14. 试探索代数式$a^2 - 2ab + b^2$与$(a - b)^2$的关系.
（1）当$a = 2$，$b = -1$时，分别求代数式$a^2 - 2ab + b^2$与$(a - b)^2$的值.
（2）当$a = -\dfrac{1}{2}$，$b = 2$时，分别求代数式$a^2 - 2ab + b^2$与$(a - b)^2$的值.
（3）从上述计算中，你发现了什么规律？当$a = 2026$，$b = 2027$时，请利用你发现的规律求代数式$a^2 - 2ab + b^2$的值.

(1) 当$a = 2, b = -1$时,$a^2 - 2ab + b^2 = 2^2 - 2×2×(-1)+(-1)^2 = 9$, $(a - b)^2 = [2 - (-1)]^2 = 3^2 = 9$
(2) 当$a = -\frac{1}{2}, b = 2$时,$a^2 - 2ab + b^2 = (-\frac{1}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2})×2 + 2^2 = \frac{25}{4}$, $(a - b)^2 = (-\frac{1}{2} - 2)^2 = (-\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$
(3) 发现的规律是: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. 当$a = 2026, b = 2027$时,$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 = (2026 - 2027)^2 = 1$

【分析】
这道题的解题思路分为三步：①解答前两问时，将给定的a、b数值分别代入两个代数式，按照有理数运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的）分别计算结果即可；②总结规律时，对比前两问两个代数式的计算结果，就能得出二者的等量关系；③最后求a=2026、b=2027对应的代数式值时，借助发现的规律将原式转化为$(a-b)^2$计算，可避免大数乘方的复杂运算，快速得出结果。
【解析】
(1) 当$a=2$，$b=-1$时：
$a^2 - 2ab + b^2 = 2^2 - 2×2×(-1) + (-1)^2 = 4 + 4 + 1 = 9$
$(a - b)^2 = [2 - (-1)]^2 = 3^2 = 9$
(2) 当$a=-\dfrac{1}{2}$，$b=2$时：
$a^2 - 2ab + b^2 = (-\dfrac{1}{2})^2 - 2×(-\dfrac{1}{2})×2 + 2^2 = \dfrac{1}{4} + 2 + 4 = \dfrac{25}{4}$
$(a - b)^2 = (-\dfrac{1}{2} - 2)^2 = (-\dfrac{5}{2})^2 = \dfrac{25}{4}$
(3) 对比(1)(2)的计算结果，可发现规律：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
当$a=2026$，$b=2027$时，利用上述规律可得：
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 = (2026 - 2027)^2 = (-1)^2 = 1$
【答案】
(1) $a^2 - 2ab + b^2=9$，$(a - b)^2=9$；
(2) $a^2 - 2ab + b^2=\dfrac{25}{4}$，$(a - b)^2=\dfrac{25}{4}$；
(3) 规律为$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$，所求代数式的值为1。
【知识点】
代数式求值；完全平方差公式；规律探究
【点评】
本题通过从特殊数值代入计算到一般规律总结的过程，考查代数式的运算能力，引导学生理解完全平方差公式的推导逻辑，同时利用规律简化大数运算，让学生体会数学公式的简便性，渗透了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.8

1. 在式子$\frac{1}{x}$、$x+y$、$0$、$-a$、$-3x^2y$、$\frac{x+1}{3}$中，单项式的个数是 【 】

A.5
B.4
C.3
D.2

C

【分析】
解题前首先要明确单项式的判定规则：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；同时要注意两个易错点：①分母中含有字母的式子是分式，不属于整式，因此一定不是单项式；②含有加减运算的整式是多项式，不是单项式。接下来我们按照上述规则逐个判断给出的式子即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
1. $\frac{1}{x}$：分母含有字母$x$，属于分式，不是单项式；
2. $x+y$：含有加法运算，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
3. $0$：单独的一个数，属于单项式；
4. $-a$：是$-1$和字母$a$的积，属于单项式；
5. $-3x^2y$：是数字$-3$和字母$x^2y$的积，属于单项式；
6. $\frac{x+1}{3}$：可变形为$\frac{x}{3}+\frac{1}{3}$，含有加法运算，属于多项式，不是单项式。
综上，单项式有$0$、$-a$、$-3x^2y$，共3个。
【答案】
C
【知识点】
1. 单项式的定义
2. 整式的分类
3. 分式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握单项式的判定标准，做题时要注意区分分式和整式、单项式和多项式，避免误判含加减运算的整式或分母含字母的式子为单项式。
【难度系数】
0.7

