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6. 约分：
(1) $\dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2}$.
(2) $\dfrac{2a^2 - 8}{a + 2}$.
(1) $\dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2}$.
(2) $\dfrac{2a^2 - 8}{a + 2}$.
答案
(1) $\frac{x-y}{x+y}$ (2) $2a-4$
解析
【分析】
约分的核心是先将分子、分母分别因式分解，再约去二者的公因式，最终化为最简分式或整式。
对于第(1)题：先观察分子是完全平方的形式，分母是平方差的形式，分别用对应乘法公式因式分解后，即可找到公因式约去；
对于第(2)题：先给分子提取公因式，再对剩余部分用平方差公式因式分解，即可找到和分母相同的公因式约去。
【解析】
(1) 第一步：对分子、分母因式分解
分子：$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$
分母：$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$（此时$x≠ y$且$x≠ -y$，分式有意义）
第二步：约去公因式$(x-y)$
原式$=\dfrac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}=\dfrac{x-y}{x+y}$
(2) 第一步：对分子因式分解
先提取公因式2：$2a^2-8=2(a^2-4)$
再用平方差公式分解：$2(a^2-4)=2(a-2)(a+2)$（此时$a≠ -2$，分式有意义）
第二步：约去公因式$(a+2)$
原式$=\dfrac{2(a-2)(a+2)}{a+2}=2(a-2)=2a-4$
【答案】
(1) $\dfrac{x-y}{x+y}$ (2) $2a-4$
【知识点】
1. 分式约分
2. 因式分解
3. 乘法公式应用
【点评】
本题是分式约分的基础题型，解题关键是熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法），约分时需注意先确认分式有意义（分母不为0），再约去全部公因式，保证结果为最简形式。
【难度系数】
0.8
约分的核心是先将分子、分母分别因式分解，再约去二者的公因式，最终化为最简分式或整式。
对于第(1)题：先观察分子是完全平方的形式，分母是平方差的形式，分别用对应乘法公式因式分解后，即可找到公因式约去；
对于第(2)题：先给分子提取公因式，再对剩余部分用平方差公式因式分解，即可找到和分母相同的公因式约去。
【解析】
(1) 第一步：对分子、分母因式分解
分子：$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$
分母：$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$（此时$x≠ y$且$x≠ -y$，分式有意义）
第二步：约去公因式$(x-y)$
原式$=\dfrac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}=\dfrac{x-y}{x+y}$
(2) 第一步：对分子因式分解
先提取公因式2：$2a^2-8=2(a^2-4)$
再用平方差公式分解：$2(a^2-4)=2(a-2)(a+2)$（此时$a≠ -2$，分式有意义）
第二步：约去公因式$(a+2)$
原式$=\dfrac{2(a-2)(a+2)}{a+2}=2(a-2)=2a-4$
【答案】
(1) $\dfrac{x-y}{x+y}$ (2) $2a-4$
【知识点】
1. 分式约分
2. 因式分解
3. 乘法公式应用
【点评】
本题是分式约分的基础题型，解题关键是熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法），约分时需注意先确认分式有意义（分母不为0），再约去全部公因式，保证结果为最简形式。
【难度系数】
0.8
7. 通分：
(1)
(2) $\frac{2a}{a^2 - 9}$与$\frac{3}{a^2 - 6a + 9}$
(1)
(2) $\frac{2a}{a^2 - 9}$与$\frac{3}{a^2 - 6a + 9}$
答案
(1) $\frac{a^2-2a}{2a^2-8}$与$\frac{2a-2}{2a^2-8}$ (2) $\frac{2a(a-3)}{(a-3)^2(a+3)}$与$\frac{3(a+3)}{(a-3)^2(a+3)}$
