}=m_{\mathrm{总}}-m_{\mathrm{碳}}=8.6\ \mathrm{kg}-6\ \mathrm{kg}=2.6\ \mathrm{kg}$；
橡胶密度：$\rho_{\mathrm{橡胶}}=\frac{m_{\mathrm{橡胶}}}{V_{\mathrm{橡胶}}}=\frac{2.6\ \mathrm{kg}}{4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=0.65×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3) 碳纤维换为合金后体积不变，即$V_{\mathrm{合金}}=V_{\mathrm{碳}}=4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$；
合金质量$m_{\mathrm{合金}}=m_{\mathrm{碳}}+\Delta m=6\ \mathrm{kg}+6\ \mathrm{kg}=12\ \mathrm{kg}$；
合金密度：$\rho_{\mathrm{合金}}=\frac{m_{\mathrm{合金}}}{V_{\mathrm{合金}}}=\frac{12\ \mathrm{kg}}{4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1) $4×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$；(2) $0.65×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(3) $3×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
密度公式应用、密度计算、质量体积关系
【点评】
本题是密度公式的基础应用题型，需明确各物质的质量、体积关联，解题时注意总体积与各部分体积的比例，以及替换材料时体积不变的特点，属于初中物理密度章节的常规练习题，难度适中。
【难度系数】
0.6
5.(2023济宁)在测定某液体密度时,小明做了两次实验并做了如下记录,则液体的密度ρ=
1
g/cm³,容器的质量m=21
g。答案
5. 1 21
解析
【分析】
要解决该问题，需利用两次实验中容器质量不变的特点，通过两次数据的差值计算液体密度，再进一步求出容器质量。首先，两次实验总质量的差值等于对应体积液体的质量差，据此可算出液体密度；再将密度代入任意一次实验的总质量公式，即可求出容器质量。
【解析】
设液体密度为$\rho$，容器质量为$m_{容}$。
根据两次实验数据，列方程：
第一次：$m_{容} + \rho V_1 = m_1$ ①
第二次：$m_{容} + \rho V_2 = m_2$ ②
用② - ①消去容器质量，得：
$\rho (V_2 - V_1) = m_2 - m_1$
代入数据：$m_1=79g$，$m_2=128g$，$V_1=58cm^3$，$V_2=107cm^3$
则液体密度：
$\rho = \frac{m_2 - m_1}{V_2 - V_1} = \frac{128g - 79g}{107cm^3 - 58cm^3} = \frac{49g}{49cm^3} = 1g/cm^3$
将$\rho=1g/cm^3$代入①式，求容器质量：
$m_{容} = m_1 - \rho V_1 = 79g - 1g/cm^3 × 58cm^3 = 21g$
【答案】
1；21
【知识点】
密度的计算；质量与体积的关系
【点评】
本题是密度测量的基础题型，核心是利用差值法消除容器质量的影响计算液体密度，考查学生对密度公式的灵活应用，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需利用两次实验中容器质量不变的特点，通过两次数据的差值计算液体密度，再进一步求出容器质量。首先，两次实验总质量的差值等于对应体积液体的质量差，据此可算出液体密度；再将密度代入任意一次实验的总质量公式，即可求出容器质量。
【解析】
设液体密度为$\rho$，容器质量为$m_{容}$。
根据两次实验数据，列方程：
第一次：$m_{容} + \rho V_1 = m_1$ ①
第二次：$m_{容} + \rho V_2 = m_2$ ②
用② - ①消去容器质量，得：
$\rho (V_2 - V_1) = m_2 - m_1$
代入数据：$m_1=79g$，$m_2=128g$，$V_1=58cm^3$，$V_2=107cm^3$
则液体密度：
$\rho = \frac{m_2 - m_1}{V_2 - V_1} = \frac{128g - 79g}{107cm^3 - 58cm^3} = \frac{49g}{49cm^3} = 1g/cm^3$
将$\rho=1g/cm^3$代入①式，求容器质量：
$m_{容} = m_1 - \rho V_1 = 79g - 1g/cm^3 × 58cm^3 = 21g$
【答案】
1；21
【知识点】
密度的计算；质量与体积的关系
【点评】
本题是密度测量的基础题型，核心是利用差值法消除容器质量的影响计算液体密度，考查学生对密度公式的灵活应用，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
6. 小明郊游时捡到一块外形不规则的石头。为了测定它的密度，小明称出石头和一个盛满水的容器的质量分别为0.56 kg、2 kg，然后将石头轻轻放入容器中，又测出了容器的总质量为2.36 kg。（石头吸水不计，$\rho_{水}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$）求：
(1)石头的体积。
(2)石头的密度。
(3)若石头吸水，所测石头的密度是偏大还是偏小，为什么？
(1)石头的体积。
(2)石头的密度。
(3)若石头吸水，所测石头的密度是偏大还是偏小，为什么？
答案
6. (1)$2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$ (2)$2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$ (3)偏大。由于石头吸水，则排出的水的体积小于石头的体积，根据$\rho_{石}=\frac{m_{石}}{V_{石}}$可知，所测石头的密度偏大。
解析:(1)石头放入容器中排出水的质量
$m_{排}=0.56\ \mathrm{kg}+2\ \mathrm{kg}-2.36\ \mathrm{kg}=0.2\ \mathrm{kg}$，