2. 单项式$-\dfrac{5}{4}x^3y^2z$的系数和次数分别为 【 】

A.$-\dfrac{5}{4},5$
B.$\dfrac{5}{4},5$
C.$\dfrac{5}{4},6$
D.$-\dfrac{5}{4},6$

D

【分析】
解题时需先回忆单项式系数和次数的基本定义：首先确定系数，单项式的系数是包含符号的数字因数，据此可先排除系数为正的B、C选项；再计算次数，次数是所有字母的指数和，注意单个字母的指数为1时通常省略不写，不能漏算，计算出次数后即可选出正确选项。
【解析】
根据单项式的相关定义：
1. 求系数：单项式$-\dfrac{5}{4}x^3y^2z$的数字因数为$-\dfrac{5}{4}$，因此该单项式的系数是$-\dfrac{5}{4}$，排除B、C选项；
2. 求次数：单项式中所有字母的指数和为次数，其中$x$的指数是3，$y$的指数是2，$z$的指数是1，因此次数为$3+2+1=6$，排除A选项。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题考查单项式的基础概念，易错点为忽略系数的负号，以及漏算指数为1的字母的指数，熟练掌握相关定义即可正确作答。
【难度系数】
0.8

3. (泌阳期末)若单项式$-\dfrac{3}{5}xy^3$的系数是$m$，次数是$n$，则$m+n=$ 【 】

A.$\dfrac{7}{5}$
B.$\dfrac{11}{5}$
C.$\dfrac{17}{5}$
D.$\dfrac{19}{5}$

C

【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式系数和次数的定义：单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。解题时第一步先找到给定单项式的数字因数得到m的值，第二步计算所有字母的指数和得到n的值，最后将m和n相加计算出结果，对应选项选择即可。
【解析】
首先确定单项式$-\dfrac{3}{5}xy^3$的系数$m$：单项式的数字因数为$-\dfrac{3}{5}$，因此$m=-\dfrac{3}{5}$。
再确定单项式的次数$n$：单项式中$x$的指数是1，$y$的指数是3，所有字母的指数和为$1+3=4$，因此$n=4$。
最后计算$m+n$：
$m+n=-\dfrac{3}{5}+4=-\dfrac{3}{5}+\dfrac{20}{5}=\dfrac{17}{5}$
【答案】
C
【知识点】
单项式的系数，单项式的次数，有理数加法
【点评】
本题是基础概念题，解题时需注意两点：一是单项式的系数要包含前面的符号，不要漏写负号；二是计算次数时不要遗漏指数为1的字母，避免算错次数。
【难度系数】
0.75

4. (淄博期末)单项式$-\dfrac{π x y^2 z^4}{3}$的系数是，次数是.

4. 系数是$-\dfrac{π}{3}$，次数是7

【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式系数和次数的定义：①单项式的系数是指单项式中的数字因数，注意圆周率π是常数，不属于字母；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和，常数的指数不纳入计算。解题时先提取数字部分得到系数，再累加所有字母的指数得到次数即可。
【解析】
1. 求系数：单项式$-\dfrac{π x y^2 z^4}{3}$中的数字因数是$-\dfrac{π}{3}$（π是固定常数，属于数字部分），因此该单项式的系数为$-\dfrac{π}{3}$。
2. 求次数：单项式中字母x的指数是1，y的指数是2，z的指数是4，所有字母的指数之和为$1+2+4=7$，因此该单项式的次数是7。
【答案】
$-\dfrac{π}{3}$；7
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易误将π当作字母计算次数，或者遗漏x的指数为1，掌握相关定义即可正确解答。
【难度系数】
0.8

5. 有一个单项式同时满足下列条件:①含有字母x、y;②系数是-3;③次数是5.请写出这个单项式:.

