登录
2. 如图是某蓄水池的横截面示意图，如果以固定的流量把蓄水池蓄满，下面的图象能大致表示水的深度h和注水时间t之间关系的是（
h
h/m
O
t/min
A
h/m
O
t/min
B
h/m
O
t/min
C
h/m
O
t/min
D
C
）h
h/m
O
t/min
A
h/m
O
t/min
B
h/m
O
t/min
C
h/m
O
t/min
D
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确题意：本题是向空蓄水池匀速注水，要判断水深h和注水时间t的关系。第一步先判断h的变化趋势：注水过程中水深随时间增加而变大，可直接排除水深下降的选项；第二步结合蓄水池的形状分析高度变化的快慢：蓄水池下部分横截面积小、上部分横截面积大，固定流量注水时，横截面积越小，相同时间内水深上升越快，对应图象的斜率越大，由此可判断两段图象的斜率变化，最终选出正确选项。
【解析】
1. 先判断变化趋势：向空蓄水池中注水，水深h随注水时间t的增大而增大，选项A、D中h随t增大而减小，是放水的情况，不符合题意，排除A、D；
2. 分析容器结构对高度变化的影响：观察蓄水池横截面可知，蓄水池下方部分横截面积较小，上方部分横截面积较大。已知注水流量固定，即单位时间注入水的体积相同，根据公式$ V = S· \Delta h $（$ V $为注入水的体积，$ S $为容器横截面积，$ \Delta h $为上升高度），可得$ \Delta h = \frac{V}{S} $：
初始注水时，水先进入横截面积小的下方部分，相同时间内水深上升更快，对应h-t图象的斜率更大，图象更陡；
下方部分注满后，水进入横截面积大的上方部分，相同时间内水深上升更慢，对应h-t图象的斜率更小，图象更平缓，直到水池蓄满后h保持不变。
符合上述规律的只有选项C。
【答案】
C
【知识点】
函数图象识别，一次函数的实际应用，体积与高度的关系
【点评】
本题是函数图象与实际生活结合的典型题型，解题核心是建立容器横截面积、注水速度和图象斜率之间的对应关系，需要学生具备一定的读图能力和结合实际分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题意：本题是向空蓄水池匀速注水，要判断水深h和注水时间t的关系。第一步先判断h的变化趋势：注水过程中水深随时间增加而变大，可直接排除水深下降的选项；第二步结合蓄水池的形状分析高度变化的快慢：蓄水池下部分横截面积小、上部分横截面积大，固定流量注水时，横截面积越小，相同时间内水深上升越快，对应图象的斜率越大，由此可判断两段图象的斜率变化，最终选出正确选项。
【解析】
1. 先判断变化趋势：向空蓄水池中注水，水深h随注水时间t的增大而增大，选项A、D中h随t增大而减小，是放水的情况，不符合题意，排除A、D；
2. 分析容器结构对高度变化的影响：观察蓄水池横截面可知，蓄水池下方部分横截面积较小，上方部分横截面积较大。已知注水流量固定，即单位时间注入水的体积相同，根据公式$ V = S· \Delta h $（$ V $为注入水的体积，$ S $为容器横截面积，$ \Delta h $为上升高度），可得$ \Delta h = \frac{V}{S} $：
初始注水时，水先进入横截面积小的下方部分，相同时间内水深上升更快，对应h-t图象的斜率更大，图象更陡；
下方部分注满后，水进入横截面积大的上方部分，相同时间内水深上升更慢，对应h-t图象的斜率更小，图象更平缓，直到水池蓄满后h保持不变。
符合上述规律的只有选项C。
【答案】
C
【知识点】
函数图象识别，一次函数的实际应用，体积与高度的关系
【点评】
本题是函数图象与实际生活结合的典型题型，解题核心是建立容器横截面积、注水速度和图象斜率之间的对应关系，需要学生具备一定的读图能力和结合实际分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
3. 某种型号汽车油箱容量为 40 L,每行驶 100 km 耗油 10 L.设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为 x km,行驶过程中油箱内剩余油量为 y L.
