9. 运用完全平方公式进行简便运算：
(1)$(30 \frac{1}{2})^2$.
(2)$99.8^2$.

9. (1) 原式$=(30+\frac{1}{2})^2=900+30+\frac{1}{4}=930\frac{1}{4}$ (2) 原式$=(100-0.2)^2=10\ 000-40+0.04=9\ 960.04$

【分析】
解题前先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，简便运算的核心是将不好直接计算平方的底数，拆成“整数±较小数”的形式，让拆分后的数的平方、乘积都更容易计算。对于(1)的带分数$30\frac{1}{2}$，可拆为$30+\frac{1}{2}$，代入完全平方和公式计算即可；对于(2)的99.8，接近整百数100，可拆为$100-0.2$，代入完全平方差公式计算，能大幅降低计算量。
【解析】
(1) 先将带分数改写为整数加分数的形式，再套用完全平方和公式计算：
$\begin{aligned}(30\frac{1}{2})^2&=(30+\frac{1}{2})^2\\&=30^2 + 2×30×\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2\\&=900 + 30 + \frac{1}{4}\\&=930\frac{1}{4}\end{aligned}$
(2) 先将99.8改写为整百数减小数的形式，再套用完全平方差公式计算：
$\begin{aligned}99.8^2&=(100-0.2)^2\\&=100^2 - 2×100×0.2 + (0.2)^2\\&=10000 - 40 + 0.04\\&=9960.04\end{aligned}$
【答案】
(1)$930\frac{1}{4}$；(2)$9960.04$
【知识点】
完全平方公式；有理数简便运算
【点评】
本题是乘法公式的基础应用题型，解题关键是合理拆分底数，通过套用完全平方公式简化计算过程，能有效提升计算效率、降低计算错误率。
【难度系数】
0.8

10. 某工厂接到一批订单，需要边长为$(a+3)$和3的两种正方形卡纸.
（1）仓库只有边长为$(a+3)$的正方形卡纸，现决定将部分边长为$(a+3)$的正方形卡纸，按图16.3-8所示裁剪得边长为3的正方形卡纸. 求裁剪正方形卡纸后剩余部分的面积.（用含$a$的代数式来表示）
（2）若将裁得的正方形卡纸与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图16.3-9、图16.3-10两种方式放置（图16.3-9、图16.3-10中两张正方形卡纸均有部分重叠），盒子底部未被这两张正方形卡纸覆盖的部分用阴影表示. 设$AB=b$，$BC$的长比$AB$多4.
①如图16.3-9，表示线段$EF$的长.（用含$a$，$b$的代数式来表示）
②设图16.3-9中阴影部分的面积为$S_1$，图16.3-10中阴影部分的面积为$S_2$，求$S_2 - S_1$的值.

10. (1) $(a+3)^2 - 3^2 = a^2 + 6a$ (2) ①由拼图可知，$EF=(a+3)-3=a$ ②如答图36和答图37，$S_1=S_{长方形ADPM}-S_{长方形EFMN}=(b+4)(b-3)-a(a+3)=b^2 + b - 12 - a^2 - 3a$，$S_2=S_{长方形ABCD}-S_{大正方形}-S_{小正方形}+S_{长方形MPQN}=b(b+4)-(a+3)^2 - 3^2 + 3(a+3+3 - b)=b^2 + b - a^2 - 3a$，$\therefore S_2 - S_1 = b^2 + b - a^2 - 3a - b^2 - b + a^2 + 3a + 12 = 12$

