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1. 老师出示问题:解方程$x^2 -4=0$.四名同学给出了以下答案:甲:$x=2$;乙:$x_1=x_2=2$;丙:$x_1=x_2=-2$;丁:$x_1=2,x_2=-2$.下列判断正确的是（
A.甲正确
B.乙正确
C.丙正确
D.丁正确
D
）A.甲正确
B.乙正确
C.丙正确
D.丁正确
答案
D
2.若一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两根分别是$m-1$和$2m+3$，则$\frac{b}{a}$的值为（
A.16
B.$\frac{25}{9}$
C.25
D.$\frac{25}{9}$或25
B
）A.16
B.$\frac{25}{9}$
C.25
D.$\frac{25}{9}$或25
答案
B 【点拨】
∵一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两根分别是$m-1$和$2m+3$,
∴$m-1+2m+3=0$,解得$m=-\frac{2}{3}$，
∴$\frac{b}{a}=x^2=(m-1)^2=\frac{25}{9}$。
∵一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两根分别是$m-1$和$2m+3$,
∴$m-1+2m+3=0$,解得$m=-\frac{2}{3}$，
∴$\frac{b}{a}=x^2=(m-1)^2=\frac{25}{9}$。
3.解方程：
(1)$2x^2 -162=0$；
(2)$(x-1)(x+1)-8=0$。
(1)$2x^2 -162=0$；
(2)$(x-1)(x+1)-8=0$。
答案
【解】(1)$2x^2 -162=0,2x^2=162,x^2=81,x_1=9,x_2=-9$。
(2)$(x-1)(x+1)-8=0,(x-1)(x+1)=8,x^2-1=8,x^2=9,x_1=3,x_2=-3$。
(2)$(x-1)(x+1)-8=0,(x-1)(x+1)=8,x^2-1=8,x^2=9,x_1=3,x_2=-3$。
4. 已知一元二次方程$(x-2)^2=3$的两根为$a,b$，且$a＞b$，则$2a+b$的值为（
A.9
B.$-3$
C.$6+\sqrt{3}$
D.$-6+\sqrt{3}$
C
）A.9
B.$-3$
C.$6+\sqrt{3}$
D.$-6+\sqrt{3}$
答案
C 【点拨】$(x-2)^2=3,x-2=\sqrt{3}$或$x-2=-\sqrt{3}$，
∴$x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$。
∵$a＞b$,
∴$a=2+\sqrt{3},b=2-\sqrt{3}$,
∴$2a+b=4+2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=6+\sqrt{3}$。故选C。
∴$x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$。
∵$a＞b$,
∴$a=2+\sqrt{3},b=2-\sqrt{3}$,
∴$2a+b=4+2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=6+\sqrt{3}$。故选C。
5. 解方程：
(1)$16x^2 - 8x + 1 = 2$；
(2)$(2y - 1)^2 = (3y + 4)^2$。
(1)$16x^2 - 8x + 1 = 2$；
(2)$(2y - 1)^2 = (3y + 4)^2$。
答案
【解】(1)方程可化为$(4x-1)^2=2$，
∴$4x-1=\pm\sqrt{2}$,即$x_1=\frac{1+\sqrt{2}}{4},x_2=\frac{1-\sqrt{2}}{4}$。
(2)方程两边开平方得$2y-1=\pm(3y+4)$，
∴$2y-1=3y+4$ 或 $2y-1=-3y-4$。
∴$y_1=-5,y_2=-\frac{3}{5}$。
∴$4x-1=\pm\sqrt{2}$,即$x_1=\frac{1+\sqrt{2}}{4},x_2=\frac{1-\sqrt{2}}{4}$。
(2)方程两边开平方得$2y-1=\pm(3y+4)$，
∴$2y-1=3y+4$ 或 $2y-1=-3y-4$。
∴$y_1=-5,y_2=-\frac{3}{5}$。
