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1. 判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)：
(1) 无理数是开方开不尽的数；(
(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$是分数；(
(3) 无限小数都是无理数；(
(4) 实数可分为正实数和负实数；(
(5) 带根号的都是无理数；(
(6) 实数与数轴上的点一一对应.(
(1) 无理数是开方开不尽的数；(
×
)(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$是分数；(
×
)(3) 无限小数都是无理数；(
×
)(4) 实数可分为正实数和负实数；(
×
)(5) 带根号的都是无理数；(
×
)(6) 实数与数轴上的点一一对应.(
√
)答案
1. (1) × (2) × (3) × (4) × (5) × (6) √
解析
【分析】
这道题考查实数的相关基础概念，解题时需先明确无理数、分数、实数的分类、实数与数轴的对应关系等核心定义，再逐一判断每个说法是否符合定义，注意排查概念描述中的遗漏、错误限定等问题。
【解析】
(1) 无理数的本质是无限不循环小数，除了开方开不尽的数，还有如π这类不是通过开方得到的无限不循环小数也属于无理数，因此该说法错误。
(2) 分数属于有理数，是两个整数的比值，√2是无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无理数，不属于分数，该说法错误。
(3) 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，因此该说法错误。
(4) 实数按正负分类可分为正实数、0、负实数，该说法遗漏了0这个类别，因此错误。
(5) 带根号的数如果能开得尽方就属于有理数，例如$\sqrt{4}=2$是有理数，因此该说法错误。
(6) 每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示，反过来，数轴上的每一个点都唯一对应一个实数，二者是一一对应的关系，该说法正确。
【答案】
(1) × (2) × (3) × (4) × (5) × (6) √
【知识点】
无理数的定义、实数的分类、实数与数轴的关系
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于对概念的细节把握不到位，比如忽略无理数的本质属性、遗漏实数分类中的特殊值0等，学习时要准确吃透概念的本质，区分易混淆的表述。
【难度系数】
0.7
这道题考查实数的相关基础概念，解题时需先明确无理数、分数、实数的分类、实数与数轴的对应关系等核心定义，再逐一判断每个说法是否符合定义，注意排查概念描述中的遗漏、错误限定等问题。
【解析】
(1) 无理数的本质是无限不循环小数，除了开方开不尽的数，还有如π这类不是通过开方得到的无限不循环小数也属于无理数，因此该说法错误。
(2) 分数属于有理数，是两个整数的比值，√2是无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无理数，不属于分数，该说法错误。
(3) 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，因此该说法错误。
(4) 实数按正负分类可分为正实数、0、负实数，该说法遗漏了0这个类别，因此错误。
(5) 带根号的数如果能开得尽方就属于有理数，例如$\sqrt{4}=2$是有理数，因此该说法错误。
(6) 每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示，反过来，数轴上的每一个点都唯一对应一个实数，二者是一一对应的关系，该说法正确。
【答案】
(1) × (2) × (3) × (4) × (5) × (6) √
【知识点】
无理数的定义、实数的分类、实数与数轴的关系
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于对概念的细节把握不到位，比如忽略无理数的本质属性、遗漏实数分类中的特殊值0等，学习时要准确吃透概念的本质，区分易混淆的表述。
【难度系数】
0.7
2. 已知下列实数:① π,② $\frac{\sqrt{3}}{2}$,③ $0.\dot{2}\dot{3}$,④ $\frac{22}{7}$,⑤ $\sqrt{8}$,⑥ $-\sqrt{9}$,⑦ $0.1010010001···$(两个1之间依次增加一个0),将正确的序号填入下列括号里:
(1) 属于无理数的是
(1) 属于无理数的是
①②⑤⑦
;(2) 属于分数的是③④
.答案
2. (1) ①②⑤⑦ (2) ③④
解析
【分析】
解题前先明确两个核心概念：1. 无理数是无限不循环小数，常见类型有三类：含π的数、开方开不尽的数的方根、结构有规律但不循环的无限小数；2. 分数属于有理数范畴，包含所有有限小数、无限循环小数，以及可表示为两个整数（分母不为0）比值且非整数的数。解题时先逐个化简、判断给出的7个实数的属性，再分别归类填空即可。
【解析】
我们逐个分析所给实数：
① π：是无限不循环小数，属于无理数；
