登录
活动一:想一想 议一议
1. 阅读课本第72页实数的概念及分类,根据你的理解对实数进行分类.
2. 把下列各数填入相应的横线上:$\frac{22}{7},0.351,-\sqrt[3]{9},4.\dot{6},3.14159,\sqrt{10},0,\sqrt[3]{-125},\frac{π}{3},-\sqrt{\frac{36}{25}},0.01001000100001···$(后面每两个1之间比前面增加一个0).
(1) 有理数: ;
(2) 无理数: ;
(3) 整 数: ;
(4) 正实数: .
1. 阅读课本第72页实数的概念及分类,根据你的理解对实数进行分类.
2. 把下列各数填入相应的横线上:$\frac{22}{7},0.351,-\sqrt[3]{9},4.\dot{6},3.14159,\sqrt{10},0,\sqrt[3]{-125},\frac{π}{3},-\sqrt{\frac{36}{25}},0.01001000100001···$(后面每两个1之间比前面增加一个0).
(1) 有理数: ;
(2) 无理数: ;
(3) 整 数: ;
(4) 正实数: .
答案
1. 略
2. 略
2. 略
解析
【分析】
解题前首先明确各类实数的定义：①有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，因此都属于有理数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的非零代数式、有规律但不循环的无限小数；③整数包括正整数、0、负整数；④正实数是所有大于0的实数。解题时先化简题目中带根号的数，再根据定义逐一归类即可。
【解析】
先化简题中带根号的数：$\sqrt[3]{-125}=-5$，$-\sqrt{\frac{36}{25}}=-\frac{6}{5}=-1.2$，再根据定义分类：
(1) 有理数包含整数、分数（有限小数、无限循环小数），因此符合的数有$\frac{22}{7},0.351,4.\dot{6},3.14159,0,\sqrt[3]{-125},-\sqrt{\frac{36}{25}}$；
(2) 无理数是无限不循环小数，因此符合的数有$-\sqrt[3]{9},\sqrt{10},\frac{π}{3},0.01001000100001···$(后面每两个1之间比前面增加一个0)；
(3) 整数包含正整数、0、负整数，因此符合的数有$0,\sqrt[3]{-125}$；
(4) 正实数是大于0的实数，因此符合的数有$\frac{22}{7},0.351,4.\dot{6},3.14159,\sqrt{10},\frac{π}{3},0.01001000100001···$(后面每两个1之间比前面增加一个0)。
【答案】
(1) 有理数: $\frac{22}{7},0.351,4.\dot{6},3.14159,0,\sqrt[3]{-125},-\sqrt{\frac{36}{25}}$
(2) 无理数: $-\sqrt[3]{9},\sqrt{10},\frac{π}{3},0.01001000100001···$（后面每两个1之间比前面增加一个0）
(3) 整 数: $0,\sqrt[3]{-125}$
(4) 正实数: $\frac{22}{7},0.351,4.\dot{6},3.14159,\sqrt{10},\frac{π}{3},0.01001000100001···$（后面每两个1之间比前面增加一个0）
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
解决实数分类问题时，首先要先化简带根号的数，再结合各类数的定义判断，注意不要混淆无限循环小数（属于有理数）和有规律的无限不循环小数（属于无理数），π是无理数，因此含π的非零代数式也属于无理数。
【难度系数】
0.7
解题前首先明确各类实数的定义：①有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，因此都属于有理数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的非零代数式、有规律但不循环的无限小数；③整数包括正整数、0、负整数；④正实数是所有大于0的实数。解题时先化简题目中带根号的数，再根据定义逐一归类即可。
【解析】
先化简题中带根号的数：$\sqrt[3]{-125}=-5$，$-\sqrt{\frac{36}{25}}=-\frac{6}{5}=-1.2$，再根据定义分类：
(1) 有理数包含整数、分数（有限小数、无限循环小数），因此符合的数有$\frac{22}{7},0.351,4.\dot{6},3.14159,0,\sqrt[3]{-125},-\sqrt{\frac{36}{25}}$；
(2) 无理数是无限不循环小数，因此符合的数有$-\sqrt[3]{9},\sqrt{10},\frac{π}{3},0.01001000100001···$(后面每两个1之间比前面增加一个0)；
(3) 整数包含正整数、0、负整数，因此符合的数有$0,\sqrt[3]{-125}$；
(4) 正实数是大于0的实数，因此符合的数有$\frac{22}{7},0.351,4.\dot{6},3.14159,\sqrt{10},\frac{π}{3},0.01001000100001···$(后面每两个1之间比前面增加一个0)。
【答案】
(1) 有理数: $\frac{22}{7},0.351,4.\dot{6},3.14159,0,\sqrt[3]{-125},-\sqrt{\frac{36}{25}}$
(2) 无理数: $-\sqrt[3]{9},\sqrt{10},\frac{π}{3},0.01001000100001···$（后面每两个1之间比前面增加一个0）
(3) 整 数: $0,\sqrt[3]{-125}$
(4) 正实数: $\frac{22}{7},0.351,4.\dot{6},3.14159,\sqrt{10},\frac{π}{3},0.01001000100001···$（后面每两个1之间比前面增加一个0）
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
解决实数分类问题时，首先要先化简带根号的数，再结合各类数的定义判断，注意不要混淆无限循环小数（属于有理数）和有规律的无限不循环小数（属于无理数），π是无理数，因此含π的非零代数式也属于无理数。
【难度系数】
0.7
1. 在图2-1的数轴上找出表示$\sqrt{2}$的点.
