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例1 (1) 如果函数 $ y = kx^{k^2 - 3} $ 的图象是位于第二、四象限内的双曲线，那么 $ k $ 的值是
(2) 若反比例函数 $ y = (m - 1)x^{3 - m^2} $ 的图象在它所在的每一个象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，则 $ m $ 的值是
$-\sqrt{2}$
.(2) 若反比例函数 $ y = (m - 1)x^{3 - m^2} $ 的图象在它所在的每一个象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，则 $ m $ 的值是
$-2$
.答案
(1) $-\sqrt{2}$ (2) $-2$
解析
【分析】
这两道题均考查反比例函数的定义与性质，解题思路分两步：第一步，根据反比例函数的形式特征（$y=kx^{-1}$，$k≠0$），令$x$的指数等于$-1$，求解参数的初步取值；第二步，结合图象所在象限、增减性对应的系数正负要求，筛选出符合条件的参数值，排除不符合的解即可。
【解析】
(1) 已知函数$y = kx^{k^2 - 3}$是位于第二、四象限的双曲线，说明该函数是反比例函数，且比例系数小于0：
① 由反比例函数定义得：$k^2 - 3 = -1$，且$k≠0$
解方程$k^2 - 3 = -1$，得$k^2=2$，即$k=\pm\sqrt{2}$
② 由图象在第二、四象限得：$k＜0$，故舍去$k=\sqrt{2}$，得$k=-\sqrt{2}$
(2) 已知$y = (m - 1)x^{3 - m^2}$是反比例函数，且每个象限内$y$随$x$增大而增大：
① 由反比例函数定义得：$3 - m^2 = -1$，且$m-1≠0$
解方程$3 - m^2 = -1$，得$m^2=4$，即$m=\pm2$
② 由每个象限内$y$随$x$增大而增大得：比例系数$m-1＜0$，即$m＜1$，故舍去$m=2$，得$m=-2$
【答案】
(1) $-\sqrt{2}$；(2) $-2$
【知识点】
1. 反比例函数的定义；2. 反比例函数的图象与性质
【点评】
此类题是反比例函数的基础常考题，解题时需注意不要忽略反比例函数的定义限制和系数正负的判定，两步筛选即可得到正确结果，避免仅求解指数方程就直接得出答案的错误。
【难度系数】
0.7
这两道题均考查反比例函数的定义与性质，解题思路分两步：第一步，根据反比例函数的形式特征（$y=kx^{-1}$，$k≠0$），令$x$的指数等于$-1$，求解参数的初步取值；第二步，结合图象所在象限、增减性对应的系数正负要求，筛选出符合条件的参数值，排除不符合的解即可。
【解析】
(1) 已知函数$y = kx^{k^2 - 3}$是位于第二、四象限的双曲线，说明该函数是反比例函数，且比例系数小于0：
① 由反比例函数定义得：$k^2 - 3 = -1$，且$k≠0$
解方程$k^2 - 3 = -1$，得$k^2=2$，即$k=\pm\sqrt{2}$
② 由图象在第二、四象限得：$k＜0$，故舍去$k=\sqrt{2}$，得$k=-\sqrt{2}$
(2) 已知$y = (m - 1)x^{3 - m^2}$是反比例函数，且每个象限内$y$随$x$增大而增大：
① 由反比例函数定义得：$3 - m^2 = -1$，且$m-1≠0$
解方程$3 - m^2 = -1$，得$m^2=4$，即$m=\pm2$
② 由每个象限内$y$随$x$增大而增大得：比例系数$m-1＜0$，即$m＜1$，故舍去$m=2$，得$m=-2$
【答案】
(1) $-\sqrt{2}$；(2) $-2$
【知识点】
1. 反比例函数的定义；2. 反比例函数的图象与性质
【点评】
此类题是反比例函数的基础常考题，解题时需注意不要忽略反比例函数的定义限制和系数正负的判定，两步筛选即可得到正确结果，避免仅求解指数方程就直接得出答案的错误。
【难度系数】
0.7
例2 已知点$(3,1)$在反比例函数$y=\frac{m^2 - m}{x}$的图象上，则下列各点中在该反比例函数的图象上的是（
A.$(-1,3)$
B.$(1,\frac{1}{3})$
C.$(\frac{1}{3},-9)$
D.$(6,\frac{1}{2})$
D
）A.$(-1,3)$
B.$(1,\frac{1}{3})$
C.$(\frac{1}{3},-9)$
D.$(6,\frac{1}{2})$
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个点在反比例函数图象上，首先需先求出反比例函数的比例系数k。根据反比例函数图象上的点的坐标特征：若点在$y=\frac{k}{x}$的图象上，则点的横、纵坐标的乘积等于k。因此第一步先将已知点$(3,1)$代入函数式求出k，再分别计算各选项中点的横、纵坐标乘积，等于k的点就在该函数图象上。
【解析】
∵点$(3,1)$在反比例函数$y=\frac{m^2 - m}{x}$的图象上
∴将$x=3$，$y=1$代入函数式，得：
$1=\frac{m^2 - m}{3}$
解得$k=m^2 - m=3×1=3$，即该反比例函数中任意一点的横、纵坐标乘积为3。
逐一验证选项：
A选项：$-1×3=-3≠3$，不在图象上；
