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23 中考新考法 图形问题转换为代数模型 如图，直线$y_1=2x-2$的图象与y轴交于点A，直线$y_2=-2x+6$的图象与y轴交于点B，两者相交于点C.
(1) 方程组$\begin{cases}2x - y = 2, \\2x + y = 6\end{cases}$的解是 ______ ；
(2) 求$△ ABC$的面积；
(3) 在直线$y_1=2x-2$的图象上存在异于点C的另一点P，使得$△ ABC$与$△ ABP$的面积相等，请求出点P的坐标.
(1) 方程组$\begin{cases}2x - y = 2, \\2x + y = 6\end{cases}$的解是 ______ ；
(2) 求$△ ABC$的面积；
(3) 在直线$y_1=2x-2$的图象上存在异于点C的另一点P，使得$△ ABC$与$△ ABP$的面积相等，请求出点P的坐标.
答案
23. (1) $\begin{cases} x=2, \\ y=2 \end{cases}$
(2)$\because$令$x=0$,则$y_1=-2,y_2=6$,
$\therefore A(0,-2),B(0,6).\therefore AB=8$.
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×8×2=8$.
(3)令$P(x_0,2x_0-2)$,则$S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}×8×|x_0|=8$,
$\therefore x_0=\pm2$.$\because$点$P$异于点$C$,
$\therefore x_0=-2,2x_0-2=-6$.$\therefore P(-2,-6)$.
(2)$\because$令$x=0$,则$y_1=-2,y_2=6$,
$\therefore A(0,-2),B(0,6).\therefore AB=8$.
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×8×2=8$.
(3)令$P(x_0,2x_0-2)$,则$S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}×8×|x_0|=8$,
$\therefore x_0=\pm2$.$\because$点$P$异于点$C$,
$\therefore x_0=-2,2x_0-2=-6$.$\therefore P(-2,-6)$.
24 新情境 制作无盖箱子 某工厂准备用如图(1)所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成如图(2)所示的竖式和横式两种无盖箱子。
(1)若现有A型板材120张，B型板材240张，可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
(2)若该工厂准备用12 000元资金去购买A，B两种型号板材，制作竖式、横式箱子共100个，已知A型板材每张10元，B型板材每张30元，发现资金恰好用完，问：可以制作竖式箱子多少个？
(3)若该工厂新购得65张规格为$3\ \mathrm{m} × 3\ \mathrm{m}$的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材(不记损耗)，用切割的板材制作成两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于10个，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式箱子多少个？
(1)若现有A型板材120张，B型板材240张，可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
(2)若该工厂准备用12 000元资金去购买A，B两种型号板材，制作竖式、横式箱子共100个，已知A型板材每张10元，B型板材每张30元，发现资金恰好用完，问：可以制作竖式箱子多少个？
(3)若该工厂新购得65张规格为$3\ \mathrm{m} × 3\ \mathrm{m}$的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材(不记损耗)，用切割的板材制作成两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于10个，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式箱子多少个？
答案
24. (1)设可制作竖式无盖箱子$x$个,横式无盖箱子$y$个.
由题意,得$\begin{cases} x+2y=120, \\ 4x+3y=240, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=24, \\ y=48. \end{cases}$
故可制作竖式无盖箱子 24 个,横式无盖箱子 48 个.
(2)设可以制作竖式箱子$m$个,则制作横式箱子$(100-m)$个.
由题意,得$10×[m+2(100-m)]+30×[4m+3(100-m)]=12000$,解得$m=50$.
故可以制作竖式箱子 50 个.
(3)如图,
C型可以看成三列,每一列可以做成3个A型或1个B型,65个C型就有$65×3=195$(列).$\because$材料恰好用完,
$\therefore$最后A型的数量一定是3的倍数.
设可以制作竖式箱子$a$个,横式箱子$b$个.
$\because$1个竖式无盖箱子需要1个A型和4个B型,1个横式无盖箱子需要2个A型和3个B型,1个B型相当于3个A型,
$\therefore (1+4×3)a+(2+3×3)b=195×3$,
$\therefore 13a+11b=585$.$\because a,b$均为正整数,且$a≥10$,
$\therefore \begin{cases} a=34, \\ b=13, \end{cases}\begin{cases} a=23, \\ b=26, \end{cases}\begin{cases} a=12, \\ b=39. \end{cases}$
故最多可以制作竖式箱子 34 个.
25 中考新考法 新定义问题 定义数对$(x,y)$经过一种运算$\varphi$可以得到数对$(x',y')$,并把该运算记作$\varphi(x,y)=(x',y')$,其中$\begin{cases} x'=ax+by, \\ y'=ax-by \end{cases}$($a,b$为常数).例如:当$a=1,b=1$时,$\varphi(-2,3)=(1,-5)$.
(1)当$a=1,b=1$时,$\varphi(0,1)=$
(2)若$\varphi(1,2)=(0,4)$,则$a=$
(3)如果组成数对$(x,y)$的两个非零数$x,y$满足二元一次方程$2x-y=0$,并且对任意数对$(x,y)$经过运算$\varphi$又得到数对$(x,y)$,求$a$和$b$的值.
(1)当$a=1,b=1$时,$\varphi(0,1)=$
$(1,-1)$
;(2)若$\varphi(1,2)=(0,4)$,则$a=$
2
,$b=$-1
;(3)如果组成数对$(x,y)$的两个非零数$x,y$满足二元一次方程$2x-y=0$,并且对任意数对$(x,y)$经过运算$\varphi$又得到数对$(x,y)$,求$a$和$b$的值.
答案
25. (1)$(1,-1)$
[解析]当$a=1,b=1$时,
$x'=1×0+1×1=1,y'=1×0-1×1=-1$.
故$\varphi(0,1)=(1,-1)$.
(2)2 -1
[解析]根据题意,得$\begin{cases} a+2b=0, \\ a-2b=4, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=2, \\ b=-1. \end{cases}$
(3)$\because$对任意数对$(x,y)$经过运算$\varphi$又得到数对$(x,y)$,
$\therefore \begin{cases} ax+by=x, \\ ax-by=y. \end{cases}$$\because 2x-y=0,x≠0,\therefore y=2x≠0$.
代入原方程组整理,得$\begin{cases} a+2b=1, \\ a-2b=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=\dfrac{3}{2}, \\ b=-\dfrac{1}{4}. \end{cases}$
[解析]当$a=1,b=1$时,
$x'=1×0+1×1=1,y'=1×0-1×1=-1$.
故$\varphi(0,1)=(1,-1)$.
(2)2 -1
[解析]根据题意,得$\begin{cases} a+2b=0, \\ a-2b=4, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=2, \\ b=-1. \end{cases}$
(3)$\because$对任意数对$(x,y)$经过运算$\varphi$又得到数对$(x,y)$,
$\therefore \begin{cases} ax+by=x, \\ ax-by=y. \end{cases}$$\because 2x-y=0,x≠0,\therefore y=2x≠0$.
代入原方程组整理,得$\begin{cases} a+2b=1, \\ a-2b=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=\dfrac{3}{2}, \\ b=-\dfrac{1}{4}. \end{cases}$
