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12. ★★ 关于$x$的方程$a(x+k)^2 + 2027 = 0$的解是$x_1=-3, x_2=2(a,k$均为常数$,a≠0).$
(1)关于$x$的方程$a(x+1+k)^2 + 2027 = 0$的根为
(2)关于$x$的方程$a(x -k +4)^2 +2027=0$的根为
(3)关于$x$的方程$a(2x +k -2)^2 +2027=0$的根为
(1)关于$x$的方程$a(x+1+k)^2 + 2027 = 0$的根为
$x_1=-4,x_2=1$
;(2)关于$x$的方程$a(x -k +4)^2 +2027=0$的根为
$x_1=-1,x_2=-6$
;(3)关于$x$的方程$a(2x +k -2)^2 +2027=0$的根为
$x_1=-\frac{1}{2},x_2=2$
.答案
12.(1)$x_1=-4,x_2=1$ (2)$x_1=-1,x_2=-6$ (3)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=2$ 【点拨】(1)$\because$方程$a(x+k)^2 + 2 027=0$的解是$x_1=-3,x_2=2$,$\therefore$在方程$a(x+1+k)^2 + 2 027=0$中,$x+1=-3$或$x+1=2$,解得$x_1=-4,x_2=1$.
(2)$\because$方程$a(x+k)^2 + 2 027=0$的解是$x_1=-3,x_2=2$,$\therefore$在方程$a(x-k+4)^2 + 2 027=0$中,$x+4=3$或$x+4=-2$,解得$x_1=-1,x_2=-6$.
(3)$\because$方程$a(x+k)^2 + 2 027=0$的解是$x_1=-3,x_2=2$,$\therefore$在方程$a(2x+k-2)^2 + 2 027=0$中,$2x-2=-3$或$2x-2=2$,解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=2$.
点规律 解决该类题目,应利用整体法换根,对比两个方程找对应相等即可求解.如方程$a(x+k)^2 + 2 027=0$中$x$与$a(x+1+k)^2 + 2 027=0$中的$(x+1)$值应相等,从而建立相等关系求解.
(2)$\because$方程$a(x+k)^2 + 2 027=0$的解是$x_1=-3,x_2=2$,$\therefore$在方程$a(x-k+4)^2 + 2 027=0$中,$x+4=3$或$x+4=-2$,解得$x_1=-1,x_2=-6$.
(3)$\because$方程$a(x+k)^2 + 2 027=0$的解是$x_1=-3,x_2=2$,$\therefore$在方程$a(2x+k-2)^2 + 2 027=0$中,$2x-2=-3$或$2x-2=2$,解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=2$.
点规律 解决该类题目,应利用整体法换根,对比两个方程找对应相等即可求解.如方程$a(x+k)^2 + 2 027=0$中$x$与$a(x+1+k)^2 + 2 027=0$中的$(x+1)$值应相等,从而建立相等关系求解.
13. 若两个不同的方程$x^2 + mx +1=0$和$x^2 +x +m=0$有公共根，则$(m-3)(m+3)+m(m-6)$的值是
11
。答案
13.11 【点拨】设方程$x^2 + mx +1=0$和$x^2 +x +m=0$的公共根为$t$,则$\begin{cases}t^2+mt+1=0,①\\t^2+t+m=0,②\end{cases}$①$-$②,得$(m-1)t=m-1$. 如果$m=1$,那么两个方程均为$x^2 +x +1=0$,不符合题意;如果$m≠1$,那么$t=1$,把$t=1$代入①,得$1+m+1=0$,解得$m=-2$.$\therefore (m-3)(m+3)+m(m-6)=11$.
14. 新考向知识情境化 如图，点O为数轴原点，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸在数轴上以C为直角顶点作$Rt△ ABC$，$BC=1$，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于D，E两点。莲莲说：“若D，E分别表示m和n，我发现$x=m$是一元二次方程$x^2 + bx -4=0$的一个根。”琮琮说：“$x=n$一定不是此方程的根。”
(1)写出m与n表示的数。
(2)求出b的值。
(3)你认为琮琮说得对吗？为什么？
(1)写出m与n表示的数。
(2)求出b的值。
(3)你认为琮琮说得对吗？为什么？
答案
14.【解】(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\because BC=1,AC=3-1=2$,$\therefore AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,$\therefore AE=AD=AB=\sqrt{5}$.
$\because OA=1$,$\therefore OE=AE-OA=\sqrt{5}-1$,$OD=AD+OA=\sqrt{5}+1$,
$\therefore$点$D$表示的数为$\sqrt{5}+1$,即$m=\sqrt{5}+1$,点$E$表示的数为$-\sqrt{5}+1$,即$n=-\sqrt{5}+1$.
(2)把$x=\sqrt{5}+1$代入方程$x^2 + bx -4=0$,得$(\sqrt{5}+1)^2+(\sqrt{5}+1)b-4=0$,解得$b=-2$.
(3)琮琮说得不对.理由如下:由(2)可知一元二次方程为$x^2-2x-4=0$.把$x=-\sqrt{5}+1$代入方程左边,得$(-\sqrt{5}+1)^2-2(-\sqrt{5}+1)-4=5-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-2-4=0$,$\therefore x=n$一定是此方程的根.