B选项：$1×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}≠3$，不在图象上；
C选项：$\frac{1}{3}×(-9)=-3≠3$，不在图象上；
D选项：$6×\frac{1}{2}=3$，符合要求，在图象上。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的特征；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，核心考查反比例函数$y=\frac{k}{x}$的本质特征：图象上所有点的横纵坐标乘积恒等于比例系数k，熟练掌握这一性质就能快速解题，计算时注意符号即可。
【难度系数】
0.8
要判断哪个点在反比例函数图象上，首先需先求出反比例函数的比例系数k。根据反比例函数图象上的点的坐标特征：若点在$y=\frac{k}{x}$的图象上，则点的横、纵坐标的乘积等于k。因此第一步先将已知点$(3,1)$代入函数式求出k，再分别计算各选项中点的横、纵坐标乘积，等于k的点就在该函数图象上。
【解析】
∵点$(3,1)$在反比例函数$y=\frac{m^2 - m}{x}$的图象上
∴将$x=3$，$y=1$代入函数式，得：
$1=\frac{m^2 - m}{3}$
解得$k=m^2 - m=3×1=3$，即该反比例函数中任意一点的横、纵坐标乘积为3。
逐一验证选项：
A选项：$-1×3=-3≠3$，不在图象上；
B选项：$1×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}≠3$，不在图象上；
C选项：$\frac{1}{3}×(-9)=-3≠3$，不在图象上；
D选项：$6×\frac{1}{2}=3$，符合要求，在图象上。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的特征；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，核心考查反比例函数$y=\frac{k}{x}$的本质特征：图象上所有点的横纵坐标乘积恒等于比例系数k，熟练掌握这一性质就能快速解题，计算时注意符号即可。
【难度系数】
0.8
1. 当$k＜0,x＞0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的图象与k的符号的关系，先确定k＜0时反比例函数图象的整体分布；再结合题目给出的x＞0的条件，计算对应的y值的符号，最后根据各象限内点的坐标符号特征，即可确定图象所在的象限。
【解析】
1. 根据反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＜0$时，函数图象的两支分别位于第二、第四象限；
2. 已知$x＞0$，结合$k＜0$，可得$y=\frac{k}{x}＜0$，即此时图象上点的横坐标为正、纵坐标为负；
3. 根据象限的坐标特征：横坐标为正、纵坐标为负的点位于第四象限，因此此时反比例函数的图象在第四象限。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象性质
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题时需注意不要仅根据k的符号直接判断，要结合自变量的取值范围进一步筛选对应的象限，避免因漏看条件出现错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数的图象与k的符号的关系，先确定k＜0时反比例函数图象的整体分布；再结合题目给出的x＞0的条件，计算对应的y值的符号，最后根据各象限内点的坐标符号特征，即可确定图象所在的象限。
【解析】
1. 根据反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＜0$时，函数图象的两支分别位于第二、第四象限；
2. 已知$x＞0$，结合$k＜0$，可得$y=\frac{k}{x}＜0$，即此时图象上点的横坐标为正、纵坐标为负；
3. 根据象限的坐标特征：横坐标为正、纵坐标为负的点位于第四象限，因此此时反比例函数的图象在第四象限。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象性质
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题时需注意不要仅根据k的符号直接判断，要结合自变量的取值范围进一步筛选对应的象限，避免因漏看条件出现错误。
【难度系数】
0.8
2. 若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(-3,4)$，则其图象在 （
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
C
）A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确解题逻辑：反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象所在象限由系数$k$的符号决定，因此首先需要利用函数图象经过的已知点求出$k$的值，再根据$k$的正负判断图象所在象限即可。
【解析】
第一步，将点$(-3,4)$代入反比例函数表达式$y=\frac{k}{x}$，由于函数图象上的点的坐标满足函数解析式，代入得：
