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1. 下列说法中，正确的是 （
A.不带根号的数是有理数
B.无法确定无理数的大小
C.无限小数都是无理数
D.在实数范围内，既不是整数也不是分数的数是无理数
D
）A.不带根号的数是有理数
B.无法确定无理数的大小
C.无限小数都是无理数
D.在实数范围内，既不是整数也不是分数的数是无理数
答案
1. D
解析
【分析】
本题属于实数相关概念的辨析题，解题核心是准确掌握有理数、无理数的定义和实数的分类标准。解题时可通过“定义核对+举反例”的方法逐个排查选项：首先明确有理数是整数和分数的统称，可化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，实数分为有理数和无理数两类，再逐一验证每个选项的表述是否符合概念，不符合的可通过举反例快速排除。
【解析】
我们结合定义逐个分析选项：
A选项：不带根号的数不一定是有理数，例如π不带根号，但它是无限不循环小数，属于无理数，因此A错误；
B选项：无理数的大小可以通过估算等方式确定，例如√2≈1.414，我们可以明确它在1和2之间，大小是可确定的，因此B错误；
C选项：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数（例如$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$是分数，属于有理数），只有无限不循环小数才是无理数，因此C错误；
D选项：实数分为有理数和无理数两类，而有理数恰好是整数和分数的统称，因此在实数范围内，既不是整数也不是分数的数就不属于有理数，必然是无理数，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
实数的分类；无理数的概念；有理数的概念
【点评】
本题重点考查对实数基础概念的理解，易错点是容易混淆无理数的判断标准（误认为带根号的才是无理数、无限小数都是无理数），只要准确掌握各类数的定义和区别就能轻松作答，属于基础题。
【难度系数】
0.8
本题属于实数相关概念的辨析题，解题核心是准确掌握有理数、无理数的定义和实数的分类标准。解题时可通过“定义核对+举反例”的方法逐个排查选项：首先明确有理数是整数和分数的统称，可化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，实数分为有理数和无理数两类，再逐一验证每个选项的表述是否符合概念，不符合的可通过举反例快速排除。
【解析】
我们结合定义逐个分析选项：
A选项：不带根号的数不一定是有理数，例如π不带根号，但它是无限不循环小数，属于无理数，因此A错误；
B选项：无理数的大小可以通过估算等方式确定，例如√2≈1.414，我们可以明确它在1和2之间，大小是可确定的，因此B错误；
C选项：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数（例如$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$是分数，属于有理数），只有无限不循环小数才是无理数，因此C错误；
D选项：实数分为有理数和无理数两类，而有理数恰好是整数和分数的统称，因此在实数范围内，既不是整数也不是分数的数就不属于有理数，必然是无理数，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
实数的分类；无理数的概念；有理数的概念
【点评】
本题重点考查对实数基础概念的理解，易错点是容易混淆无理数的判断标准（误认为带根号的才是无理数、无限小数都是无理数），只要准确掌握各类数的定义和区别就能轻松作答，属于基础题。
【难度系数】
0.8
（1）满足$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{3}$的整数是。
（2）实数$\frac{π}{2}$，$\sqrt[3]{4}$，$0.121\ 121\ 112···$，$\sqrt{16}$，$\frac{22}{7}$中，无理数有个。
（3）比较大小：$-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\_\_\_\_\_\_-\frac{3}{2}$。（填“＞”“＜”或“=”）
（4）实数$a$在数轴上的位置如图所示，则$\sqrt{(2-a)^2}+\sqrt[3]{(10-a)^3}$化简后为。
（2）实数$\frac{π}{2}$，$\sqrt[3]{4}$，$0.121\ 121\ 112···$，$\sqrt{16}$，$\frac{22}{7}$中，无理数有个。
（3）比较大小：$-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\_\_\_\_\_\_-\frac{3}{2}$。（填“＞”“＜”或“=”）
（4）实数$a$在数轴上的位置如图所示，则$\sqrt{(2-a)^2}+\sqrt[3]{(10-a)^3}$化简后为。
答案
(1) ±1, 0 (2) 3 (3) ＜ (4) 8
解析
【分析】
1. 第(1)题：先估算无理数的近似值，$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，得到$-\sqrt{2}\approx-1.414$，再找出介于$-1.414$和$1.732$之间的整数即可。
2. 第(2)题：依据无理数的定义（无限不循环小数，常见类型：含$π$的数、开方开不尽的数、有规律但不循环的无限小数）逐个判断给出的实数，统计无理数的个数。
3. 第(3)题：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，先估算$\sqrt{5}$的近似值，计算两个数的绝对值后比较大小即可。