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，解题步骤为：①先对每个分式的分母进行因式分解；②取各分母所有因式的最高次幂的乘积，得到最简公分母；③根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘适当的整式，使分母统一为最简公分母即可。
【解析】
(1) 先对两个分式的分母因式分解：
$2a+4=2(a+2)$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$，
因此两个分式的最简公分母为$2(a+2)(a-2)=2a^2-8$。
对第一个分式变形：$\frac{a}{2a+4}=\frac{a·(a-2)}{2(a+2)·(a-2)}=\frac{a^2-2a}{2a^2-8}$；
对第二个分式变形：$\frac{a-1}{a^2-4}=\frac{(a-1)×2}{(a+2)(a-2)×2}=\frac{2a-2}{2a^2-8}$。
(2) 先对两个分式的分母因式分解：
$a^2-9=(a+3)(a-3)$，$a^2-6a+9=(a-3)^2$，
因此两个分式的最简公分母为$(a-3)^2(a+3)$。
对第一个分式变形：$\frac{2a}{a^2-9}=\frac{2a·(a-3)}{(a+3)(a-3)·(a-3)}=\frac{2a(a-3)}{(a-3)^2(a+3)}$；
对第二个分式变形：$\frac{3}{a^2-6a+9}=\frac{3·(a+3)}{(a-3)^2·(a+3)}=\frac{3(a+3)}{(a-3)^2(a+3)}$。
【答案】
(1) $\frac{a^2-2a}{2a^2-8}$与$\frac{2a-2}{2a^2-8}$
(2) $\frac{2a(a-3)}{(a-3)^2(a+3)}$与$\frac{3(a+3)}{(a-3)^2(a+3)}$
【知识点】
因式分解，分式的基本性质，分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题的关键是正确对分母进行因式分解，准确找到最简公分母，变形时要注意分子和分母需同乘同一个不为0的整式，避免出现漏乘分子的错误。
【难度系数】
0.8
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，解题步骤为：①先对每个分式的分母进行因式分解；②取各分母所有因式的最高次幂的乘积，得到最简公分母；③根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘适当的整式，使分母统一为最简公分母即可。
【解析】
(1) 先对两个分式的分母因式分解：
$2a+4=2(a+2)$，$a^2-4=(a+2)(a-2)$，
因此两个分式的最简公分母为$2(a+2)(a-2)=2a^2-8$。
对第一个分式变形：$\frac{a}{2a+4}=\frac{a·(a-2)}{2(a+2)·(a-2)}=\frac{a^2-2a}{2a^2-8}$；
对第二个分式变形：$\frac{a-1}{a^2-4}=\frac{(a-1)×2}{(a+2)(a-2)×2}=\frac{2a-2}{2a^2-8}$。
(2) 先对两个分式的分母因式分解：
$a^2-9=(a+3)(a-3)$，$a^2-6a+9=(a-3)^2$，
因此两个分式的最简公分母为$(a-3)^2(a+3)$。
对第一个分式变形：$\frac{2a}{a^2-9}=\frac{2a·(a-3)}{(a+3)(a-3)·(a-3)}=\frac{2a(a-3)}{(a-3)^2(a+3)}$；
对第二个分式变形：$\frac{3}{a^2-6a+9}=\frac{3·(a+3)}{(a-3)^2·(a+3)}=\frac{3(a+3)}{(a-3)^2(a+3)}$。
【答案】
(1) $\frac{a^2-2a}{2a^2-8}$与$\frac{2a-2}{2a^2-8}$
(2) $\frac{2a(a-3)}{(a-3)^2(a+3)}$与$\frac{3(a+3)}{(a-3)^2(a+3)}$
【知识点】
因式分解，分式的基本性质，分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题的关键是正确对分母进行因式分解，准确找到最简公分母，变形时要注意分子和分母需同乘同一个不为0的整式，避免出现漏乘分子的错误。
【难度系数】
0.8