② $\frac{\sqrt{3}}{2}$：$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，因此$\frac{\sqrt{3}}{2}$是无限不循环小数，属于无理数；
③ $0.\dot{2}\dot{3}$：是无限循环小数，可化为分数$\frac{23}{99}$，属于分数；
④ $\frac{22}{7}$：是两个整数的比值，本身就是分数形式，属于分数；
⑤ $\sqrt{8}$：化简得$2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
⑥ $-\sqrt{9}$：计算得$-3$，是整数，属于有理数，既不属于无理数也不属于分数；
⑦ $0.1010010001···$（两个1之间依次增加一个0）：是无限不循环小数，属于无理数。
据此归类：
(1) 无理数为①②⑤⑦；
(2) 分数为③④。
【答案】
(1) ①②⑤⑦ (2) ③④
【知识点】
无理数的定义；分数的定义；实数的分类
【点评】
本题是实数分类的基础题，解题核心是准确区分无理数和有理数的范畴，尤其要注意：带根号的数需要先化简再判断是否为无理数，不要把π的近似值$\frac{22}{7}$误认为无理数，同时明确无限循环小数属于分数，无限不循环小数才是无理数。
【难度系数】
0.8
解题前先明确两个核心概念：1. 无理数是无限不循环小数，常见类型有三类：含π的数、开方开不尽的数的方根、结构有规律但不循环的无限小数；2. 分数属于有理数范畴，包含所有有限小数、无限循环小数，以及可表示为两个整数（分母不为0）比值且非整数的数。解题时先逐个化简、判断给出的7个实数的属性，再分别归类填空即可。
【解析】
我们逐个分析所给实数：
① π：是无限不循环小数，属于无理数；
② $\frac{\sqrt{3}}{2}$：$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，因此$\frac{\sqrt{3}}{2}$是无限不循环小数，属于无理数；
③ $0.\dot{2}\dot{3}$：是无限循环小数，可化为分数$\frac{23}{99}$，属于分数；
④ $\frac{22}{7}$：是两个整数的比值，本身就是分数形式，属于分数；
⑤ $\sqrt{8}$：化简得$2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
⑥ $-\sqrt{9}$：计算得$-3$，是整数，属于有理数，既不属于无理数也不属于分数；
⑦ $0.1010010001···$（两个1之间依次增加一个0）：是无限不循环小数，属于无理数。
据此归类：
(1) 无理数为①②⑤⑦；
(2) 分数为③④。
【答案】
(1) ①②⑤⑦ (2) ③④
【知识点】
无理数的定义；分数的定义；实数的分类
【点评】
本题是实数分类的基础题，解题核心是准确区分无理数和有理数的范畴，尤其要注意：带根号的数需要先化简再判断是否为无理数，不要把π的近似值$\frac{22}{7}$误认为无理数，同时明确无限循环小数属于分数，无限不循环小数才是无理数。
【难度系数】
0.8
3. 找出下列各数中的无理数,并在数轴上用点将它们表示出来：
$\sqrt{4}, -\dfrac{1}{3}, \sqrt{2}, 3.1212, -π, -\sqrt{3}+1$
$\sqrt{4}, -\dfrac{1}{3}, \sqrt{2}, 3.1212, -π, -\sqrt{3}+1$
答案
解：
对所给各数逐一判断：
$\sqrt{4}=2$，是整数，属于有理数；
$-\frac{1}{3}$是分数，属于有理数；
$3.1212$是有限小数，属于有理数。
因此无理数为：$\boldsymbol{\sqrt{2}}$，$\boldsymbol{-π}$，$\boldsymbol{-\sqrt{3}+1}$。
数轴上的表示方法：
1. 表示$\sqrt{2}$：在数轴正半轴，以原点到数1的线段为边作边长为1的正方形，根据勾股定理，正方形对角线长为$\sqrt{2}$，以原点为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{2}$的点，该点位于1和2之间。
2. 表示$-π$：由$π\approx3.14$，得$-π\approx-3.14$，在数轴上-4和-3之间、距离-3约0.14的位置标注点，该点即为表示$-π$的点。
3. 表示$-\sqrt{3}+1$：由$\sqrt{3}\approx1.732$，得$-\sqrt{3}+1\approx-0.732$，构造斜边长为$\sqrt{3}$的线段，以原点为圆心、该线段长为半径画弧交数轴负半轴于表示$-\sqrt{3}$的点，将该点向右平移1个单位长度，得到的点即为表示$-\sqrt{3}+1$的点，该点位于-1和0之间。
在数轴对应位置标注出上述三个点，完成作图。
对所给各数逐一判断：
$\sqrt{4}=2$，是整数，属于有理数；
$-\frac{1}{3}$是分数，属于有理数；
$3.1212$是有限小数，属于有理数。
因此无理数为：$\boldsymbol{\sqrt{2}}$，$\boldsymbol{-π}$，$\boldsymbol{-\sqrt{3}+1}$。
数轴上的表示方法：
1. 表示$\sqrt{2}$：在数轴正半轴，以原点到数1的线段为边作边长为1的正方形，根据勾股定理，正方形对角线长为$\sqrt{2}$，以原点为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{2}$的点，该点位于1和2之间。