4. 第(4)题：根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$、立方根性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，结合数轴上$a$的取值范围（$2＜a＜10$）去绝对值，再合并化简即可。
【解析】
(1) 解：$\because\sqrt{2}\approx1.414$，$\therefore-\sqrt{2}\approx-1.414$，又$\sqrt{3}\approx1.732$，
$\therefore$满足$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{3}$的整数为$-1、0、1$，即$\pm1,0$。
(2) 解：逐个分析实数类型：
①$\frac{π}{2}$含$π$，是无限不循环小数，属于无理数；
②$\sqrt[3]{4}$开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
③$0.121\ 121\ 112···$是无限不循环小数，属于无理数；
④$\sqrt{16}=4$，是整数，属于有理数；
⑤$\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
综上，无理数共3个。
(3) 解：$\because\sqrt{5}\approx2.236$，$\therefore\sqrt{5}+1\approx3.236$，
$\therefore\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx1.618＞\frac{3}{2}=1.5$，
根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，可得：$-\frac{\sqrt{5}+1}{2}＜-\frac{3}{2}$。
(4) 解：由数轴可知$2＜a＜10$，
根据二次根式性质得：$\sqrt{(2-a)^2}=|2-a|=a-2$，
根据立方根性质得：$\sqrt[3]{(10-a)^3}=10-a$，
$\therefore$原式$=(a-2)+(10-a)=8$。
【答案】
(1) $\pm1, 0$ (2) $3$ (3) $＜$ (4) $8$
【知识点】
无理数的识别，实数的大小比较，二次根式的性质
【点评】
本题是实数章节的基础题型，全面考察了无理数判断、实数范围估算、实数大小比较、根式化简等核心基础内容，熟练掌握相关概念和性质是解题的关键，也为后续实数的综合运算打下基础。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)题：先估算无理数的近似值，$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{3}\approx1.732$，得到$-\sqrt{2}\approx-1.414$，再找出介于$-1.414$和$1.732$之间的整数即可。
2. 第(2)题：依据无理数的定义（无限不循环小数，常见类型：含$π$的数、开方开不尽的数、有规律但不循环的无限小数）逐个判断给出的实数，统计无理数的个数。
3. 第(3)题：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，先估算$\sqrt{5}$的近似值，计算两个数的绝对值后比较大小即可。
4. 第(4)题：根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$、立方根性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，结合数轴上$a$的取值范围（$2＜a＜10$）去绝对值，再合并化简即可。
【解析】
(1) 解：$\because\sqrt{2}\approx1.414$，$\therefore-\sqrt{2}\approx-1.414$，又$\sqrt{3}\approx1.732$，
$\therefore$满足$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{3}$的整数为$-1、0、1$，即$\pm1,0$。
(2) 解：逐个分析实数类型：
①$\frac{π}{2}$含$π$，是无限不循环小数，属于无理数；
②$\sqrt[3]{4}$开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
③$0.121\ 121\ 112···$是无限不循环小数，属于无理数；
④$\sqrt{16}=4$，是整数，属于有理数；
⑤$\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
综上，无理数共3个。
(3) 解：$\because\sqrt{5}\approx2.236$，$\therefore\sqrt{5}+1\approx3.236$，
$\therefore\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx1.618＞\frac{3}{2}=1.5$，
根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，可得：$-\frac{\sqrt{5}+1}{2}＜-\frac{3}{2}$。
(4) 解：由数轴可知$2＜a＜10$，
根据二次根式性质得：$\sqrt{(2-a)^2}=|2-a|=a-2$，
根据立方根性质得：$\sqrt[3]{(10-a)^3}=10-a$，
$\therefore$原式$=(a-2)+(10-a)=8$。
【答案】
(1) $\pm1, 0$ (2) $3$ (3) $＜$ (4) $8$
