10. 如图,在平行四边形ABCD中,以点C为位似中心,作平行四边形ABCD的位似平行四边形PECF,且与原图形的位似比为2：3,连结BP,DP,若平行四边形ABCD的面积为20,则△PBE与△PDF的面积之和为.

10.$\frac{40}{9}$ 【点拨】如图,连结AC,
∵平行四边形PECF与平行四边形ABCD是以点C为位似中心的位似图形,位似比为2:3,
∴A,P,C三点在同一条直线上,PF//AD,PE//AB,CF:CD=2:3.
∵平行四边形ABCD的面积为20,
∴△ABC和△ADC的面积都是10.
∵PF//AD,
∴△CFP∽△CDA.
∴$\frac{S_{△CFP}}{S_{△CDA}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$.
∴$S_{△CFP}=\frac{40}{9}$.易得CF:FD=2:1,
∴$S_{△PDF}=\frac{20}{9}$,同理可得$S_{△PBE}=\frac{20}{9}$,
∴△PBE与△PDF的面积之和为$\frac{40}{9}$.

11. 新视角规律探究题 如图,这是由位似的正三角形$A_1B_1C_1$,正三角形$A_2B_2C_2$,正三角形$A_3B_3C_3$,$···$,正三角形$A_nB_nC_n$组成的图形,其中$△ A_1B_1C_1$的边长为1,$O$是$B_1C_1$的中点,$A_2$是$OA_1$的中点,$A_3$是$OA_2$的中点,$···$,$A_n$是$OA_{n-1}$的中点,顶点$B_2$,$B_3$,$···$,$B_n$,$C_2$,$C_3$,$···$,$C_n$都在边$B_1C_1$上.
(1)试写出$△ A_{10}B_{10}C_{10}$和$△ A_7B_7C_7$的相似比和位似中心;
(2)求$△ A_nB_nC_n(n≥2)$的周长.

11.【解】(1)由题意易知正三角形$A_2B_2C_2$的边长为$\frac{1}{2}$,正三角形$A_3B_3C_3$的边长为$(\frac{1}{2})^2$,…,依此类推,正三角形$A_7B_7C_7$的边长为$(\frac{1}{2})^6$,正三角形$A_{10}B_{10}C_{10}$的边长为$(\frac{1}{2})^9$,
∴$△A_{10}B_{10}C_{10}$和$△A_7B_7C_7$的相似比=$\frac{(\frac{1}{2})^9}{(\frac{1}{2})^6}=\frac{1}{8}$.
∵它们各对应顶点的连线所在直线都经过点O,
∴它们的位似中心为点O.
(2)易知$△A_nB_nC_n(n≥2)$的边长为$(\frac{1}{2})^{n-1}$,
∴$△A_nB_nC_n(n≥2)$的周长为$\frac{3}{2^{n-1}}$.

12. 已知正三角形ABC的边长为$3+\sqrt{3}$.
(1)如图①,正方形EFPN的顶点E,F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形$E'F'P'N'$,且使正方形$E'F'P'N'$的面积最大(不要求写作法);
(2)求(1)中作出的正方形$E'F'P'N'$的边长;
(3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE,EF在边AB上,点P,N分别在边CB,CA上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由.

12.【解】(1)如图①,正方形$E'F'P'N'$即为所求.
(2)设正方形$E'F'P'N'$的边长为x.
∵△ABC为正三角形,
∴易得$AE'=BF'=\frac{\sqrt{3}}{3}x$.
∵$E'F'+AE'+BF'=AB$,
∴$x+\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}x=3+\sqrt{3}$.
∴$x=3\sqrt{3}-3$.
∴正方形$E'F'P'N'$的边长为$3\sqrt{3}-3$.
(3)这两个正方形面积和的最大值是$99-54\sqrt{3}$,最小值是$\frac{9}{2}$.
理由如下:如图②,连结NE,EP,PN,则∠NEP=90°.
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m,n(m≥n),它们的面积和为S,则$NE=\sqrt{2}m$,$PE=\sqrt{2}n$,
∴$PN^2=NE^2+PE^2=2m^2+2n^2=2(m^2+n^2)$.
∴$S=m^2+n^2=\frac{1}{2}PN^2$.
延长PH交ND于点G,则PG⊥ND.
在Rt△PGN中,$PN^2=PG^2+GN^2=(m+n)^2+(m-n)^2$.
易得$AD=\frac{\sqrt{3}}{3}m$,$BF=\frac{\sqrt{3}}{3}n$.
∵AD+DE+EF+BF=AB,
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}m+m+n+\frac{\sqrt{3}}{3}n=\sqrt{3}+3$,化简得m+n=3.
∴$S=\frac{1}{2}[(m+n)^2+(m-n)^2]=\frac{9}{2}+\frac{1}{2}(m-n)^2$.
①当$(m-n)^2=0$,即m=n时,S最小,为$\frac{9}{2}$.
②当$(m-n)^2$最大时,S最大,即当m最大且n最小时,S最大.
由(2)知,$m_{最大}=3\sqrt{3}-3$.
∵m+n=3,
∴$n_{最小}=3-(3\sqrt{3}-3)=6-3\sqrt{3}$.
∴$S_{最大}=\frac{1}{2}[9+(m_{最大}-n_{最小})^2]=\frac{1}{2}×[9+(3\sqrt{3}-3-6+3\sqrt{3})^2]=99-54\sqrt{3}$.
综上所述,这两个正方形面积和的最大值是$99-54\sqrt{3}$,最小值是$\frac{9}{2}$.