由题意可知，石头的体积等于它排出水的体积，即
$V_{石}=V_{排}=\frac{m_{排}}{\rho_{水}}=\frac{0.2\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$。
(2)石头的密度
$\rho_{石}=\frac{m_{石}}{V_{石}}=\frac{0.56\ \mathrm{kg}}{2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
解析:(1)石头放入容器中排出水的质量
$m_{排}=0.56\ \mathrm{kg}+2\ \mathrm{kg}-2.36\ \mathrm{kg}=0.2\ \mathrm{kg}$，
由题意可知，石头的体积等于它排出水的体积，即
$V_{石}=V_{排}=\frac{m_{排}}{\rho_{水}}=\frac{0.2\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$。
(2)石头的密度
$\rho_{石}=\frac{m_{石}}{V_{石}}=\frac{0.56\ \mathrm{kg}}{2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
解析
【分析】
要测定不规则石头的密度，需先获取石头的体积和质量。本题利用排水法测石头体积：石头放入盛满水的容器时，排出水的体积等于石头体积，先计算排出水的质量，再结合水的密度算出石头体积；再用石头质量除以体积得到密度；最后分析石头吸水时，排出水的体积会小于石头实际体积，导致密度测量结果偏大。
【解析】
(1) 计算排出水的质量：石头质量$m_{石}=0.56\ \mathrm{kg}$，容器与水总质量$m_{总1}=2\ \mathrm{kg}$，放入石头后总质量$m_{总2}=2.36\ \mathrm{kg}$，则排出水的质量$m_{排}=m_{石}+m_{总1}-m_{总2}=0.56\ \mathrm{kg}+2\ \mathrm{kg}-2.36\ \mathrm{kg}=0.2\ \mathrm{kg}$。
因石头体积等于排开水的体积，根据$\rho=\frac{m}{V}$，可得石头体积$V_{石}=V_{排}=\frac{m_{排}}{\rho_{水}}=\frac{0.2\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$。
(2) 石头的密度：$\rho_{石}=\frac{m_{石}}{V_{石}}=\frac{0.56\ \mathrm{kg}}{2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3) 若石头吸水，排出水的体积会小于石头的实际体积，计算时仍用排出水的体积作为石头体积，导致测得的石头体积偏小；根据$\rho=\frac{m}{V}$，石头质量测量准确，体积偏小，因此所测石头的密度偏大。
【答案】
(1)$2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；(2)$2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(3)偏大，原因：石头吸水时，排出水的体积小于石头的体积，根据$\rho_{石}=\frac{m_{石}}{V_{石}}$，所测体积偏小，密度偏大。
【知识点】
密度的计算；排水法测体积；密度误差分析
【点评】
本题是密度测量的典型应用题，核心考查排水法测不规则物体体积的方法，需准确计算排开水的质量，同时要理解密度公式中物理量的关系，误差分析部分结合石头吸水对排水量的影响，整体难度适中，能较好考查学生对密度知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
要测定不规则石头的密度，需先获取石头的体积和质量。本题利用排水法测石头体积：石头放入盛满水的容器时，排出水的体积等于石头体积，先计算排出水的质量，再结合水的密度算出石头体积；再用石头质量除以体积得到密度；最后分析石头吸水时，排出水的体积会小于石头实际体积，导致密度测量结果偏大。
【解析】
(1) 计算排出水的质量：石头质量$m_{石}=0.56\ \mathrm{kg}$，容器与水总质量$m_{总1}=2\ \mathrm{kg}$，放入石头后总质量$m_{总2}=2.36\ \mathrm{kg}$，则排出水的质量$m_{排}=m_{石}+m_{总1}-m_{总2}=0.56\ \mathrm{kg}+2\ \mathrm{kg}-2.36\ \mathrm{kg}=0.2\ \mathrm{kg}$。
因石头体积等于排开水的体积，根据$\rho=\frac{m}{V}$，可得石头体积$V_{石}=V_{排}=\frac{m_{排}}{\rho_{水}}=\frac{0.2\ \mathrm{kg}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$。
(2) 石头的密度：$\rho_{石}=\frac{m_{石}}{V_{石}}=\frac{0.56\ \mathrm{kg}}{2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3}=2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3) 若石头吸水，排出水的体积会小于石头的实际体积，计算时仍用排出水的体积作为石头体积，导致测得的石头体积偏小；根据$\rho=\frac{m}{V}$，石头质量测量准确，体积偏小，因此所测石头的密度偏大。
【答案】
(1)$2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$；(2)$2.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；(3)偏大，原因：石头吸水时，排出水的体积小于石头的体积，根据$\rho_{石}=\frac{m_{石}}{V_{石}}$，所测体积偏小，密度偏大。
【知识点】
密度的计算；排水法测体积；密度误差分析
【点评】
本题是密度测量的典型应用题，核心考查排水法测不规则物体体积的方法，需准确计算排开水的质量，同时要理解密度公式中物理量的关系，误差分析部分结合石头吸水对排水量的影响，整体难度适中，能较好考查学生对密度知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
