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1.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫作三角数,它有一定的规律性,若把第一个三角数记为$a_1=1$,第二个三角数记为$a_2$,…,第$n$个三角数记为$a_n$,计算$a_{2023} - a_{2022}$的值为（
A.1
B.2021
C.2022
D.2023
D
）A.1
B.2021
C.2022
D.2023
答案
$a_2 - a_1=3 - 1=2$；
$a_3 - a_2=6 - 3=3$；
$a_4 - a_3=10 - 6=4$；
$a_5 - a_4=5$；
$a_6 - a_5=6$；
…，
故$a_{2023} - a_{2022}=2023$。
$a_3 - a_2=6 - 3=3$；
$a_4 - a_3=10 - 6=4$；
$a_5 - a_4=5$；
$a_6 - a_5=6$；
…，
故$a_{2023} - a_{2022}=2023$。
2. $a$是不为2的有理数，我们把$\frac{2}{2-a}$称为$a$的“伴随数”，如3的“伴随数”是$\frac{2}{2-3}=-2$，$-2$的“伴随数”是$\frac{2}{2-(-2)}=\frac{1}{2}$，已知$a_1=4$，$a_2$是$a_1$的“伴随数”，$a_3$是$a_2$的“伴随数”，$a_4$是$a_3$的“伴随数”，…，以此类推，则$a_{2024}$等于（
A.$-1$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$4$
C
）A.$-1$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$4$
答案
因为$a_1=4$，
所以$a_2=\frac{2}{2-4}=-1$，
$a_3=\frac{2}{2-(-1)}=\frac{2}{3}$，
$a_4=\frac{2}{2-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$，
$a_5=\frac{2}{2-\frac{3}{2}}=4$，
…，
发现规律:这列数按$4,-1,\frac{2}{3},\frac{3}{2}$循环出现，
因为$2024÷4=506$,所以$a_{2024}=\frac{3}{2}$。
所以$a_2=\frac{2}{2-4}=-1$，
$a_3=\frac{2}{2-(-1)}=\frac{2}{3}$，
$a_4=\frac{2}{2-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$，
$a_5=\frac{2}{2-\frac{3}{2}}=4$，
…，
发现规律:这列数按$4,-1,\frac{2}{3},\frac{3}{2}$循环出现，
因为$2024÷4=506$,所以$a_{2024}=\frac{3}{2}$。
3.有一列数,记第$n$个数为$a_n$,已知$a_1=2$,当$n＞1$时,$a_n=\begin{cases}\dfrac{1}{a_{n-1}}, & n为偶数 \\ \dfrac{1}{1-a_{n-1}}, & n为奇数\end{cases}$,则$a_{2025}$的值为（ ）
A.2
B.$\dfrac{1}{2}$
C.1
D.$\dfrac{1}{3}$
A.2
B.$\dfrac{1}{2}$
C.1
D.$\dfrac{1}{3}$
答案
因为$a_1=2$，
$a_2=\frac{1}{a_1}=\frac{1}{2}$，
$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，
$a_4=\frac{1}{a_3}=\frac{1}{2}$，
$a_5=2$，
$a_6=\frac{1}{2}$，
…，
由此发现规律为$a_n=\begin{cases}\dfrac{1}{2},n为偶数 \\ 2,n为奇数\end{cases}$，
所以$a_{2025}=2$。
$a_2=\frac{1}{a_1}=\frac{1}{2}$，
$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，
$a_4=\frac{1}{a_3}=\frac{1}{2}$，
$a_5=2$，
$a_6=\frac{1}{2}$，
…，
由此发现规律为$a_n=\begin{cases}\dfrac{1}{2},n为偶数 \\ 2,n为奇数\end{cases}$，
所以$a_{2025}=2$。
4.(2025·南京质检)对于正整数$m$，我们规定：若$m$为奇数，则$f(m)=3m+3$；若$m$为偶数，则$f(m)=\frac{m}{2}$。例如$f(5)=3×5+3=18$，$f(8)=\frac{8}{2}=4$。若$m_1=1$，$m_2=f(m_1)$，$m_3=f(m_2)$，…，依此规律进行下去得到一列数$m_1,m_2,m_3,\dots,m_n,\dots$($n$为正整数)，则$m_{2025}$的值是（
A.$3$
B.$6$
C.$12$
D.$1$
A
）A.$3$
B.$6$
C.$12$
D.$1$
答案
由题知，
因为$m_1=1$，
所以$m_2=3×1+3=6$，
$m_3=\frac{6}{2}=3$，
$m_4=3×3+3=12$，
$m_5=\frac{12}{2}=6$，
…，
由此可见，从$m_2$开始这列数按$6,3,12$循环，
又因为$(2025-1)÷3=674······2$，
所以$m_{2025}=3$。
因为$m_1=1$，
所以$m_2=3×1+3=6$，
$m_3=\frac{6}{2}=3$，
$m_4=3×3+3=12$，