$4=\frac{k}{-3}$
解得$k=4×(-3)=-12$。
第二步，根据反比例函数的图象性质：当$k＞0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当$k＜0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。
本题中$k=-12＜0$，因此其图象在第二、四象限。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 待定系数法求k值
2. 反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，核心考查对反比例函数性质的掌握，解题的关键是先通过图象上的已知点求出$k$的符号，再对应判断图象所在象限。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确解题逻辑：反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象所在象限由系数$k$的符号决定，因此首先需要利用函数图象经过的已知点求出$k$的值，再根据$k$的正负判断图象所在象限即可。
【解析】
第一步，将点$(-3,4)$代入反比例函数表达式$y=\frac{k}{x}$，由于函数图象上的点的坐标满足函数解析式，代入得：
$4=\frac{k}{-3}$
解得$k=4×(-3)=-12$。
第二步，根据反比例函数的图象性质：当$k＞0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当$k＜0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。
本题中$k=-12＜0$，因此其图象在第二、四象限。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 待定系数法求k值
2. 反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，核心考查对反比例函数性质的掌握，解题的关键是先通过图象上的已知点求出$k$的符号，再对应判断图象所在象限。
【难度系数】
0.9
3. 若一次函数$y=k_1x$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象在同一平面直角坐标系中没有交点，则$k_1$与$k_2$的关系一定是（
A.同号
B.异号
C.互为倒数
D.互为相反数
B
）A.同号
B.异号
C.互为倒数
D.互为相反数
答案
B
解析
【分析】
解题思路可以从两个角度切入：①从两类函数的图象性质入手：先分别明确正比例函数、反比例函数的图象所在象限和系数符号的关系，若两个图象无交点，说明二者所在象限完全不同，即可推导$k_1$和$k_2$的符号关系；②从函数交点的判定方法入手：联立两个函数的解析式，转化为关于x的方程，若图象无交点则方程无实根，结合平方的非负性推导$k_1$和$k_2$的关系。
【解析】
方法一：利用图象性质判断
正比例函数$y=k_1x$的图象是过原点的直线：当$k_1＞0$时，图象经过第一、三象限；当$k_1＜0$时，图象经过第二、四象限。
反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象是双曲线：当$k_2＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k_2＜0$时，图象位于第二、四象限。
若两个函数图象没有交点，说明二者的图象不在相同的象限，因此$k_1$和$k_2$的符号一定相反，即异号。
方法二：联立方程判断
联立两个函数的解析式得：
$\begin{cases}y=k_1x \\ y=\frac{k_2}{x} \end{cases}$
消去$y$可得$k_1x=\frac{k_2}{x}$，由于反比例函数中$x≠0$，两边同乘$x$整理得$k_1x^2=k_2$，即$x^2=\frac{k_2}{k_1}$。
若两个图象无交点，说明该方程无实数解，结合$x^2≥0$的性质，可得$\frac{k_2}{k_1}＜0$，即$k_1$和$k_2$异号。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数图象性质；反比例函数图象性质；函数交点判定
【点评】
本题是反比例函数与正比例函数结合的基础题型，既可以通过分析图象所在象限快速判断，也可以通过联立方程转化为方程有无实根的问题求解，核心是掌握函数图象与系数符号的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题思路可以从两个角度切入：①从两类函数的图象性质入手：先分别明确正比例函数、反比例函数的图象所在象限和系数符号的关系，若两个图象无交点，说明二者所在象限完全不同，即可推导$k_1$和$k_2$的符号关系；②从函数交点的判定方法入手：联立两个函数的解析式，转化为关于x的方程，若图象无交点则方程无实根，结合平方的非负性推导$k_1$和$k_2$的关系。
【解析】
方法一：利用图象性质判断
正比例函数$y=k_1x$的图象是过原点的直线：当$k_1＞0$时，图象经过第一、三象限；当$k_1＜0$时，图象经过第二、四象限。
