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13. 镇江期中 新考向·数学文化 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载. 如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图②的方式放置在最大的正方形内.若图②中阴影部分的面积为2，且AB+AC=8，则下列数值中可为BC长的是 （
A.8
B.6
C.$\frac{25}{4}$
D.$\frac{13}{2}$
B
）A.8
B.6
C.$\frac{25}{4}$
D.$\frac{13}{2}$
答案
13.B 【点拨】设$AB=c$,$AC=b$,$BC=a$,则$b^2+c^2=a^2$.$\because$阴影部分的面积为$2$,$\therefore (a-c)(a-b)=2$,$\therefore a^2-a(b+c)+bc=2$.$\because AB+AC=8$,$\therefore a＜8$,$b+c=8$.$\therefore a^2-8a+bc=2$,$(b+c)^2=64$.$\therefore b^2+2bc+c^2=64$.$\therefore bc=32-\frac{1}{2}a^2$.$\therefore a^2-8a+32-\frac{1}{2}a^2=2$.$\therefore a^2-16a+60=0$.$\therefore a_1=6$,$a_2=10$(舍去).故选B.
14. 如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正三角形和一个正方形，其中正三角形的边长为$(x^2 +15)\ \mathrm{cm}$，正方形的边长为$(x^2 +x)\ \mathrm{cm}$（其中$x＞0$），则这两段铁丝的总长为
$240\ \mathrm{cm}$
。答案
14.$240\ \mathrm{cm}$ 【点拨】根据题意得$(x^2+x)×4=(x^2+15)×3$,整理得$x^2+4x-45=0$,解得$x_1=-9$(不合题意,舍去),$x_2=5$,所以铁丝的总长是$(x^2+x)×4+(x^2+15)×3=(25+5)×4+(25+15)×3=120+120=240(\mathrm{cm})$.
15. 已知 $ x^4 -5x^3 +8x^2 -5x +1=0 $，则 $ x+\frac{1}{x}= $
$2$或$3$
答案
15.$2$或$3$ 【点拨】由题意知$x≠0$,设$x+\frac{1}{x}=k$,则$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=k^2-2$.$\because x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$,$\therefore \frac{x^4-5x^3+8x^2-5x+1}{x^2}=0$.$\therefore x^2-5x+8-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0$.$\therefore x^2+\frac{1}{x^2}-5(x+\frac{1}{x})+8=0$.$\therefore k^2-2-5k+8=0$,整理得$k^2-5k+6=0$,解得$k_1=2$,$k_2=3$.当$k=2$,即$x+\frac{1}{x}=2$时,去分母整理,得$x^2-2x+1=0$,此方程有解;当$k=3$,即$x+\frac{1}{x}=3$时,去分母整理,得$x^2-3x+1=0$,此方程有解.综上所述,$x+\frac{1}{x}=2$或$3$.
16. 新考法分类讨论法 对于两个不同的实数$p,q$，我们用符号$\max\{p,q\}$表示$p,q$两数中较大的数，如$\max\{1,2\}=2$，若$\max\{(x-1)^2,x^2+6x\}=16$，则$x=$
$-3$或$2$
。答案
16.$-3$或$2$ 【点拨】①当$(x-1)^2＞x^2+6x$时,$(x-1)^2=16$,解得$x_1=5$,$x_2=-3$.当$x=5$时,$x^2+6x=5^2+6×5=55$.$\because 16＜55$,$\therefore x=5$不符合题意;当$x=-3$时,$x^2+6x=(-3)^2+6×(-3)=-9$.$\because 16＞-9$,$\therefore x=-3$符合题意.②当$(x-1)^2＜x^2+6x$时,$x^2+6x=16$,即$x^2+6x-16=0$,$(x+8)(x-2)=0$,解得$x_1=-8$,$x_2=2$.当$x=-8$时,$(x-1)^2=(-8-1)^2=81$.$\because 81＞16$,$\therefore x=-8$不符合题意;当$x=2$时,$(x-1)^2=(2-1)^2=1$.$\because 1＜16$,$\therefore x=2$符合题意.综上,$x=-3$或$x=2$.