$m_5=\frac{12}{2}=6$，
…，
由此可见，从$m_2$开始这列数按$6,3,12$循环，
又因为$(2025-1)÷3=674······2$，
所以$m_{2025}=3$。
5.观察规律:$2+\frac{2}{3}=2^2×\frac{2}{3},3+\frac{3}{8}=3^2×\frac{3}{8},4+\frac{4}{15}=4^2×\frac{4}{15},5+\frac{5}{24}=5^2×\frac{5}{24},\dots,$若$11+\frac{n}{m}=11^2×\frac{n}{m}$符合上述规律,则$m+n=$
131
.答案
【解析】发现规律:$x+\frac{x}{x^2-1}=x^2×\frac{x}{x^2-1}$，
因为$11+\frac{n}{m}=11^2×\frac{n}{m}$，
所以$m=11^2-1=120,n=11$，
所以$m+n=120+11=131$。
答案:131
因为$11+\frac{n}{m}=11^2×\frac{n}{m}$，
所以$m=11^2-1=120,n=11$，
所以$m+n=120+11=131$。
答案:131
6. 观察下列各式：
$1^2=\frac{1×2×3}{6}$；$1^2+2^2=\frac{2×3×5}{6}$；$1^2+2^2+3^2=\frac{3×4×7}{6}$；$1^2+2^2+3^2+4^2=\frac{4×5×9}{6}$；…
(1) 根据你发现的规律，计算下面算式的值：$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2=\_\_\_\_\_\_$；
(2) 请用一个含$n$的算式表示这个规律：$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\_\_\_\_\_\_$；
(3) 根据发现的规律，请计算$9^2+10^2+\dots+99^2+100^2$的值(写出必要的解题过程)。
$1^2=\frac{1×2×3}{6}$；$1^2+2^2=\frac{2×3×5}{6}$；$1^2+2^2+3^2=\frac{3×4×7}{6}$；$1^2+2^2+3^2+4^2=\frac{4×5×9}{6}$；…
(1) 根据你发现的规律，计算下面算式的值：$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2=\_\_\_\_\_\_$；
(2) 请用一个含$n$的算式表示这个规律：$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\_\_\_\_\_\_$；
(3) 根据发现的规律，请计算$9^2+10^2+\dots+99^2+100^2$的值(写出必要的解题过程)。
答案
【解析】(1) 因为$1^2=\frac{1×2×3}{6}$；$1^2+2^2=\frac{2×3×5}{6}$；$1^2+2^2+3^2=\frac{3×4×7}{6}$,$1^2+2^2+3^2+4^2=\frac{4×5×9}{6}$，
所以$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=\frac{5×6×11}{6}$，
$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2=\frac{6×7×13}{6}$，
$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2=\frac{7×8×15}{6}$，
所以$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2=\frac{8×9×17}{6}$；
答案:$\frac{8×9×17}{6}$
(2)由(1)可得出,$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$；
答案:$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
(3)$9^2+10^2+\dots+99^2+100^2$
$=(1^2+2^2+3^2+\dots+99^2+100^2)-(1^2+2^2+\dots+7^2+8^2)$
$=\frac{100×101×201}{6}-\frac{8×9×17}{6}$
$=338350-204$
$=338146$。
所以$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=\frac{5×6×11}{6}$，
$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2=\frac{6×7×13}{6}$，
$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2=\frac{7×8×15}{6}$，
所以$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2=\frac{8×9×17}{6}$；
答案:$\frac{8×9×17}{6}$
(2)由(1)可得出,$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$；
答案:$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
(3)$9^2+10^2+\dots+99^2+100^2$
$=(1^2+2^2+3^2+\dots+99^2+100^2)-(1^2+2^2+\dots+7^2+8^2)$
$=\frac{100×101×201}{6}-\frac{8×9×17}{6}$
$=338350-204$
$=338146$。