反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象是双曲线：当$k_2＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k_2＜0$时，图象位于第二、四象限。
若两个函数图象没有交点，说明二者的图象不在相同的象限，因此$k_1$和$k_2$的符号一定相反，即异号。
方法二：联立方程判断
联立两个函数的解析式得：
$\begin{cases}y=k_1x \\ y=\frac{k_2}{x} \end{cases}$
消去$y$可得$k_1x=\frac{k_2}{x}$，由于反比例函数中$x≠0$，两边同乘$x$整理得$k_1x^2=k_2$，即$x^2=\frac{k_2}{k_1}$。
若两个图象无交点，说明该方程无实数解，结合$x^2≥0$的性质，可得$\frac{k_2}{k_1}＜0$，即$k_1$和$k_2$异号。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数图象性质；反比例函数图象性质；函数交点判定
【点评】
本题是反比例函数与正比例函数结合的基础题型，既可以通过分析图象所在象限快速判断，也可以通过联立方程转化为方程有无实根的问题求解，核心是掌握函数图象与系数符号的对应关系。
【难度系数】
0.8
4. 当$x＜0$时，函数$y=x$和$y=-\dfrac{1}{x}$在同一平面直角坐标系中的图象大致是 （
A
）答案
A
解析
【分析】
要判断两个函数在$x＜0$时的图象，我们可以分别分析两个函数的图象性质，再结合$x＜0$的取值范围判断对应图象的所在象限和特征，最后逐一排除不符合的选项即可。
首先分析正比例函数$y=x$的性质：正比例函数的图象是过原点的直线，当比例系数大于0时，图象过一、三象限，$x＜0$时图象位于第三象限，$y$随$x$增大而增大，是第三象限内过原点、从左下向右上延伸的射线。
再分析反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$的性质：反比例函数的图象是双曲线，当比例系数小于0时，图象两支分别在第二、四象限，$x＜0$时对应的$y$值为正，因此图象位于第二象限。
最后结合两个函数的图象特征排除错误选项。
【解析】
1. 分析正比例函数$y=x$：
$y=x$的比例系数$k=1＞0$，图象过原点，整体经过第一、三象限；当$x＜0$时，图象位于第三象限，是从左下向右上延伸的射线。据此可排除B、C选项，这两个选项中$x＜0$时的直线位于第二象限，不符合$y=x$的图象特征。
2. 分析反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$：
$y=-\dfrac{1}{x}$的比例系数$k=-1＜0$，图象为双曲线，两支分别位于第二、四象限；当$x＜0$时，$y=-\dfrac{1}{x}＞0$，因此$x＜0$时图象位于第二象限。据此可排除D选项，D选项中$x＜0$时的反比例函数图象位于第三象限，不符合要求。
综上，只有A选项符合两个函数的图象特征。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象识别的基础题，解题核心是掌握正比例函数、反比例函数的图象和比例系数的关系，结合自变量的取值范围判断图象所在象限，即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断两个函数在$x＜0$时的图象，我们可以分别分析两个函数的图象性质，再结合$x＜0$的取值范围判断对应图象的所在象限和特征，最后逐一排除不符合的选项即可。
首先分析正比例函数$y=x$的性质：正比例函数的图象是过原点的直线，当比例系数大于0时，图象过一、三象限，$x＜0$时图象位于第三象限，$y$随$x$增大而增大，是第三象限内过原点、从左下向右上延伸的射线。
再分析反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$的性质：反比例函数的图象是双曲线，当比例系数小于0时，图象两支分别在第二、四象限，$x＜0$时对应的$y$值为正，因此图象位于第二象限。
最后结合两个函数的图象特征排除错误选项。
【解析】
1. 分析正比例函数$y=x$：
$y=x$的比例系数$k=1＞0$，图象过原点，整体经过第一、三象限；当$x＜0$时，图象位于第三象限，是从左下向右上延伸的射线。据此可排除B、C选项，这两个选项中$x＜0$时的直线位于第二象限，不符合$y=x$的图象特征。
2. 分析反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$：
$y=-\dfrac{1}{x}$的比例系数$k=-1＜0$，图象为双曲线，两支分别位于第二、四象限；当$x＜0$时，$y=-\dfrac{1}{x}＞0$，因此$x＜0$时图象位于第二象限。据此可排除D选项，D选项中$x＜0$时的反比例函数图象位于第三象限，不符合要求。
综上，只有A选项符合两个函数的图象特征。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象识别的基础题，解题核心是掌握正比例函数、反比例函数的图象和比例系数的关系，结合自变量的取值范围判断图象所在象限，即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
