20.「2026江西南昌青山湖月考，★☆」(8分)已知关于x的一元二次方程$x^2+(m+3)x+m+1=0$.
(1)求证:无论m取何值,原方程都有两个不相等的实数根.
(2)若$x_1,x_2$是原方程的两根,且$x_1^2+x_2^2=19$,求m的值.

20.解析 (1)证明:
∵$\Delta=b^2-4ac=(m+3)^2-4×1×(m+1)=(m+1)^2+4＞0$,
∴无论m取何值,原方程都有两个不相等的实数根.
(2)由根与系数的关系得$x_1+x_2=-(m+3)$,$x_1x_2=m+1$,
∵$x_1^2+x_2^2=19$,
∴$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=19$,
∴$[-(m+3)]^2-2(m+1)=19$,解得$m_1=-6$,$m_2=2$,这两个根均符合题意.

21.「2026河北廊坊期中，★☆」(8分)九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制(即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场)，嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场.”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场.”设有x人报名参加比赛.
(1)依据两人的对话，乐乐列出方程$\frac{1}{2}x(x-1)=40$.请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确.
(2)赛后查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值.

21.解析 (1)$\frac{1}{2}x(x-1)=40$,整理,得$x^2-x-80=0$,解得$x=\frac{1\pm\sqrt{321}}{2}$,根不是整数,
∴方程的解不符合实际,故淇淇的说法正确.
(2)
∵有一人比赛了4场后退出比赛,
∴$\frac{(x-1)(x-2)}{2}+4=40$,整理,得$x^2-3x-70=0$,
∴$(x-10)(x+7)=0$,解得$x_1=10$,$x_2=-7$(舍去),
∴x的值为10.