(1) 求 y 关于 x 的函数表达式；
(2) 为了有效延长汽车使用寿命,厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的$\frac{1}{4}$,按此建议,求该辆汽车加满油一次最多行驶的路程.
(1) 求 y 关于 x 的函数表达式；
(2) 为了有效延长汽车使用寿命,厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的$\frac{1}{4}$,按此建议,求该辆汽车加满油一次最多行驶的路程.
答案
(1) $y=40-0.1x$ (2) 该辆汽车加满油一次最多行驶 300 km
解析
【分析】
（1）求解y关于x的函数表达式，核心是找到剩余油量的等量关系：剩余油量=初始满油油量 - 行驶路程消耗的油量。先计算汽车每行驶1km的耗油量，再求出行驶x km的总耗油量，代入等量关系即可列出函数式，同时结合实际意义确定自变量x的取值范围。
（2）首先将“剩余油量不低于油箱容量的$\frac{1}{4}$”转化为不等式关系，先算出油箱容量的$\frac{1}{4}$对应的油量，得到y的最小取值，代入第一问的函数表达式，解不等式得到x的最大取值，即为最多行驶的路程。
【解析】
（1）已知汽车每行驶100km耗油10L，因此每行驶1km的耗油量为$10÷100=0.1$（L）。
行驶x km的总耗油量为$0.1x$ L，油箱初始满油容量为40L，因此剩余油量$y=40-0.1x$。
结合实际意义，行驶路程x≥0，且总耗油量不能超过40L，即$0.1x≤40$，解得$x≤400$，因此y关于x的函数表达式为$y=40-0.1x\quad(0≤ x≤400)$。
（2）根据题意，剩余油量不低于油箱容量的$\frac{1}{4}$，先计算油箱容量的$\frac{1}{4}$为$40×\frac{1}{4}=10$（L），即$y≥10$。
将$y=40-0.1x$代入不等式得：
$40-0.1x≥10$
移项得：$-0.1x≥10-40$
合并同类项得：$-0.1x≥-30$
两边同时除以-0.1，不等号方向改变，得：$x≤300$
因此该辆汽车加满油一次最多行驶300km。
【答案】
(1) $y=40-0.1x$
(2) 该辆汽车加满油一次最多行驶 300 km
【知识点】
一次函数的应用；列函数解析式；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合汽车用油的生活场景，考查一次函数与不等式的基础应用，解题的关键是准确提取题干中的等量关系和不等关系，将实际问题转化为数学问题求解，注重对基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
（1）求解y关于x的函数表达式，核心是找到剩余油量的等量关系：剩余油量=初始满油油量 - 行驶路程消耗的油量。先计算汽车每行驶1km的耗油量，再求出行驶x km的总耗油量，代入等量关系即可列出函数式，同时结合实际意义确定自变量x的取值范围。
（2）首先将“剩余油量不低于油箱容量的$\frac{1}{4}$”转化为不等式关系，先算出油箱容量的$\frac{1}{4}$对应的油量，得到y的最小取值，代入第一问的函数表达式，解不等式得到x的最大取值，即为最多行驶的路程。
【解析】
（1）已知汽车每行驶100km耗油10L，因此每行驶1km的耗油量为$10÷100=0.1$（L）。
行驶x km的总耗油量为$0.1x$ L，油箱初始满油容量为40L，因此剩余油量$y=40-0.1x$。
结合实际意义，行驶路程x≥0，且总耗油量不能超过40L，即$0.1x≤40$，解得$x≤400$，因此y关于x的函数表达式为$y=40-0.1x\quad(0≤ x≤400)$。
（2）根据题意，剩余油量不低于油箱容量的$\frac{1}{4}$，先计算油箱容量的$\frac{1}{4}$为$40×\frac{1}{4}=10$（L），即$y≥10$。
将$y=40-0.1x$代入不等式得：
$40-0.1x≥10$
移项得：$-0.1x≥10-40$
合并同类项得：$-0.1x≥-30$
两边同时除以-0.1，不等号方向改变，得：$x≤300$
因此该辆汽车加满油一次最多行驶300km。
【答案】
(1) $y=40-0.1x$
(2) 该辆汽车加满油一次最多行驶 300 km
【知识点】
一次函数的应用；列函数解析式；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合汽车用油的生活场景，考查一次函数与不等式的基础应用，解题的关键是准确提取题干中的等量关系和不等关系，将实际问题转化为数学问题求解，注重对基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
4. 某产品每件成本为10元，试销阶段发现每件产品的销售价x元与产品的日销售量y件之间的关系如下表：
已知y是x的一次函数.