17. 新考法 归纳法 观察下列一元二次方程，并回答问题.
第1个方程:$x^2 + x = 0$,
第2个方程:$x^2 -1 = 0$,
第3个方程:$x^2 -x -2 = 0$,
第4个方程:$x^2 -2x -3 = 0,···$.
(1)第2 026个方程是
(2)直接写出第n个方程;
(3)说出这列一元二次方程的解的一个共同特点.
第1个方程:$x^2 + x = 0$,
第2个方程:$x^2 -1 = 0$,
第3个方程:$x^2 -x -2 = 0$,
第4个方程:$x^2 -2x -3 = 0,···$.
(1)第2 026个方程是
$x^2-2024x-2025=0$
;(2)直接写出第n个方程;
(3)说出这列一元二次方程的解的一个共同特点.
答案
17.【解】(1)$x^2-2024x-2025=0$
(2)第$n$个方程是$x^2-(n-2)x-(n-1)=0$.
(3)由(2)知,第$n$个方程是$x^2-(n-2)x-(n-1)=0$,因式分解得$(x+1)[x-(n-1)]=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=n-1$,所以这列一元二次方程中均有一个根为$-1$.
(2)第$n$个方程是$x^2-(n-2)x-(n-1)=0$.
(3)由(2)知,第$n$个方程是$x^2-(n-2)x-(n-1)=0$,因式分解得$(x+1)[x-(n-1)]=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=n-1$,所以这列一元二次方程中均有一个根为$-1$.
18. 新视角 新定义题 定义:若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程互为“同伴方程”.例如$x^2=4$和$(x-2)(x+3)=0$有且只有一个相同的实数根$x=2$,故这两个方程互为“同伴方程”.
(1)根据所给定义,下列方程中互为“同伴方程”的是
①$(x-1)^2=9$;
②$x^2+4x+4=0$;
③$x^2+2x-8=0$.
(2)关于$x$的一元二次方程$x^2-2x=0$与$x^2+x+m-1=0$互为“同伴方程”,求$m$的值;
(3)若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$同时满足$a-b+c=0$和$9a+3b+c=0$,且与$(x-n)(x+3)=0$互为“同伴方程”,求$n$的值.
(1)根据所给定义,下列方程中互为“同伴方程”的是
①②
;(填序号)①$(x-1)^2=9$;
②$x^2+4x+4=0$;
③$x^2+2x-8=0$.
(2)关于$x$的一元二次方程$x^2-2x=0$与$x^2+x+m-1=0$互为“同伴方程”,求$m$的值;
(3)若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$同时满足$a-b+c=0$和$9a+3b+c=0$,且与$(x-n)(x+3)=0$互为“同伴方程”,求$n$的值.
答案
18.【解】(1)①②
(2)一元二次方程$x^2-2x=0$的解为$x_1=0$,$x_2=2$.
当相同的根是$x=0$时,$m-1=0$,解得$m=1$;
当相同的根是$x=2$时,$4+2+m-1=0$,解得$m=-5$.
综上,$m$的值为$1$或$-5$.
(3)$\because$关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$同时满足$a-b+c=0$和$9a+3b+c=0$,
$\therefore$关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根是$x_1=-1$,$x_2=3$.
$\because (x-n)(x+3)=0$的两个根是$x_1=n$,$x_2=-3$,关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$与$(x-n)(x+3)=0$互为“同伴方程”,$\therefore n=-1$或$3$.
(2)一元二次方程$x^2-2x=0$的解为$x_1=0$,$x_2=2$.
当相同的根是$x=0$时,$m-1=0$,解得$m=1$;
当相同的根是$x=2$时,$4+2+m-1=0$,解得$m=-5$.
综上,$m$的值为$1$或$-5$.
(3)$\because$关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$同时满足$a-b+c=0$和$9a+3b+c=0$,
$\therefore$关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根是$x_1=-1$,$x_2=3$.
$\because (x-n)(x+3)=0$的两个根是$x_1=n$,$x_2=-3$,关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$与$(x-n)(x+3)=0$互为“同伴方程”,$\therefore n=-1$或$3$.