【分析】
（1）求裁剪后剩余面积，只需用边长为$(a+3)$的大正方形面积减去裁掉的边长为3的小正方形面积，结合整式运算化简即可。
（2）①观察图16.3-9的拼接结构，EF的长度等于大正方形边长减去小正方形边长，直接作差计算即可。
②分别计算$S_1$和$S_2$：$S_1$可通过拆分阴影为两个长方形的面积差求解，$S_2$可通过长方形ABCD总面积减去两个正方形面积，再加回被重复减去的重叠部分面积求解，最后将$S_2$与$S_1$作差，化简整式即可得到结果，计算时注意去括号的符号规则。
【解析】
（1）剩余部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积：
$\begin{aligned}&(a+3)^2 - 3^2\\=&a^2+6a+9-9\\=&a^2+6a\end{aligned}$
（2）①已知大正方形边长为$a+3$，小正方形边长为3，由图形边长关系得：
$EF=(a+3)-3=a$
②已知$AB=b$，则$BC=b+4$，长方形$ABCD$面积为$b(b+4)$。
计算$S_1$：如答图36，阴影面积为长方形$ADPM$面积减去长方形$EFMN$面积：
$\begin{aligned}S_1&=(b+4)(b-3)-a(a+3)\\=&b^2-3b+4b-12-a^2-3a\\=&b^2 + b - 12 - a^2 - 3a\end{aligned}$
计算$S_2$：如答图37，阴影面积为长方形总面积减去两个正方形面积，加回重叠部分面积：
$\begin{aligned}S_2&=b(b+4)-(a+3)^2 - 3^2 + 3(a+3+3 - b)\\=&b^2+4b-a^2-6a-9-9+3a+18-3b\\=&b^2 + b - a^2 - 3a\end{aligned}$
计算$S_2-S_1$：
$\begin{aligned}S_2 - S_1 &= b^2 + b - a^2 - 3a - (b^2 + b - 12 - a^2 - 3a)\\&=12\end{aligned}$
【答案】
(1) $(a+3)^2 - 3^2 = a^2 + 6a$
(2) ①$EF=(a+3)-3=a$
②如答图36和答图37，$S_1=(b+4)(b-3)-a(a+3)=b^2 + b - 12 - a^2 - 3a$，$S_2=b(b+4)-(a+3)^2 - 3^2 + 3(a+3+3 - b)=b^2 + b - a^2 - 3a$，$\therefore S_2 - S_1 = 12$
【知识点】
正方形面积计算，整式化简运算，乘法公式应用
【点评】
本题结合几何面积计算考查整式运算，解题核心是准确分析图形边长关系，正确列出面积代数式，计算时注意去括号的符号变化，最终化简时可通过同类项抵消降低计算量。
【难度系数】
0.7

11. 已知$a - b = 3$，$ab = 10$，则$a^2 + b^2 =$

11. 29

【分析】
本题要求$a^2 + b^2$的值，已知$a-b$和$ab$的数值，解题的核心是利用完全平方差公式的变形。我们学过的完全平方差公式为$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，将公式变形即可把$a^2 + b^2$用已知的$a-b$和$ab$表示，代入数值就能算出结果。
【解析】
根据完全平方差公式：
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
将公式移项变形可得：
$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$
把$a - b = 3$，$ab = 10$代入上式：
$a^2 + b^2 = 3^2 + 2×10 = 9 + 20 = 29$
【答案】
29
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式的基础变形应用题，熟练掌握完全平方公式的常见变形形式是解题的关键，此类题型是整式乘法部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.85

12. 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方$(a + b)^n$展开式的系数规律如图16.3 - 11所示，其中“三乘”对应的展开式为：
$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$。
【应用体验】已知$(x + 2)^4 = x^4 + mx^3 + 24x^2 + 32x + 16$，则$m$的值为。

12. 8

【分析】
要计算m的值，我们可以利用题目给出的$(a+b)^4$的展开式规律，将$(x+2)$对应为$(a+b)$，代入展开式后找到$x^3$项的系数，即可得到m的数值。首先明确展开式中a对应x，b对应2，找到展开式里含$a^3b$的项，代入$b=2$计算该项系数即可。
【解析】
已知$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$，
将$a=x$，$b=2$代入上式得：
$(x+2)^4 = x^4 + 4· x^3· 2 + 6· x^2· 2^2 + 4· x· 2^3 + 2^4$
计算含$x^3$的项为：$4×2· x^3=8x^3$
对比已知式$(x + 2)^4 = x^4 + mx^3 + 24x^2 + 32x + 16$，可得$m=8$。
【答案】
8
【知识点】
杨辉三角应用，多项式系数，代数式代入
【点评】
本题结合我国古代数学成果杨辉三角命题，考查对给定规律的迁移应用能力和基础代数式计算能力，只要准确对应展开式中的项，代入数值计算即可求解。
【难度系数】
0.8