(1) 求日销售量y件关于每件产品的销售价x元的函数表达式；
(2) 当每件产品的销售价定为30元时，求每日的销售利润.
已知y是x的一次函数.
(1) 求日销售量y件关于每件产品的销售价x元的函数表达式；
(2) 当每件产品的销售价定为30元时，求每日的销售利润.
答案
(1) $y=-x+40$ (2) 当每件产品的销售价定为 30 元时,每日的销售利润为 200 元
解析
【分析】
(1) 已知y是x的一次函数，因此采用待定系数法求函数表达式：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再从表格中选取两组对应的x、y值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数表达式，最后可代入第三组数据验证结果正确性。
(2) 销售利润=单件利润×日销售量，先将$x=30$代入(1)中求得的函数表达式算出对应日销售量y，再计算单件利润（售价-成本），两者相乘即可得到每日销售利润。
【解析】
(1) 设日销售量y关于销售价x的一次函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
选取表格中两组值$\begin{cases}x=15\\y=25\end{cases}$和$\begin{cases}x=20\\y=20\end{cases}$代入表达式，得：
$\begin{cases}15k + b = 25 \\20k + b = 20 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$5k=-5$，解得$k=-1$。
将$k=-1$代入$15k + b =25$，得$-15 + b =25$，解得$b=40$。
验证：当$x=25$时，$y=-25+40=15$，与表格数据一致，因此函数表达式为$y=-x+40$。
(2) 当$x=30$时，代入$y=-x+40$得：$y=-30+40=10$（件）。
单件产品利润为：$30-10=20$（元）。
每日销售利润为：$20×10=200$（元）。
【答案】
(1) $y=-x+40$
(2) 当每件产品的销售价定为30元时，每日的销售利润为200元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数实际应用；销售利润计算
【点评】
本题是一次函数在销售问题中的基础应用，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及结合实际场景利用函数解析式计算相关量的能力，解题时理清售价、销量、成本、利润之间的数量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 已知y是x的一次函数，因此采用待定系数法求函数表达式：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再从表格中选取两组对应的x、y值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数表达式，最后可代入第三组数据验证结果正确性。
(2) 销售利润=单件利润×日销售量，先将$x=30$代入(1)中求得的函数表达式算出对应日销售量y，再计算单件利润（售价-成本），两者相乘即可得到每日销售利润。
【解析】
(1) 设日销售量y关于销售价x的一次函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
选取表格中两组值$\begin{cases}x=15\\y=25\end{cases}$和$\begin{cases}x=20\\y=20\end{cases}$代入表达式，得：
$\begin{cases}15k + b = 25 \\20k + b = 20 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$5k=-5$，解得$k=-1$。
将$k=-1$代入$15k + b =25$，得$-15 + b =25$，解得$b=40$。
验证：当$x=25$时，$y=-25+40=15$，与表格数据一致，因此函数表达式为$y=-x+40$。
(2) 当$x=30$时，代入$y=-x+40$得：$y=-30+40=10$（件）。
单件产品利润为：$30-10=20$（元）。
每日销售利润为：$20×10=200$（元）。
【答案】
(1) $y=-x+40$
(2) 当每件产品的销售价定为30元时，每日的销售利润为200元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数实际应用；销售利润计算
【点评】
本题是一次函数在销售问题中的基础应用，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及结合实际场景利用函数解析式计算相关量的能力，解题时理清售价、销量、成本、利润之间的数量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