【知识点】
无理数的识别，实数的大小比较，二次根式的性质
【点评】
本题是实数章节的基础题型，全面考察了无理数判断、实数范围估算、实数大小比较、根式化简等核心基础内容，熟练掌握相关概念和性质是解题的关键，也为后续实数的综合运算打下基础。
【难度系数】
0.7
1. 对于$\sqrt{7}$，下列说法中，不正确的是（
A.它是一个无理数
B.它是数轴上离原点$\sqrt{7}$的点所表示的数
C.若$a＜\sqrt{7}＜a+1$，则整数$a$为2
D.它表示面积为7的正方形的边长
B
）A.它是一个无理数
B.它是数轴上离原点$\sqrt{7}$的点所表示的数
C.若$a＜\sqrt{7}＜a+1$，则整数$a$为2
D.它表示面积为7的正方形的边长
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查实数的相关基础概念，解题时需逐一分析每个选项对应的知识点，判断对错后选出符合题意的错误选项。首先回忆无理数的定义、数轴上点与实数的对应关系、无理数的估算方法、算术平方根的实际意义这几个知识点，逐个验证选项即可。
【解析】
我们对每个选项依次判断：
A选项：无限不循环小数是无理数，$\sqrt{7}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，该说法正确，不符合题意。
B选项：数轴上到原点的距离等于$\sqrt{7}$的点有两个，分别表示$\sqrt{7}$和$-\sqrt{7}$，并不只有$\sqrt{7}$，该说法错误，符合题意。
C选项：因为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，且$4＜7＜9$，所以$2＜\sqrt{7}＜3$，因此整数$a=2$，该说法正确，不符合题意。
D选项：正方形的面积等于边长的平方，若正方形面积为7，且边长为正数，则边长为$\sqrt{7}$，该说法正确，不符合题意。
综上，不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的概念
2. 实数与数轴的对应关系
3. 无理数的大小估算
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度不大，易错点是容易忽略数轴上到原点距离相等的点有两个，分别位于原点两侧，学习时要注意辨析相关概念的细节，避免疏漏。
【难度系数】
0.8
本题考查实数的相关基础概念，解题时需逐一分析每个选项对应的知识点，判断对错后选出符合题意的错误选项。首先回忆无理数的定义、数轴上点与实数的对应关系、无理数的估算方法、算术平方根的实际意义这几个知识点，逐个验证选项即可。
【解析】
我们对每个选项依次判断：
A选项：无限不循环小数是无理数，$\sqrt{7}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，该说法正确，不符合题意。
B选项：数轴上到原点的距离等于$\sqrt{7}$的点有两个，分别表示$\sqrt{7}$和$-\sqrt{7}$，并不只有$\sqrt{7}$，该说法错误，符合题意。
C选项：因为$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$，且$4＜7＜9$，所以$2＜\sqrt{7}＜3$，因此整数$a=2$，该说法正确，不符合题意。
D选项：正方形的面积等于边长的平方，若正方形面积为7，且边长为正数，则边长为$\sqrt{7}$，该说法正确，不符合题意。
综上，不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的概念
2. 实数与数轴的对应关系
3. 无理数的大小估算
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度不大，易错点是容易忽略数轴上到原点距离相等的点有两个，分别位于原点两侧，学习时要注意辨析相关概念的细节，避免疏漏。
【难度系数】
0.8
2. 比较下列各组数的大小：
(1) $-\sqrt{17}$与$-\sqrt{15}$；
(2) $\sqrt{5}-3$与$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$。
(1) $-\sqrt{17}$与$-\sqrt{15}$；
(2) $\sqrt{5}-3$与$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$。
答案
(1) $-\sqrt{17}＜-\sqrt{15}$ (2) $\sqrt{5}-3＜\frac{\sqrt{5}-2}{2}$
解析
【分析】
本题考查实数大小的比较，解题思路如下：
(1) 比较两个负无理数的大小，可先比较它们的绝对值的大小，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”即可得出结果；而两个正算术平方根比较大小，只需比较被开方数，被开方数越大，算术平方根越大。
(2) 比较两个含根式的多项式的大小，可采用作差法：若两个数的差小于0，则被减数小于减数；若差大于0，则被减数大于减数，计算出差的正负即可判断大小。
【解析】
(1) 先比较两个数的绝对值：
∵ 17＞15，根据算术平方根的性质，被开方数越大，算术平方根越大，
∴ $\sqrt{17}＞\sqrt{15}$，
又
∵ 两个负数比较大小，绝对值大的反而小，
∴ $-\sqrt{17}＜-\sqrt{15}$。
(2) 用作差法比较大小，计算两式的差：
$\begin{aligned}(\sqrt{5}-3)-\frac{\sqrt{5}-2}{2}&=\frac{2(\sqrt{5}-3)-(\sqrt{5}-2)}{2}\\&=\frac{2\sqrt{5}-6-\sqrt{5}+2}{2}\\&=\frac{\sqrt{5}-4}{2}\end{aligned}$
