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1. 如图是某工程队修筑的公路长度y m与时间x天之间的关系图象. 根据图象提供的信息,可知该工程队前8天修筑的公路长度是
504
m. 答案
504
解析
【分析】
观察图象可知，修筑公路的长度在x≥2天时，y与x符合一次函数关系，解题时首先从图象中提取x≥2时的两个已知点坐标：(2,180)、(4,288)，利用待定系数法求出该段的一次函数解析式，再将x=8代入解析式，即可算出前8天修筑的公路总长度。
【解析】
解：设当$x≥2$时，$y$与$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
将点$(2,180)$、$(4,288)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}2k+b=180\\4k+b=288\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=108$，解得$k=54$。
把$k=54$代入$2k+b=180$，得$2×54+b=180$，解得$b=72$。
因此$x≥2$时，函数解析式为$y=54x+72$。
当$x=8$时，代入解析式得：
$y=54×8+72=432+72=504$
【答案】
504
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，函数图象信息提取
【点评】
本题是一次函数结合工程问题的基础应用题，核心是从图象中获取有效坐标信息，利用待定系数法求出对应区间的函数解析式，再代入数值求解，掌握一次函数的基本应用方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
观察图象可知，修筑公路的长度在x≥2天时，y与x符合一次函数关系，解题时首先从图象中提取x≥2时的两个已知点坐标：(2,180)、(4,288)，利用待定系数法求出该段的一次函数解析式，再将x=8代入解析式，即可算出前8天修筑的公路总长度。
【解析】
解：设当$x≥2$时，$y$与$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
将点$(2,180)$、$(4,288)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}2k+b=180\\4k+b=288\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=108$，解得$k=54$。
把$k=54$代入$2k+b=180$，得$2×54+b=180$，解得$b=72$。
因此$x≥2$时，函数解析式为$y=54x+72$。
当$x=8$时，代入解析式得：
$y=54×8+72=432+72=504$
【答案】
504
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，函数图象信息提取
【点评】
本题是一次函数结合工程问题的基础应用题，核心是从图象中获取有效坐标信息，利用待定系数法求出对应区间的函数解析式，再代入数值求解，掌握一次函数的基本应用方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
2. 某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度：若每月用水量（第1题）
不超过$14\ \mathrm{m}^3$（含$14\ \mathrm{m}^3$），则按政府补贴优惠价$a$元/$\mathrm{m}^3$收费；若每月用水量超过$14\ \mathrm{m}^3$，则超过部分按市场价$b$元/$\mathrm{m}^3$收费. 小明家3月份用水$20\ \mathrm{m}^3$，交水费49元；4月份用水$18\ \mathrm{m}^3$，交水费42元.
（1）求政府补贴优惠价和市场价分别是多少；
（2）设每月用水量为$x\ \mathrm{m}^3$，应交水费为$y$元，请写出$y$关于$x$的函数表达式；
（3）若小明家5月份用水$26\ \mathrm{m}^3$，则他家应交水费多少元？
不超过$14\ \mathrm{m}^3$（含$14\ \mathrm{m}^3$），则按政府补贴优惠价$a$元/$\mathrm{m}^3$收费；若每月用水量超过$14\ \mathrm{m}^3$，则超过部分按市场价$b$元/$\mathrm{m}^3$收费. 小明家3月份用水$20\ \mathrm{m}^3$，交水费49元；4月份用水$18\ \mathrm{m}^3$，交水费42元.