2. 表示$-π$：由$π\approx3.14$，得$-π\approx-3.14$，在数轴上-4和-3之间、距离-3约0.14的位置标注点，该点即为表示$-π$的点。
3. 表示$-\sqrt{3}+1$：由$\sqrt{3}\approx1.732$，得$-\sqrt{3}+1\approx-0.732$，构造斜边长为$\sqrt{3}$的线段，以原点为圆心、该线段长为半径画弧交数轴负半轴于表示$-\sqrt{3}$的点，将该点向右平移1个单位长度，得到的点即为表示$-\sqrt{3}+1$的点，该点位于-1和0之间。
在数轴对应位置标注出上述三个点，完成作图。
解析
【分析】
解题首先要明确有理数和无理数的定义：有理数包含整数、分数（有限小数、无限循环小数都可化为分数，属于有理数），无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等。第一步先逐个判断所给数的类型，筛选出无理数；第二步根据每个无理数的特点，要么通过估算近似值确定数轴上的大致位置，要么利用勾股定理构造对应长度的线段，结合圆规将无理数对应到数轴的点上即可。
【解析】
对所给各数逐一判断：
$\sqrt{4}=2$，是整数，属于有理数；
$-\dfrac{1}{3}$是分数，属于有理数；
$3.1212$是有限小数，可化为分数，属于有理数。
因此无理数为：$\sqrt{2}$，$-π$，$-\sqrt{3}+1$。
数轴上的表示方法：
1. 表示$\sqrt{2}$：在数轴正半轴，以原点到数1的线段为边作边长为1的正方形，根据勾股定理，正方形对角线长为$\sqrt{2}$，以原点为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{2}$的点，该点位于1和2之间。
2. 表示$-π$：由$π\approx3.14$，得$-π\approx-3.14$，在数轴上-4和-3之间、距离-3约0.14的位置标注点，该点即为表示$-π$的点。
3. 表示$-\sqrt{3}+1$：由$\sqrt{3}\approx1.732$，得$-\sqrt{3}+1\approx-0.732$，构造斜边长为$\sqrt{3}$的线段，以原点为圆心、该线段长为半径画弧交数轴负半轴于表示$-\sqrt{3}$的点，将该点向右平移1个单位长度，得到的点即为表示$-\sqrt{3}+1$的点，该点位于-1和0之间。
在数轴对应位置标注出上述三个点，完成作图。
【答案】
无理数为$\boldsymbol{\sqrt{2}}$，$\boldsymbol{-π}$，$\boldsymbol{-\sqrt{3}+1}$，数轴表示方法见解析。
【知识点】
无理数的识别，实数与数轴的关系，勾股定理的应用
【点评】
本题既考查了实数分类的基础概念，也考查了无理数的几何表示方法，需要学生熟练掌握有理数和无理数的区分标准，同时能结合数形结合思想将抽象的无理数对应到数轴上，加深对实数的理解。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确有理数和无理数的定义：有理数包含整数、分数（有限小数、无限循环小数都可化为分数，属于有理数），无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等。第一步先逐个判断所给数的类型，筛选出无理数；第二步根据每个无理数的特点，要么通过估算近似值确定数轴上的大致位置，要么利用勾股定理构造对应长度的线段，结合圆规将无理数对应到数轴的点上即可。
【解析】
对所给各数逐一判断：
$\sqrt{4}=2$，是整数，属于有理数；
$-\dfrac{1}{3}$是分数，属于有理数；
$3.1212$是有限小数，可化为分数，属于有理数。
因此无理数为：$\sqrt{2}$，$-π$，$-\sqrt{3}+1$。
数轴上的表示方法：
1. 表示$\sqrt{2}$：在数轴正半轴，以原点到数1的线段为边作边长为1的正方形，根据勾股定理，正方形对角线长为$\sqrt{2}$，以原点为圆心、对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{2}$的点，该点位于1和2之间。
2. 表示$-π$：由$π\approx3.14$，得$-π\approx-3.14$，在数轴上-4和-3之间、距离-3约0.14的位置标注点，该点即为表示$-π$的点。
3. 表示$-\sqrt{3}+1$：由$\sqrt{3}\approx1.732$，得$-\sqrt{3}+1\approx-0.732$，构造斜边长为$\sqrt{3}$的线段，以原点为圆心、该线段长为半径画弧交数轴负半轴于表示$-\sqrt{3}$的点，将该点向右平移1个单位长度，得到的点即为表示$-\sqrt{3}+1$的点，该点位于-1和0之间。
在数轴对应位置标注出上述三个点，完成作图。
【答案】
无理数为$\boldsymbol{\sqrt{2}}$，$\boldsymbol{-π}$，$\boldsymbol{-\sqrt{3}+1}$，数轴表示方法见解析。
【知识点】
无理数的识别，实数与数轴的关系，勾股定理的应用
【点评】
本题既考查了实数分类的基础概念，也考查了无理数的几何表示方法，需要学生熟练掌握有理数和无理数的区分标准，同时能结合数形结合思想将抽象的无理数对应到数轴上，加深对实数的理解。
