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17 传统文化 《算法统宗》 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托。”若1托为5尺，则竿子、索长分别为
15尺,20尺
。答案
17. 15尺,20尺
[解析]设索长为$x$尺,竿子长为$y$尺,
根据题意,得$\begin{cases} x-y=5, \\ y-\dfrac{1}{2}x=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=20, \\ y=15. \end{cases}$
故索长为 20 尺,竿子长为 15 尺.
[解析]设索长为$x$尺,竿子长为$y$尺,
根据题意,得$\begin{cases} x-y=5, \\ y-\dfrac{1}{2}x=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=20, \\ y=15. \end{cases}$
故索长为 20 尺,竿子长为 15 尺.
18 解下列方程组：
(1) $\begin{cases}2x + 3y = 12, \\3x + 4y = 17;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + y = -1, \\x + z = 0, \\y + z = 1.\end{cases}$
(1) $\begin{cases}2x + 3y = 12, \\3x + 4y = 17;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + y = -1, \\x + z = 0, \\y + z = 1.\end{cases}$
答案
18. (1) $\begin{cases} x=3, \\ y=2. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=-1, \\ y=0, \\ z=1. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=-1, \\ y=0, \\ z=1. \end{cases}$
19 甲、乙两人做加法，甲在其中一个数后面多写了一个0，得和为2 342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，你能求出原来的两个加数吗？
答案
19. 设两个加数分别为$x,y$.
根据题意,得$\begin{cases} 10x+y=2342, \\ \dfrac{1}{10}x+y=65. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=230, \\ y=42. \end{cases}$
所以原来的两个加数分别为 230 和 42.
根据题意,得$\begin{cases} 10x+y=2342, \\ \dfrac{1}{10}x+y=65. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=230, \\ y=42. \end{cases}$
所以原来的两个加数分别为 230 和 42.
20 已知方程组$\begin{cases} x+y=3a, ① \\ y+z=5a, ② \\ z+x=4a ③ \end{cases}$的解使代数式 $x-2y+3z$ 的值等于$-10$，求$a$的值。
答案
20. ①+②+③,得$2(x+y+z)=12a$,
即$x+y+z=6a$. ④
④-①,得$z=3a$,④-②,得$x=a$,④-③,得$y=2a$.将$x=a,y=2a,z=3a$代入$x-2y+3z=-10$,得$a-2×2a+3×3a=-10$,解得$a=-\dfrac{5}{3}$.
即$x+y+z=6a$. ④
④-①,得$z=3a$,④-②,得$x=a$,④-③,得$y=2a$.将$x=a,y=2a,z=3a$代入$x-2y+3z=-10$,得$a-2×2a+3×3a=-10$,解得$a=-\dfrac{5}{3}$.
21 (2024·江苏南京玄武区期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点$(2,-1),(0,3)$.
(1)求一次函数的表达式；
(2)将一次函数的图象向左平移
(1)求一次函数的表达式；
(2)将一次函数的图象向左平移
$\dfrac{3}{2}$
个单位长度恰好经过坐标原点.答案
21. (1)设一次函数的表达式为$y=kx+b$,
$\because$图象经过点$(2,-1),(0,3)$.
$\therefore \begin{cases} 2k+b=-1, \\ b=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-2, \\ b=3, \end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-2x+3$.
(2) $\dfrac{3}{2}$
[解析]由题意,一次函数的图象向左平移$m(m＞0)$个单位后的表达式为$y=-2(x+m)+3$.
$\because$图象经过坐标原点,
$\therefore 0=-2(0+m)+3,\therefore m=\dfrac{3}{2}$.
$\because$图象经过点$(2,-1),(0,3)$.
$\therefore \begin{cases} 2k+b=-1, \\ b=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-2, \\ b=3, \end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-2x+3$.
(2) $\dfrac{3}{2}$
[解析]由题意,一次函数的图象向左平移$m(m＞0)$个单位后的表达式为$y=-2(x+m)+3$.
$\because$图象经过坐标原点,
$\therefore 0=-2(0+m)+3,\therefore m=\dfrac{3}{2}$.
22 如图，直线$l_1:y=2x+1$与直线$l_2:y=mx+4$相交于点$P(1,b)$，与$x$轴分别交于$A,B$两点.
(1)求$b,m$的值，并结合图象写出关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x-y=-1,\\mx-y=-4\end{cases}$的解；
(2)求$△ ABP$的面积；
(3)垂直于$x$轴的直线$x=a$与直线$l_1,l_2$分别交于点$C,D$，若线段$CD$的长为$2$，直接写出$a$的值.
(1)求$b,m$的值，并结合图象写出关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x-y=-1,\\mx-y=-4\end{cases}$的解；
(2)求$△ ABP$的面积；
(3)垂直于$x$轴的直线$x=a$与直线$l_1,l_2$分别交于点$C,D$，若线段$CD$的长为$2$，直接写出$a$的值.
答案
22. (1)把$P(1,b)$代入$y=2x+1$,得$b=2+1=3$,
把$P(1,3)$代入$y=mx+4$,得$m+4=3,\therefore m=-1$.
$\because$直线$l_1:y=2x+1$与直线$l_2:y=mx+4$相交于点$P(1,3)$,$\therefore$方程组$\begin{cases} 2x-y=-1, \\ mx-y=-4 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=3. \end{cases}$
(2)$\because l_1:y=2x+1,l_2:y=-x+4$,
$\therefore A(-\dfrac{1}{2},0),B(4,0),\therefore AB=4-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{9}{2}$,
$\therefore S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}AB· |y_P|=\dfrac{1}{2}×\dfrac{9}{2}×3=\dfrac{27}{4}$.
(3)设直线$x=a$与直线$l_1$的交点为$C(a,2a+1)$,与直线$l_2$的交点为$D(a,-a+4)$.
$\because CD=2,\therefore |2a+1-(-a+4)|=2$,
即$|3a-3|=2,\therefore 3a-3=2$或$3a-3=-2$,
$\therefore a=\dfrac{5}{3}$或$a=\dfrac{1}{3}$.
把$P(1,3)$代入$y=mx+4$,得$m+4=3,\therefore m=-1$.
$\because$直线$l_1:y=2x+1$与直线$l_2:y=mx+4$相交于点$P(1,3)$,$\therefore$方程组$\begin{cases} 2x-y=-1, \\ mx-y=-4 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=3. \end{cases}$
(2)$\because l_1:y=2x+1,l_2:y=-x+4$,
$\therefore A(-\dfrac{1}{2},0),B(4,0),\therefore AB=4-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{9}{2}$,
$\therefore S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}AB· |y_P|=\dfrac{1}{2}×\dfrac{9}{2}×3=\dfrac{27}{4}$.
(3)设直线$x=a$与直线$l_1$的交点为$C(a,2a+1)$,与直线$l_2$的交点为$D(a,-a+4)$.
$\because CD=2,\therefore |2a+1-(-a+4)|=2$,
即$|3a-3|=2,\therefore 3a-3=2$或$3a-3=-2$,
$\therefore a=\dfrac{5}{3}$或$a=\dfrac{1}{3}$.