2. 无理数能用数轴上的点表示吗？实数都能用数轴上的点表示吗？
3. 请你找到一个无理数$a$，使$\sqrt{5}＜a＜\sqrt{6}$.
4. 实数与数轴上的点有怎样的对应关系？
2. 无理数能用数轴上的点表示吗？实数都能用数轴上的点表示吗？
3. 请你找到一个无理数$a$，使$\sqrt{5}＜a＜\sqrt{6}$.
4. 实数与数轴上的点有怎样的对应关系？
答案
1.
2. 略
3. 略
4. 略
解析
【分析】
1. 要在数轴上找到表示$\sqrt{2}$的点，可借助勾股定理：边长为1的正方形的对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，再通过圆规作图将该长度转移到数轴上即可。
2. 结合第1问的作图思路，以及无理数属于实数的范畴，即可判断无理数和实数能否用数轴上的点表示。
3. 先估算$\sqrt{5}\approx2.236$，$\sqrt{6}\approx2.449$，只要构造出大小在这两个数之间的无限不循环小数，或者取被开方数在5到6之间的算术平方根，都符合要求。
4. 结合前两问的结论，总结实数和数轴上点的对应关系即可。
【解析】
1. 作图步骤：① 构造边长为1个单位长度的正方形，根据勾股定理可得其对角线长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；② 将圆规的针尖固定在数轴原点处，调整圆规使两脚间距等于该对角线的长度；③ 以原点为圆心，$\sqrt{2}$为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就是表示$\sqrt{2}$的点。
2. 解：由第1问的作图可知，我们可以将无理数对应到数轴上的固定点，因此无理数能用数轴上的点表示；实数包含有理数和无理数，两类数都可以用数轴上的点表示，因此所有实数都能用数轴上的点表示。
3. 解：估算得$\sqrt{5}\approx2.236$，$\sqrt{6}\approx2.449$，我们可以取被开方数在5和6之间的非完全平方数的算术平方根，例如$\sqrt{5.2}$，满足$\sqrt{5}＜\sqrt{5.2}＜\sqrt{6}$，且$\sqrt{5.2}$是无理数；也可直接写符合大小要求的无限不循环小数，答案不唯一。
4. 解：实数与数轴上的点是一一对应的关系：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都唯一对应一个实数。
【答案】
1.
2. 无理数能用数轴上的点表示，实数都能用数轴上的点表示。
3. 示例：$a=\sqrt{5.2}$（答案不唯一，合理即可）
4. 实数与数轴上的点一一对应。
【知识点】
勾股定理的应用、实数的概念、实数与数轴的关系
【点评】
本题围绕实数和数轴的关系设置问题，既考查了无理数的几何作图方法，也考查了对实数相关概念的理解，同时需要掌握无理数大小估算的技能，整体侧重基础概念的理解和简单应用。
【难度系数】
0.75
1. 要在数轴上找到表示$\sqrt{2}$的点，可借助勾股定理：边长为1的正方形的对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，再通过圆规作图将该长度转移到数轴上即可。
2. 结合第1问的作图思路，以及无理数属于实数的范畴，即可判断无理数和实数能否用数轴上的点表示。
3. 先估算$\sqrt{5}\approx2.236$，$\sqrt{6}\approx2.449$，只要构造出大小在这两个数之间的无限不循环小数，或者取被开方数在5到6之间的算术平方根，都符合要求。
4. 结合前两问的结论，总结实数和数轴上点的对应关系即可。
【解析】
1. 作图步骤：① 构造边长为1个单位长度的正方形，根据勾股定理可得其对角线长度为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；② 将圆规的针尖固定在数轴原点处，调整圆规使两脚间距等于该对角线的长度；③ 以原点为圆心，$\sqrt{2}$为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就是表示$\sqrt{2}$的点。
2. 解：由第1问的作图可知，我们可以将无理数对应到数轴上的固定点，因此无理数能用数轴上的点表示；实数包含有理数和无理数，两类数都可以用数轴上的点表示，因此所有实数都能用数轴上的点表示。
3. 解：估算得$\sqrt{5}\approx2.236$，$\sqrt{6}\approx2.449$，我们可以取被开方数在5和6之间的非完全平方数的算术平方根，例如$\sqrt{5.2}$，满足$\sqrt{5}＜\sqrt{5.2}＜\sqrt{6}$，且$\sqrt{5.2}$是无理数；也可直接写符合大小要求的无限不循环小数，答案不唯一。
4. 解：实数与数轴上的点是一一对应的关系：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都唯一对应一个实数。
【答案】
1.
2. 无理数能用数轴上的点表示，实数都能用数轴上的点表示。
3. 示例：$a=\sqrt{5.2}$（答案不唯一，合理即可）
4. 实数与数轴上的点一一对应。
【知识点】
勾股定理的应用、实数的概念、实数与数轴的关系
【点评】
本题围绕实数和数轴的关系设置问题，既考查了无理数的几何作图方法，也考查了对实数相关概念的理解，同时需要掌握无理数大小估算的技能，整体侧重基础概念的理解和简单应用。
【难度系数】
0.75