（1）求政府补贴优惠价和市场价分别是多少；
（2）设每月用水量为$x\ \mathrm{m}^3$，应交水费为$y$元，请写出$y$关于$x$的函数表达式；
（3）若小明家5月份用水$26\ \mathrm{m}^3$，则他家应交水费多少元？
答案
(1) 政府补贴优惠价为 2 元/$\mathrm{m}^3$,市场价为 3.5 元/$\mathrm{m}^3$ (2) 当 $0≤ x≤ 14$ 时,$y=2x$;当 $x＞14$ 时,$y=3.5x-21$ (3) 小明家 5 月份交水费为 70 元
解析
【分析】
（1）求两个未知单价，可根据题干给出的两组用水量及对应水费，按照“总水费=14m³以内的费用+超出14m³部分的费用”的等量关系，列出二元一次方程组求解。
（2）写分段函数需分两种情况讨论：用水量不超过14m³时，直接按优惠价计算水费；用水量超过14m³时，需分别计算14m³以内的优惠价费用和超出部分的市场价费用，再合并化简得到函数式。
（3）先判断5月份用水量26m³所属的分段区间，代入对应函数表达式计算即可得到应交水费。
【解析】
（1）根据题意列二元一次方程组：
$\begin{cases}14a + (20-14)b = 49 \\14a + (18-14)b = 42 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}14a +6b =49 ①\\14a +4b =42 ② \end{cases}$
用①-②消去$14a$，得$2b=7$，解得$b=3.5$。
将$b=3.5$代入②，得$14a+4×3.5=42$，解得$a=2$。
（2）分两种情况写函数表达式：
当$0≤ x≤14$时，按优惠价收费，$y=2x$；
当$x＞14$时，总费用为14m³的优惠价费用加超出部分的市场价费用，即$y=14×2+3.5(x-14)$，化简得$y=3.5x-21$。
（3）$\because 26＞14$，$\therefore$将$x=26$代入$y=3.5x-21$，得：
$y=3.5×26-21=91-21=70$（元）
【答案】
(1) 政府补贴优惠价为 2 元/$\mathrm{m}^3$,市场价为 3.5 元/$\mathrm{m}^3$
(2) 当 $0≤ x≤ 14$ 时,$y=2x$;当 $x＞14$ 时,$y=3.5x-21$
(3) 小明家 5 月份交水费为 70 元
【知识点】
二元一次方程组的应用；分段一次函数；一次函数求值
【点评】
本题是典型的阶梯收费类应用题，解题关键是理清不同用水量对应的计费规则，能根据题干等量关系列方程组求解参数，正确划分分段区间写出函数表达式，再代入对应区间计算结果，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
（1）求两个未知单价，可根据题干给出的两组用水量及对应水费，按照“总水费=14m³以内的费用+超出14m³部分的费用”的等量关系，列出二元一次方程组求解。
（2）写分段函数需分两种情况讨论：用水量不超过14m³时，直接按优惠价计算水费；用水量超过14m³时，需分别计算14m³以内的优惠价费用和超出部分的市场价费用，再合并化简得到函数式。
（3）先判断5月份用水量26m³所属的分段区间，代入对应函数表达式计算即可得到应交水费。
【解析】
（1）根据题意列二元一次方程组：
$\begin{cases}14a + (20-14)b = 49 \\14a + (18-14)b = 42 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}14a +6b =49 ①\\14a +4b =42 ② \end{cases}$
用①-②消去$14a$，得$2b=7$，解得$b=3.5$。
将$b=3.5$代入②，得$14a+4×3.5=42$，解得$a=2$。
（2）分两种情况写函数表达式：
当$0≤ x≤14$时，按优惠价收费，$y=2x$；
当$x＞14$时，总费用为14m³的优惠价费用加超出部分的市场价费用，即$y=14×2+3.5(x-14)$，化简得$y=3.5x-21$。
（3）$\because 26＞14$，$\therefore$将$x=26$代入$y=3.5x-21$，得：
$y=3.5×26-21=91-21=70$（元）
【答案】
(1) 政府补贴优惠价为 2 元/$\mathrm{m}^3$,市场价为 3.5 元/$\mathrm{m}^3$
(2) 当 $0≤ x≤ 14$ 时,$y=2x$;当 $x＞14$ 时,$y=3.5x-21$
(3) 小明家 5 月份交水费为 70 元
【知识点】
二元一次方程组的应用；分段一次函数；一次函数求值
【点评】
本题是典型的阶梯收费类应用题，解题关键是理清不同用水量对应的计费规则，能根据题干等量关系列方程组求解参数，正确划分分段区间写出函数表达式，再代入对应区间计算结果，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
3. 某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500 t，每生产1 t甲产品可获得利润0.3万元，每生产1 t乙产品可获得利润0.4万元.设该工厂生产了甲产品x t，生产甲，乙两种产品获得的总利润为y万元.
(1) 求y关于x的函数表达式.
(2) 若每生产1 t甲产品需要A原料0.25 t，每生产1 t乙产品需要A原料0.5 t.受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1 000 t，其他原料充足.该工厂生产甲，乙两种产品各多少吨时，能获得最大利润？求出最大利润.
(1) 求y关于x的函数表达式.
(2) 若每生产1 t甲产品需要A原料0.25 t，每生产1 t乙产品需要A原料0.5 t.受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1 000 t，其他原料充足.该工厂生产甲，乙两种产品各多少吨时，能获得最大利润？求出最大利润.