∵ $\sqrt{5}＜\sqrt{16}=4$，
∴ $\sqrt{5}-4＜0$，
∴ $\frac{\sqrt{5}-4}{2}＜0$，即 $(\sqrt{5}-3)-\frac{\sqrt{5}-2}{2}＜0$，
∴ $\sqrt{5}-3＜\frac{\sqrt{5}-2}{2}$。
【答案】
(1) $-\sqrt{17}＜-\sqrt{15}$；(2) $\sqrt{5}-3＜\frac{\sqrt{5}-2}{2}$
【知识点】
实数大小比较、算术平方根的性质、作差法比较大小
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题时需根据式子特征灵活选择比较方法：负无理数比较优先转化为绝对值比较，含同类根式的多项式比较可选用作差法，能很好地考查对实数性质和比较方法的掌握情况。
【难度系数】
0.8
本题考查实数大小的比较，解题思路如下：
(1) 比较两个负无理数的大小，可先比较它们的绝对值的大小，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”即可得出结果；而两个正算术平方根比较大小，只需比较被开方数，被开方数越大，算术平方根越大。
(2) 比较两个含根式的多项式的大小，可采用作差法：若两个数的差小于0，则被减数小于减数；若差大于0，则被减数大于减数，计算出差的正负即可判断大小。
【解析】
(1) 先比较两个数的绝对值：
∵ 17＞15，根据算术平方根的性质，被开方数越大，算术平方根越大，
∴ $\sqrt{17}＞\sqrt{15}$，
又
∵ 两个负数比较大小，绝对值大的反而小，
∴ $-\sqrt{17}＜-\sqrt{15}$。
(2) 用作差法比较大小，计算两式的差：
$\begin{aligned}(\sqrt{5}-3)-\frac{\sqrt{5}-2}{2}&=\frac{2(\sqrt{5}-3)-(\sqrt{5}-2)}{2}\\&=\frac{2\sqrt{5}-6-\sqrt{5}+2}{2}\\&=\frac{\sqrt{5}-4}{2}\end{aligned}$
∵ $\sqrt{5}＜\sqrt{16}=4$，
∴ $\sqrt{5}-4＜0$，
∴ $\frac{\sqrt{5}-4}{2}＜0$，即 $(\sqrt{5}-3)-\frac{\sqrt{5}-2}{2}＜0$，
∴ $\sqrt{5}-3＜\frac{\sqrt{5}-2}{2}$。
【答案】
(1) $-\sqrt{17}＜-\sqrt{15}$；(2) $\sqrt{5}-3＜\frac{\sqrt{5}-2}{2}$
【知识点】
实数大小比较、算术平方根的性质、作差法比较大小
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题时需根据式子特征灵活选择比较方法：负无理数比较优先转化为绝对值比较，含同类根式的多项式比较可选用作差法，能很好地考查对实数性质和比较方法的掌握情况。
【难度系数】
0.8
3. 设$m$是$\sqrt{5}$的整数部分，$n$是$\sqrt{5}$的小数部分，求$m-n$的值.
答案
$4-\sqrt{5}$
解析
【分析】
要解决本题，需分四步思考：第一步先找到和5相邻的两个完全平方数，估算出$\sqrt{5}$的取值范围；第二步根据取值范围确定$\sqrt{5}$的整数部分$m$；第三步依据“小数部分=原数-整数部分”的规律求出小数部分$n$；第四步将$m$、$n$代入$m-n$，按整式运算规则化简得到最终结果。
【解析】
解：$\because 4＜5＜9$
$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$
由此可得$\sqrt{5}$的整数部分$m=2$
$\because$ 无理数的小数部分 = 无理数本身 - 它的整数部分
$\therefore \sqrt{5}$的小数部分$n=\sqrt{5}-2$
将$m=2$，$n=\sqrt{5}-2$代入$m-n$得：
$m-n=2-(\sqrt{5}-2)=2-\sqrt{5}+2=4-\sqrt{5}$
【答案】
$4-\sqrt{5}$
【知识点】
无理数大小估算，实数的整数与小数部分，整式加减运算
【点评】
本题属于实数模块的基础常考题，解题核心是掌握无理数的估算方法，明确无理数整数部分和小数部分的关系，计算时注意去括号的符号变化规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需分四步思考：第一步先找到和5相邻的两个完全平方数，估算出$\sqrt{5}$的取值范围；第二步根据取值范围确定$\sqrt{5}$的整数部分$m$；第三步依据“小数部分=原数-整数部分”的规律求出小数部分$n$；第四步将$m$、$n$代入$m-n$，按整式运算规则化简得到最终结果。
【解析】
解：$\because 4＜5＜9$
$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$
由此可得$\sqrt{5}$的整数部分$m=2$
$\because$ 无理数的小数部分 = 无理数本身 - 它的整数部分
$\therefore \sqrt{5}$的小数部分$n=\sqrt{5}-2$
将$m=2$，$n=\sqrt{5}-2$代入$m-n$得：
$m-n=2-(\sqrt{5}-2)=2-\sqrt{5}+2=4-\sqrt{5}$
【答案】
$4-\sqrt{5}$
【知识点】
无理数大小估算，实数的整数与小数部分，整式加减运算
【点评】
本题属于实数模块的基础常考题，解题核心是掌握无理数的估算方法，明确无理数整数部分和小数部分的关系，计算时注意去括号的符号变化规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
