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1. 用因式分解法解方程,下列过程正确的是 (
A.$(2x-3)(3x-4)=0$ 化为 $2x-3=0$ 或 $3x-4=0$
B.$(x+3)(x-1)=1$ 化为 $x+3=1$ 或 $x-1=1$
C.$(x-2)(x-3)=2×3$ 化为 $x-2=2$ 或 $x-3=3$
D.$x(x+2)=0$ 化为 $x+2=0$
A
)A.$(2x-3)(3x-4)=0$ 化为 $2x-3=0$ 或 $3x-4=0$
B.$(x+3)(x-1)=1$ 化为 $x+3=1$ 或 $x-1=1$
C.$(x-2)(x-3)=2×3$ 化为 $x-2=2$ 或 $x-3=3$
D.$x(x+2)=0$ 化为 $x+2=0$
答案
1.A
2.已知某一元二次方程的两根分别为$x_1=3,x_2=-4$,则这个方程可能为（
A.$(x-3)(x+4)=0$
B.$(x+3)(x-4)=0$
C.$(x+3)(x+4)=0$
D.$(x-3)(x-4)=0$
A
）A.$(x-3)(x+4)=0$
B.$(x+3)(x-4)=0$
C.$(x+3)(x+4)=0$
D.$(x-3)(x-4)=0$
答案
2.A
3. 一元二次方程$-x^2 +7x=0$的根是（
A.$x_1=0,x_2=7$
B.$x_1=1,x_2=7$
C.$x_1=0,x_2=-7$
D.$x_1=1,x_2=-7$
A
）A.$x_1=0,x_2=7$
B.$x_1=1,x_2=7$
C.$x_1=0,x_2=-7$
D.$x_1=1,x_2=-7$
答案
3.A
4.已知一元二次方程$(x+1)^2=3x+3$的两个根分别是点P的横坐标、纵坐标，则点P在 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第一象限或第三象限
D.第二象限或第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第一象限或第三象限
D.第二象限或第四象限
答案
4.D 【点拨】$(x+1)^2=3x+3$,$(x+1)^2=3(x+1)$,$(x+1)^2-3(x+1)=0$,$(x+1)(x+1-3)=0$,$(x+1)(x-2)=0$,$\therefore x+1=0$或$x-2=0$,$\therefore x_1=-1$,$x_2=2$.$\therefore$点$P$的坐标是$(-1,2)$或$(2,-1)$.$\therefore$点$P$在第二象限或第四象限.
5. 定义一种新运算“∞”：$a∞b=a^2+ab+b^2$，则方程$(x+2)∞x=1$的实数根是
$x_1=x_2=-1$
。答案
5.$x_1=x_2=-1$
6. 新考向 知识情境化 小明在与DeepSeek对话中输入如下的文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验证，DeepSeek给出的这个数应该是
2
。答案
6.2
7. 新考法·数形结合法 周口模拟 如图，数轴上点A代表的数为$3x+1$，点B代表的数为$x^2+2x$，已知$AB=5$，且点A在数轴的负半轴上，则x的值为
$-2$
。答案
7.$-2$ 【点拨】根据题意得$x^2+2x-(3x+1)=5$,整理得$x^2-x-6=0$,即$(x-3)(x+2)=0$,所以$x-3=0$或$x+2=0$,所以$x_1=3$,$x_2=-2$.因为点$A$在数轴的负半轴上,所以$3x+1＜0$,所以$x＜-\frac{1}{3}$,所以$x=-2$.
8. 解下列方程：
(1)$x(x-4)+5(x-4)=0$；
(2)$(y+1)^2=(2y-1)^2$；
(3)$x^2-(\sqrt{2}+\sqrt{3})x+\sqrt{6}=0$；
(4)$(2x+3)^2+6(2x+3)+9=0$。
(1)$x(x-4)+5(x-4)=0$；
(2)$(y+1)^2=(2y-1)^2$；
(3)$x^2-(\sqrt{2}+\sqrt{3})x+\sqrt{6}=0$；
(4)$(2x+3)^2+6(2x+3)+9=0$。
答案
8.【解】(1)$\because x(x-4)+5(x-4)=0$,$\therefore (x+5)(x-4)=0$.$\therefore x+5=0$或$x-4=0$,解得$x_1=-5$,$x_2=4$.
(2)$\because (y+1)^2=(2y-1)^2$,$\therefore (y+1)^2-(2y-1)^2=0$.
$\therefore (y+1+2y-1)(y+1-2y+1)=0$.
$\therefore y+1+2y-1=0$或$y+1-2y+1=0$,
解得$y_1=0$,$y_2=2$.
(3)原方程可化为$(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{3})=0$,
$\therefore x-\sqrt{2}=0$或$x-\sqrt{3}=0$,
解得$x_1=\sqrt{2}$,$x_2=\sqrt{3}$.