8. 若实数 $a$，$b$ 满足 $a + b = 2025$，$b ≠ a + 1$，求 $\frac{a^2 - (b^2 - 2b + 1)}{a^2 - b^2 + a + b}$ 的值。
答案
$\frac{a^2 - (b^2 - 2b + 1)}{a^2 - b^2 + a + b} = \frac{a^2 - (b-1)^2}{(a+b)(a-b) + (a+b)} = \frac{(a+b-1)(a-b+1)}{(a+b)(a-b+1)}$，
∵a+b=2025，b≠a+1，
∴原式=$\frac{a+b-1}{a+b}=\frac{2025-1}{2025}=\frac{2024}{2025}$
∵a+b=2025，b≠a+1，
∴原式=$\frac{a+b-1}{a+b}=\frac{2025-1}{2025}=\frac{2024}{2025}$
解析
【分析】
本题是分式求值类题目，已知a+b的整体数值，直接代入原式无法计算，因此需要先化简分式：第一步观察分子，括号内的$b^2-2b+1$符合完全平方公式，可变形为$(b-1)^2$，此时分子变为$a^2-(b-1)^2$，符合平方差公式可因式分解；第二步观察分母，$a^2-b^2$是平方差形式，分解后和后面的$a+b$有公因式$(a+b)$，可提取公因式完成因式分解；第三步结合条件$b≠a+1$可判断分解后分子分母的公因式不为0，可约分，约分后分式仅含$a+b$的整体，代入已知数值即可计算结果。
【解析】
解：先对原式的分子、分母分别因式分解：
分子：$a^2 - (b^2 - 2b + 1) = a^2 - (b-1)^2 = (a + b - 1)(a - b + 1)$
分母：$a^2 - b^2 + a + b = (a+b)(a-b) + (a+b) = (a+b)(a - b + 1)$
因此原式可变形为：
$\frac{(a + b - 1)(a - b + 1)}{(a + b)(a - b + 1)}$
$\because b≠a+1$，$\therefore a - b + 1≠0$，结合分式有意义的要求，可约去公因式$(a - b + 1)$，得：
原式$=\frac{a + b - 1}{a + b}$
将$a+b=2025$代入上式：
原式$=\frac{2025 - 1}{2025} = \frac{2024}{2025}$
【答案】
$\frac{2024}{2025}$
【知识点】
因式分解，分式基本性质，分式化简求值
【点评】
本题核心解题思路是先化简再求值，避免了单独求解a、b的繁琐，需要熟练掌握完全平方公式、平方差公式完成因式分解，同时题目给出的不等条件是约分的合法前提，确保分式约分符合运算规则。
【难度系数】
0.7
本题是分式求值类题目，已知a+b的整体数值，直接代入原式无法计算，因此需要先化简分式：第一步观察分子，括号内的$b^2-2b+1$符合完全平方公式，可变形为$(b-1)^2$，此时分子变为$a^2-(b-1)^2$，符合平方差公式可因式分解；第二步观察分母，$a^2-b^2$是平方差形式，分解后和后面的$a+b$有公因式$(a+b)$，可提取公因式完成因式分解；第三步结合条件$b≠a+1$可判断分解后分子分母的公因式不为0，可约分，约分后分式仅含$a+b$的整体，代入已知数值即可计算结果。
【解析】
解：先对原式的分子、分母分别因式分解：
分子：$a^2 - (b^2 - 2b + 1) = a^2 - (b-1)^2 = (a + b - 1)(a - b + 1)$
分母：$a^2 - b^2 + a + b = (a+b)(a-b) + (a+b) = (a+b)(a - b + 1)$
因此原式可变形为：
$\frac{(a + b - 1)(a - b + 1)}{(a + b)(a - b + 1)}$
$\because b≠a+1$，$\therefore a - b + 1≠0$，结合分式有意义的要求，可约去公因式$(a - b + 1)$，得：
原式$=\frac{a + b - 1}{a + b}$
将$a+b=2025$代入上式：
原式$=\frac{2025 - 1}{2025} = \frac{2024}{2025}$
【答案】
$\frac{2024}{2025}$
【知识点】
因式分解，分式基本性质，分式化简求值
【点评】
本题核心解题思路是先化简再求值，避免了单独求解a、b的繁琐，需要熟练掌握完全平方公式、平方差公式完成因式分解，同时题目给出的不等条件是约分的合法前提，确保分式约分符合运算规则。
【难度系数】
0.7
9. 阅读理解：（请仔细阅读，认真思考，灵活应用）
【例】已知实数 $ x $ 满足 $ x+\frac{1}{x}=4 $，求分式 $ \frac{x}{x^2+3x+1} $ 的值.