答案
(1) $y=-0.1x+1000$ (2) 生产甲产品 1 000 t,乙产品 1 500 t,最大利润是 900 万元
解析
【分析】
(1) 解题思路：总利润为甲产品利润与乙产品利润之和，已知甲产品产量为$x$ t，两种产品总产量为2500 t，可推出乙产品产量为$(2500-x)$ t，结合两种产品的每吨利润，代入总利润公式整理即可得到$y$关于$x$的函数表达式，注意自变量$x$需符合产量非负的实际意义。
(2) 解题思路：先根据A原料的最大供应量列出关于$x$的一元一次不等式，解出$x$的取值范围，再结合第一问得到的一次函数的增减性，即可确定利润最大时$x$的取值，进而求出乙产品产量和最大利润。
【解析】
(1) 已知生产甲产品$x$ t，则生产乙产品$(2500-x)$ t，根据总利润计算公式可得：
$\begin{aligned}y&=0.3x + 0.4(2500-x)\\&=0.3x + 1000 - 0.4x\\&=-0.1x + 1000\end{aligned}$
结合产量实际意义，$x$的取值范围为$0≤ x≤2500$，因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=-0.1x+1000(0≤ x≤2500)$。
(2) 根据A原料的供应量限制，可列不等式：
$\begin{aligned}0.25x + 0.5(2500-x) &≤ 1000\\0.25x + 1250 - 0.5x &≤ 1000\\-0.25x &≤ -250\\x&≥1000\end{aligned}$
结合$0≤ x≤2500$，可得$x$的取值范围为$1000≤ x≤2500$。
在一次函数$y=-0.1x+1000$中，$k=-0.1＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，当$x$取最小值1000时，$y$取得最大值：
$y_{\mathrm{max}}=-0.1×1000 + 1000=900$
此时乙产品产量为$2500-1000=1500$ t。
【答案】
(1) $y=-0.1x+1000$ (2) 生产甲产品 1 000 t,乙产品 1 500 t,最大利润是 900 万元
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的增减性
【点评】
本题是一次函数实际应用的典型题型，将利润问题和原料限制结合，既考查了函数表达式的推导，也考查了结合不等式和函数性质求最值的能力，解题的核心是理清题中的等量关系和不等关系。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：总利润为甲产品利润与乙产品利润之和，已知甲产品产量为$x$ t，两种产品总产量为2500 t，可推出乙产品产量为$(2500-x)$ t，结合两种产品的每吨利润，代入总利润公式整理即可得到$y$关于$x$的函数表达式，注意自变量$x$需符合产量非负的实际意义。
(2) 解题思路：先根据A原料的最大供应量列出关于$x$的一元一次不等式，解出$x$的取值范围，再结合第一问得到的一次函数的增减性，即可确定利润最大时$x$的取值，进而求出乙产品产量和最大利润。
【解析】
(1) 已知生产甲产品$x$ t，则生产乙产品$(2500-x)$ t，根据总利润计算公式可得：
$\begin{aligned}y&=0.3x + 0.4(2500-x)\\&=0.3x + 1000 - 0.4x\\&=-0.1x + 1000\end{aligned}$
结合产量实际意义，$x$的取值范围为$0≤ x≤2500$，因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=-0.1x+1000(0≤ x≤2500)$。
(2) 根据A原料的供应量限制，可列不等式：
$\begin{aligned}0.25x + 0.5(2500-x) &≤ 1000\\0.25x + 1250 - 0.5x &≤ 1000\\-0.25x &≤ -250\\x&≥1000\end{aligned}$
结合$0≤ x≤2500$，可得$x$的取值范围为$1000≤ x≤2500$。
在一次函数$y=-0.1x+1000$中，$k=-0.1＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，当$x$取最小值1000时，$y$取得最大值：
$y_{\mathrm{max}}=-0.1×1000 + 1000=900$
此时乙产品产量为$2500-1000=1500$ t。
【答案】
(1) $y=-0.1x+1000$ (2) 生产甲产品 1 000 t,乙产品 1 500 t,最大利润是 900 万元
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的增减性
【点评】
本题是一次函数实际应用的典型题型，将利润问题和原料限制结合，既考查了函数表达式的推导，也考查了结合不等式和函数性质求最值的能力，解题的核心是理清题中的等量关系和不等关系。
【难度系数】
0.7