$\because OA=1$,$\therefore OE=AE-OA=\sqrt{5}-1$,$OD=AD+OA=\sqrt{5}+1$,
$\therefore$点$D$表示的数为$\sqrt{5}+1$,即$m=\sqrt{5}+1$,点$E$表示的数为$-\sqrt{5}+1$,即$n=-\sqrt{5}+1$.
(2)把$x=\sqrt{5}+1$代入方程$x^2 + bx -4=0$,得$(\sqrt{5}+1)^2+(\sqrt{5}+1)b-4=0$,解得$b=-2$.
(3)琮琮说得不对.理由如下:由(2)可知一元二次方程为$x^2-2x-4=0$.把$x=-\sqrt{5}+1$代入方程左边,得$(-\sqrt{5}+1)^2-2(-\sqrt{5}+1)-4=5-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-2-4=0$,$\therefore x=n$一定是此方程的根.
15. 广西竞赛 新考法·阅读类比法 阅读下列材料：
①关于$x$的方程$x^2 - 3x + 1 = 0(x≠0)$，
方程两边同时乘$\frac{1}{x}$得$x - 3 + \frac{1}{x} = 0$，即$x + \frac{1}{x} = 3$。
又∵$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2·x·\frac{1}{x} = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$，
∴$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 =7$。
②$A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$；$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$。
根据以上材料，解答下列问题：
(1)已知$x^2 -4x +1=0(x≠0)$，则$x^2 + \frac{1}{x^2} =$
(2)若关于$m$的一元二次方程$\sqrt{7}nm^2 - nm^2 -2=0(n≠0)$的一个根为2，求$n^3 + \frac{1}{n^3}$的值；
(3)关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx = c(ac≠0)$的一个实数根为2026，求方程$cx^2 + bx = a$一定有的一个实数根。
①关于$x$的方程$x^2 - 3x + 1 = 0(x≠0)$，
方程两边同时乘$\frac{1}{x}$得$x - 3 + \frac{1}{x} = 0$，即$x + \frac{1}{x} = 3$。
又∵$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2·x·\frac{1}{x} = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$，
∴$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 =7$。
②$A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$；$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$。
根据以上材料，解答下列问题：
(1)已知$x^2 -4x +1=0(x≠0)$，则$x^2 + \frac{1}{x^2} =$
14
，$x^4 + \frac{1}{x^4} =$194
；(2)若关于$m$的一元二次方程$\sqrt{7}nm^2 - nm^2 -2=0(n≠0)$的一个根为2，求$n^3 + \frac{1}{n^3}$的值；
(3)关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx = c(ac≠0)$的一个实数根为2026，求方程$cx^2 + bx = a$一定有的一个实数根。
答案
15.【解】(1)14 ;194
(2)$\because$关于$m$的一元二次方程$\sqrt{7}nm^2 - nm^2 -2=0(n≠0)$的一个根为2,
$\therefore 4\sqrt{7}n-2n^2-2=0$,方程两边同时乘$\frac{1}{n}$,得$4\sqrt{7}-2n-\frac{2}{n}=0$,即$n+\frac{1}{n}=2\sqrt{7}$,两边平方得$n^2+\frac{1}{n^2}+2=28$,$\therefore n^2+\frac{1}{n^2}=26$,由题中公式可得$n^3+\frac{1}{n^3}=(n+\frac{1}{n})(n^2-1+\frac{1}{n^2})=2\sqrt{7}×(26-1)=50\sqrt{7}$.
(3)$\because$关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx = c(ac≠0)$的一个实数根为2 026,
$\therefore 2\ 026^2a+2\ 026b=c$,方程两边同时乘$\frac{1}{2\ 026^2}$得$a+\frac{1}{2\ 026}b=\frac{1}{2\ 026^2}c$,
即$c(-\frac{1}{2\ 026})^2 + b(-\frac{1}{2\ 026})=a$,
则方程$cx^2 + bx = a$一定有一个实数根为$x=-\frac{1}{2\ 026}$.
(2)$\because$关于$m$的一元二次方程$\sqrt{7}nm^2 - nm^2 -2=0(n≠0)$的一个根为2,
$\therefore 4\sqrt{7}n-2n^2-2=0$,方程两边同时乘$\frac{1}{n}$,得$4\sqrt{7}-2n-\frac{2}{n}=0$,即$n+\frac{1}{n}=2\sqrt{7}$,两边平方得$n^2+\frac{1}{n^2}+2=28$,$\therefore n^2+\frac{1}{n^2}=26$,由题中公式可得$n^3+\frac{1}{n^3}=(n+\frac{1}{n})(n^2-1+\frac{1}{n^2})=2\sqrt{7}×(26-1)=50\sqrt{7}$.
(3)$\because$关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx = c(ac≠0)$的一个实数根为2 026,
$\therefore 2\ 026^2a+2\ 026b=c$,方程两边同时乘$\frac{1}{2\ 026^2}$得$a+\frac{1}{2\ 026}b=\frac{1}{2\ 026^2}c$,
即$c(-\frac{1}{2\ 026})^2 + b(-\frac{1}{2\ 026})=a$,
则方程$cx^2 + bx = a$一定有一个实数根为$x=-\frac{1}{2\ 026}$.