5. $-3x^2y^3$（填写$-3xy^4$、$-3x^2y^3$、$-3x^3y^2$、$-3x^4y$这四个单项式中的任何一个均可）

【分析】
解决本题首先要明确单项式的核心概念：单项式的系数是单项式中的数字因数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和。接下来逐一匹配题干条件：①需同时含有x、y，说明两个字母都要出现，指数均至少为1；②系数固定为-3，即数字因数只能是-3；③次数为5，即x的指数与y的指数相加的和为5。我们只需找出满足“x、y的指数和为5，且两个指数都是正整数”的组合，搭配系数-3就能得到符合要求的单项式。
【解析】
1. 先确定数字部分：根据系数为-3的要求，先写出数字因数-3；
2. 再确定字母部分：要求同时含x、y，且x的指数+y的指数=5，指数均为正整数，符合要求的指数组合有：
x的指数为1、y的指数为4，得$-3xy^4$；
x的指数为2、y的指数为3，得$-3x^2y^3$；
x的指数为3、y的指数为2，得$-3x^3y^2$；
x的指数为4、y的指数为1，得$-3x^4y$；
以上4个单项式均满足所有条件，任选其一即可。
【答案】
$-3x^2y^3$（填写$-3xy^4$、$-3x^2y^3$、$-3x^3y^2$、$-3x^4y$中的任意一个均可）
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查对单项式系数、次数定义的理解，解题时需注意同时满足所有给定条件，避免出现遗漏字母、系数错误或次数计算错误的问题。
【难度系数】
0.8

6. 写出下列各单项式的系数和次数.
(1) $-\dfrac{3a^2b^3c}{2}$；(2) $-3ab$；(3) $\dfrac{4}{3}π r^3$；(4) $-2^2a^3b^5$；(5) $-x$.

6. (1) 系数是$-\dfrac{3}{2}$,次数是6 (2) 系数是$-3$,次数是2 (3) 系数是$\dfrac{4}{3}π$,次数是3 (4) 系数是$-2^2$,即$-4$,次数是8 (5) 系数是$-1$,次数是1

【分析】
解题前先明确单项式系数和次数的核心定义：①单项式的系数是单项式中的数字因数，要包含数字前的符号，π是常数，属于系数的一部分；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和，单个字母的指数省略时默认是1，常数的指数不计入次数。解题时逐个处理每个单项式：先提取数字部分得到系数，再累加所有字母的指数得到次数，注意避开易错点：不要把π当成字母、不要遗漏系数前的负号、不要把常数的指数算入字母的总次数。
【解析】
先明确基础规则：
1. 系数：取单项式的全部数字因数，含符号，π属于常数计入系数；
2. 次数：仅累加所有字母的指数，单个字母省略的指数按1算，常数的指数不计入。
逐个计算：
(1) $-\dfrac{3a^2b^3c}{2}$：数字因数为$-\dfrac{3}{2}$，字母的指数分别为2、3、1，次数=2+3+1=6。
(2) $-3ab$：数字因数为$-3$，a、b的指数均为1，次数=1+1=2。
(3) $\dfrac{4}{3}π r^3$：π为常数，数字因数为$\dfrac{4}{3}π$，r的指数为3，次数为3。
(4) $-2^2a^3b^5$：$2^2$是常数，数字因数为$-2^2=-4$，a、b的指数分别为3、5，次数=3+5=8。
(5) $-x$：可写为$-1· x$，数字因数为$-1$，x的指数为1，次数为1。
【答案】
(1) 系数是$-\dfrac{3}{2}$,次数是6 (2) 系数是$-3$,次数是2 (3) 系数是$\dfrac{4}{3}π$,次数是3 (4) 系数是$-2^2$,即$-4$,次数是8 (5) 系数是$-1$,次数是1
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数；常数的性质
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，主要考查对单项式系数、次数定义的掌握，易错点集中在忽略系数符号、误把π当字母、遗漏单个字母省略的指数，只要牢记定义细节就能准确作答。
【难度系数】
0.8