17.「2026四川绵阳期末，★★☆」如图1，将面积为16的正方形分为①②③④四部分，分成的四部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则AB的长为。

17.答案 $2\sqrt{5}-2$
解析
∵正方形的面积为16,
∴正方形的边长为4.设AB的长为x,由拼图结构可知,BC的长为x+4.
∴$x(x+4)=16$,整理,得$x^2+4x-16=0$,
∴$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2+4×16}}{2}=\frac{-4\pm4\sqrt{5}}{2}=-2\pm2\sqrt{5}$,
∴$x=2\sqrt{5}-2$(舍去负值).

18.「2026江西南昌月考，★☆☆」对于任意实数$a,b$，我们定义新运算“$*$”：$a*b = a^2 + ab - b^2$，例如$3*5 = 3^2 + 3×5 - 5^2 = -1$.若$m,n$是方程$(x-3)*2=0$的两个根，则$\dfrac{n}{m}+\dfrac{m}{n}$的值为________.

18.答案 -18
解析 由题意得$(x-3)^2+2(x-3)-2^2=0$,化简,得$x^2-4x-1=0$,
∵$m,n$是该方程的两个根,
∴$m+n=4$,$mn=-1$,
∴$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^2+m^2}{mn}=\frac{(m+n)^2-2mn}{mn}=\frac{4^2-2×(-1)}{-1}=-18$.

三、解答题(共66分)
19.「2026吉林长春绿园月考，★☆」(16分)用适当的方法解方程：
(1)$(3x-2)^2 = 16$.
(2)$3x(x-3) = 3(x-3)$.
(3)$x^2 -4x +1 =0$.
(4)$6x^2 -7x +1 =0$.

19.解析 (1)$(3x-2)^2 = 16$,根据平方根的意义,得$3x-2=\pm4$,解得$x_1=2$,$x_2=-\frac{2}{3}$.
(2)$3x(x-3) = 3(x-3)$,移项,得$3x(x-3)-3(x-3)=0$,左边分解因式,得$(x-3)(3x-3)=0$,于是$x-3=0$或$3x-3=0$,解得$x_1=3$,$x_2=1$.
(3)$x^2 -4x +1 =0$,移项,得$x^2-4x=-1$,配方,得$x^2-4x+4=-1+4$,即$(x-2)^2=3$,根据平方根的意义,得$x-2=\pm\sqrt{3}$,解得$x_1=2+\sqrt{3}$,$x_2=2-\sqrt{3}$.
(4)$6x^2 -7x +1 =0$,左边分解因式,得$(x-1)(6x-1)=0$,于是$x-1=0$或$6x-1=0$,解得$x_1=1$,$x_2=\frac{1}{6}$.