解：观察所求式子的特征，因为 $ x≠0 $，我们可以先求出 $ \frac{x}{x^2+3x+1} $ 的倒数的值.
$ \because \frac{x^2+3x+1}{x}=x+3+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}+3=4+3=7 $，
$ \therefore \frac{x}{x^2+3x+1}=\frac{1}{7} $.
【活学活用】
（1）已知实数 $ a $ 满足 $ a+\frac{1}{a}=-5 $，求分式 $ \frac{3a^2+5a+3}{a} $ 的值.
（2）已知实数 $ x $ 满足 $ x+\frac{1}{x+1}=9 $，求分式 $ \frac{x+1}{x^2+5x+5} $ 的值.
【例】已知实数 $ x $ 满足 $ x+\frac{1}{x}=4 $，求分式 $ \frac{x}{x^2+3x+1} $ 的值.
解：观察所求式子的特征，因为 $ x≠0 $，我们可以先求出 $ \frac{x}{x^2+3x+1} $ 的倒数的值.
$ \because \frac{x^2+3x+1}{x}=x+3+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}+3=4+3=7 $，
$ \therefore \frac{x}{x^2+3x+1}=\frac{1}{7} $.
【活学活用】
（1）已知实数 $ a $ 满足 $ a+\frac{1}{a}=-5 $，求分式 $ \frac{3a^2+5a+3}{a} $ 的值.
（2）已知实数 $ x $ 满足 $ x+\frac{1}{x+1}=9 $，求分式 $ \frac{x+1}{x^2+5x+5} $ 的值.
答案
（1）
∵$\frac{3a^2+5a+3}{a}=3a+5+\frac{3}{a}=3(a+\frac{1}{a})+5$，已知$a+\frac{1}{a}=-5$，将其代入，
∴3×(-5)+5=-10 （2）
∵$\frac{x^2+5x+5}{x+1}=\frac{x^2+x+4x+4+1}{x+1}=\frac{x(x+1)+4(x+1)+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}+4$，已知$x+\frac{1}{x+1}=9$，将其代入，$\frac{x^2+5x+5}{x+1}=9+4=13$，
∴$\frac{x+1}{x^2+5x+5}=\frac{1}{13}$
∵$\frac{3a^2+5a+3}{a}=3a+5+\frac{3}{a}=3(a+\frac{1}{a})+5$，已知$a+\frac{1}{a}=-5$，将其代入，
∴3×(-5)+5=-10 （2）
∵$\frac{x^2+5x+5}{x+1}=\frac{x^2+x+4x+4+1}{x+1}=\frac{x(x+1)+4(x+1)+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}+4$，已知$x+\frac{1}{x+1}=9$，将其代入，$\frac{x^2+5x+5}{x+1}=9+4=13$，
∴$\frac{x+1}{x^2+5x+5}=\frac{1}{13}$
解析
【分析】
（1）观察所求分式的结构，分母为a，可将分子每一项分别除以a，拆分后整理出含有已知条件$a+\frac{1}{a}$的形式，直接整体代入即可算出结果。
（2）已知条件是含$x+1$的倒数形式，参考例题的倒数法思路，先求目标分式的倒数，将倒数的分子拆分变形，整理出含有已知条件$x+\frac{1}{x+1}$的形式，整体代入求出倒数值后，再取倒数即可得到原式的值。
【解析】
（1）对所求分式拆分变形：
$\because \frac{3a^2+5a+3}{a}=3a+5+\frac{3}{a}=3(a+\frac{1}{a})+5$
将$a+\frac{1}{a}=-5$代入上式：
$\therefore$ 原式$=3×(-5)+5=-15+5=-10$
（2）由已知条件可知$x+1≠0$，先求目标分式的倒数：
$\because \frac{x^2+5x+5}{x+1}=\frac{x^2+x+4x+4+1}{x+1}=\frac{x(x+1)+4(x+1)+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}+4$
将$x+\frac{1}{x+1}=9$代入上式：
$\frac{x^2+5x+5}{x+1}=9+4=13$
$\therefore \frac{x+1}{x^2+5x+5}=\frac{1}{13}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{-10}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1}{13}}$
【知识点】
分式的基本性质，整体代入求值，倒数法化简
【点评】
本题考查分式运算的变形技巧，需要结合已知条件和所求式子的结构特征灵活变形，通过拆分分式、整体代入的方法简化计算，避免了直接求解未知数的繁琐，能有效考查知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.65