(4)原方程可化为$(2x+3+3)^2=0$,
即$(2x+6)^2=0$,$\therefore x_1=x_2=-3$.
(2)$\because (y+1)^2=(2y-1)^2$,$\therefore (y+1)^2-(2y-1)^2=0$.
$\therefore (y+1+2y-1)(y+1-2y+1)=0$.
$\therefore y+1+2y-1=0$或$y+1-2y+1=0$,
解得$y_1=0$,$y_2=2$.
(3)原方程可化为$(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{3})=0$,
$\therefore x-\sqrt{2}=0$或$x-\sqrt{3}=0$,
解得$x_1=\sqrt{2}$,$x_2=\sqrt{3}$.
(4)原方程可化为$(2x+3+3)^2=0$,
即$(2x+6)^2=0$,$\therefore x_1=x_2=-3$.
9.[武汉汉阳区期中]菱形ABCD的一条对角线长为5，边AB的长是方程$x^2 -5x +6=0$的一个根，则菱形ABCD的周长为（
A.8
B.11
C.12
D.12或8
C
）A.8
B.11
C.12
D.12或8
答案
9.C 【点拨】$x^2-5x+6=0$,$(x-3)(x-2)=0$,$\therefore x-3=0$或$x-2=0$,解得$x_1=3$,$x_2=2$.当$AB=2$时,$2+2＜5$,不能构成三角形,不符合题意,舍去;当$AB=3$时,$3+3＞5$,符合题意,$\therefore$菱形$ABCD$的周长为$3×4=12$.
10. 新考法 整体求值法 已知实数$x$满足$(x^2 - 2x + 1)^2 + 2(x^2 - 2x + 1) - 3 = 0$，那么$x$的值为（
A.$-3$或1
B.1
C.2
D.0或2
D
）A.$-3$或1
B.1
C.2
D.0或2
答案
10.D 【点拨】设$x^2-2x+1=a$.$\because (x^2-2x+1)^2+2(x^2-2x+1)-3=0$,$\therefore a^2+2a-3=0$,解得$a=-3$或$1$.当$a=-3$时,$x^2-2x+1=-3$,即$(x-1)^2=-3$,此方程无解;当$a=1$时,$x^2-2x+1=1$,此时方程有解.解得$x_1=0$,$x_2=2$.
11. 已知一元二次方程$(a+1)x^2 - ax + a^2 - a - 2 = 0$的一个根与方程$(a+1)x^2 + ax - a^2 + a + 2 = 0$的一个根互为相反数，那么$(a+1)x^2 + ax - a^2 + a + 2 = 0$的根是（
A.$0,-\frac{2}{3}$
B.$0,\frac{2}{3}$
C.$-1,2$
D.$1,-2$
A
）A.$0,-\frac{2}{3}$
B.$0,\frac{2}{3}$
C.$-1,2$
D.$1,-2$
答案
11.A 【点拨】设$x_0$为方程$(a+1)x^2-ax+a^2-a-2=0$的一个根,则$-x_0$为方程$(a+1)x^2+ax-a^2+a+2=0$的一个根,$\therefore (a+1)x_0^2-ax_0+a^2-a-2=0$,① $(a+1)x_0^2-ax_0-a^2+a+2=0$,② $\therefore$①$-$②,得$2a^2-2a-4=0$,即$a^2-a-2=0$,解得$a=2$或$-1$.又$\because a+1≠0$,$\therefore a≠-1$,$\therefore a=2$.将$a=2$代入方程$(a+1)x^2+ax-a^2+a+2=0$得$3x^2+2x=0$,解得$x=0$或$-\frac{2}{3}$.故选A.
12. 如果$x=5$是关于$x$的一元二次方程$(x-m)(x-4+m)=n$的一个根，那么关于$x$的一元二次方程$(x+m-1)(x+3-m)=n$的解为（
A.$x_1=-4,x_2=2$
B.$x_1=-2,x_2=4$
C.$x_1=-1,x_2=3$
D.$x_1=-3,x_2=1$
A
）A.$x_1=-4,x_2=2$
B.$x_1=-2,x_2=4$
C.$x_1=-1,x_2=3$
D.$x_1=-3,x_2=1$
答案
12.A 【点拨】$\because x=5$是关于$x$的方程$(x-m)·(x-4+m)=n$的一个根,$\therefore (5-m)(5-4+m)=n$,$\therefore (5-m)(1+m)=(-5+m)(-1-m)=n$.$\because (x+m-1)(x+3-m)=n$,$\therefore x+3=5$,$x-1=1$或$x-1=-5$,$x+3=-1$,解得$x=2$或$x=-4$.故选A.