6. 新趋势 学科内综合 若一元二次方程$3x^2=27$的两根为$x_1,x_2(x_1＜x_2)$，则点$P(x_1,x_2)$位于平面直角坐标系中的（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
B 【点拨】$3x^2=27,x^2=9,x=\pm3$。
∵$x_1＜x_2$,
∴$x_1=-3,x_2=3$,故$P(-3,3)$在第二象限。
∵$x_1＜x_2$,
∴$x_1=-3,x_2=3$,故$P(-3,3)$在第二象限。
7. 新考法 整体求值法 若$(a^2 + b^2 - 2)(a^2 + b^2) + 1 = 0$，则$a^2 + b^2$的值为（
A.$-2$
B.$5$
C.$2$
D.$1$
D
）A.$-2$
B.$5$
C.$2$
D.$1$
答案
D 【点拨】
∵$(a^2 + b^2 - 2)(a^2 + b^2) + 1 = 0$,
∴$(a^2 + b^2)^2 - 2(a^2 + b^2) + 1 = 0$。
∴$(a^2 + b^2 - 1)^2 = 0$。
∴$a^2 + b^2 = 1$。
∵$(a^2 + b^2 - 2)(a^2 + b^2) + 1 = 0$,
∴$(a^2 + b^2)^2 - 2(a^2 + b^2) + 1 = 0$。
∴$(a^2 + b^2 - 1)^2 = 0$。
∴$a^2 + b^2 = 1$。
8.若方程$(x-3)^2=1$的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为
10
。答案
10
9. ★★ 新考法 图象信息法 定义$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数.如$[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3$.函数$y=[x]$的部分图象如图
所示,则方程$[x]=\frac{1}{2}x^2$在$-2≤ x＜2$范围内的解为
所示,则方程$[x]=\frac{1}{2}x^2$在$-2≤ x＜2$范围内的解为$x=0或x=\sqrt{2}$
.答案
$x=0或x=\sqrt{2}$ 【点拨】当$1≤x＜2$时,$\frac{1}{2}x^2=1$,解得$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$(舍去);当$0≤x＜1$时,$\frac{1}{2}x^2=0$,
∴$x_1=x_2=0$;当$-2≤x＜0$时,$[x]＜0$,显然方程没有实数解.
∴方程$[x]=\frac{1}{2}x^2$在$-2≤x＜2$范围内的解为$x=0或x=\sqrt{2}$。
∴$x_1=x_2=0$;当$-2≤x＜0$时,$[x]＜0$,显然方程没有实数解.
∴方程$[x]=\frac{1}{2}x^2$在$-2≤x＜2$范围内的解为$x=0或x=\sqrt{2}$。
10. 对任意实数$a,b$,规定一种新运算“△”：$a△b=a^2 - b^2$.
(1)求$(x+2)△5=0$中$x$的值；
(2)已知直角三角形的两边长是方程$3△(x-8)=0$的两根,求该直角三角形的第三条边长.
(1)求$(x+2)△5=0$中$x$的值；
(2)已知直角三角形的两边长是方程$3△(x-8)=0$的两根,求该直角三角形的第三条边长.
答案
【解】(1)由题意,得$(x+2)△5=(x+2)^2 - 5^2=0$,即$(x+2)^2=25$.两边直接开平方,得$x+2=\pm5$,解得$x_1=3,x_2=-7$。
(2)由题意,得$3△(x-8)=3^2 - (x-8)^2=9-(x-8)^2$。解方程$9-(x-8)^2=0$,得$x_1=11,x_2=5$。
当11是该直角三角形的斜边长时,第三条边长为$\sqrt{11^2 - 5^2}=4\sqrt{6}$；
当11是该直角三角形的直角边长时,第三条边长为$\sqrt{11^2 + 5^2}=\sqrt{146}$。
综上所述,该直角三角形的第三条边长为$4\sqrt{6}$或$\sqrt{146}$。
(2)由题意,得$3△(x-8)=3^2 - (x-8)^2=9-(x-8)^2$。解方程$9-(x-8)^2=0$,得$x_1=11,x_2=5$。
当11是该直角三角形的斜边长时,第三条边长为$\sqrt{11^2 - 5^2}=4\sqrt{6}$；
当11是该直角三角形的直角边长时,第三条边长为$\sqrt{11^2 + 5^2}=\sqrt{146}$。
综上所述,该直角三角形的第三条边长为$4\sqrt{6}$或$\sqrt{146}$。