（1）观察所求分式的结构，分母为a，可将分子每一项分别除以a，拆分后整理出含有已知条件$a+\frac{1}{a}$的形式，直接整体代入即可算出结果。
（2）已知条件是含$x+1$的倒数形式，参考例题的倒数法思路，先求目标分式的倒数，将倒数的分子拆分变形，整理出含有已知条件$x+\frac{1}{x+1}$的形式，整体代入求出倒数值后，再取倒数即可得到原式的值。
【解析】
（1）对所求分式拆分变形：
$\because \frac{3a^2+5a+3}{a}=3a+5+\frac{3}{a}=3(a+\frac{1}{a})+5$
将$a+\frac{1}{a}=-5$代入上式：
$\therefore$ 原式$=3×(-5)+5=-15+5=-10$
（2）由已知条件可知$x+1≠0$，先求目标分式的倒数：
$\because \frac{x^2+5x+5}{x+1}=\frac{x^2+x+4x+4+1}{x+1}=\frac{x(x+1)+4(x+1)+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}+4$
将$x+\frac{1}{x+1}=9$代入上式：
$\frac{x^2+5x+5}{x+1}=9+4=13$
$\therefore \frac{x+1}{x^2+5x+5}=\frac{1}{13}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{-10}$；（2）$\boldsymbol{\frac{1}{13}}$
【知识点】
分式的基本性质，整体代入求值，倒数法化简
【点评】
本题考查分式运算的变形技巧，需要结合已知条件和所求式子的结构特征灵活变形，通过拆分分式、整体代入的方法简化计算，避免了直接求解未知数的繁琐，能有效考查知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.65
10. 已知 $a + b - 3 = 0$，求代数式 $\frac{4(a - b) + 8b}{a^2 + 2ab + b^2}$ 的值。
答案
∵a+b-3=0，
∴a+b=3。
∴原式=$\frac{4a-4b+8b}{(a+b)^2}=\frac{4(a+b)}{(a+b)^2}=\frac{4}{a+b}=\frac{4}{3}$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和待求代数式的特征：首先从已知等式可直接得出a+b=3，无需单独求解a、b的具体值；再对待求代数式进行化简，第一步先对分子去括号、合并同类项，第二步对分母用完全平方公式因式分解，第三步约分后可发现化简结果仅含(a+b)这个整体，最后将a+b=3整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$a + b - 3 = 0$，
∴$a + b = 3$。
对原式化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{4a-4b+8b}{(a+b)^2}\\&=\frac{4a+4b}{(a+b)^2}\\&=\frac{4(a+b)}{(a+b)^2}\\&=\frac{4}{a+b}\end{aligned}$
将$a+b=3$代入得：$\frac{4}{a+b}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
分式化简，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题核心是熟练掌握整式运算、因式分解及分式约分的规则，运用整体代入思想可避免单独求解字母取值的繁琐，有效降低计算量。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件和待求代数式的特征：首先从已知等式可直接得出a+b=3，无需单独求解a、b的具体值；再对待求代数式进行化简，第一步先对分子去括号、合并同类项，第二步对分母用完全平方公式因式分解，第三步约分后可发现化简结果仅含(a+b)这个整体，最后将a+b=3整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$a + b - 3 = 0$，
∴$a + b = 3$。
对原式化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{4a-4b+8b}{(a+b)^2}\\&=\frac{4a+4b}{(a+b)^2}\\&=\frac{4(a+b)}{(a+b)^2}\\&=\frac{4}{a+b}\end{aligned}$
将$a+b=3$代入得：$\frac{4}{a+b}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
分式化简，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题核心是熟练掌握整式运算、因式分解及分式约分的规则，运用整体代入思想可避免单独求解字母取值的繁琐，有效降低计算量。
【难度系数】
0.8