【难度系数】
0.7
4. 找出一个有理数 $m$，使$\sqrt{3}＜m＜2.$
答案
4. 1.8
解析
【分析】
解题思路分为三步：首先回忆常见无理数的近似值，我们已知$\sqrt{3}\approx1.732；其次明确有理数的定义：整数、分数（有限小数和无限循环小数均属于有理数）；最后只需在1.732到2的区间内，找出任意一个符合有理数要求的数即可满足题目要求。【解析】解：$
\because \sqrt{3}\approx1.732$，$
\therefore$ 所求有理数$m$需要满足$1.732＜m＜2，且$m$为有理数。
取$m=1.8$，验证可得：$1.732＜1.8＜2$，且1.8是有限小数，属于有理数，符合题目要求。
【答案】
1.8
【知识点】
1. 无理数估算 2. 有理数的概念 3. 实数大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查对有理数概念的掌握和常见无理数的估算能力，只要能正确估算$\sqrt{3}$的近似值，明确有理数的范围即可顺利解答，答案不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：首先回忆常见无理数的近似值，我们已知$\sqrt{3}\approx1.732；其次明确有理数的定义：整数、分数（有限小数和无限循环小数均属于有理数）；最后只需在1.732到2的区间内，找出任意一个符合有理数要求的数即可满足题目要求。【解析】解：$
\because \sqrt{3}\approx1.732$，$
\therefore$ 所求有理数$m$需要满足$1.732＜m＜2，且$m$为有理数。
取$m=1.8$，验证可得：$1.732＜1.8＜2$，且1.8是有限小数，属于有理数，符合题目要求。
【答案】
1.8
【知识点】
1. 无理数估算 2. 有理数的概念 3. 实数大小比较
【点评】
本题属于基础题，主要考查对有理数概念的掌握和常见无理数的估算能力，只要能正确估算$\sqrt{3}$的近似值，明确有理数的范围即可顺利解答，答案不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.8
1. 写出一个小于1的正无理数：. .
答案
1. $\frac{\sqrt{2}}{2}$，答案不唯一
解析
【分析】
解题时首先要明确题目要求的数需要同时满足三个条件：一是正数，二是小于1，三是无理数。我们可以先回忆常见的无理数类型：开方开不尽的数、含π的数等，再对这些无理数进行调整，让它的大小落在0到1之间即可。以开方开不尽的数为例，已知√2≈1.414＞1，我们将它除以2得到√2/2，它的大小约为0.707，刚好在0到1之间，且仍然是无理数，符合要求。
【解析】
要写出小于1的正无理数，需同时满足：①大于0；②小于1；③是无限不循环小数（无理数）。
以$\frac{\sqrt{2}}{2}$为例：
1. 符号判断：$\sqrt{2}$是正数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是正数；
2. 大小判断：$\sqrt{2}\approx1.414$，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707＜1$；
3. 属性判断：$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$也是无理数。
综上，$\frac{\sqrt{2}}{2}$符合要求，此外如$\frac{\sqrt{3}}{3}$、$\frac{π}{4}$等也符合，答案不唯一。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$（答案不唯一）
【知识点】
无理数的定义；实数的大小比较
【点评】
本题是基础开放类题型，核心考查对无理数概念的掌握，以及对实数大小的判断能力，只要同时满足三个限定条件即可，解题时注意不要把有理数错当成无理数填写。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确题目要求的数需要同时满足三个条件：一是正数，二是小于1，三是无理数。我们可以先回忆常见的无理数类型：开方开不尽的数、含π的数等，再对这些无理数进行调整，让它的大小落在0到1之间即可。以开方开不尽的数为例，已知√2≈1.414＞1，我们将它除以2得到√2/2，它的大小约为0.707，刚好在0到1之间，且仍然是无理数，符合要求。
【解析】
要写出小于1的正无理数，需同时满足：①大于0；②小于1；③是无限不循环小数（无理数）。
以$\frac{\sqrt{2}}{2}$为例：
1. 符号判断：$\sqrt{2}$是正数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$是正数；
2. 大小判断：$\sqrt{2}\approx1.414$，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707＜1$；
3. 属性判断：$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{2}$也是无理数。
综上，$\frac{\sqrt{2}}{2}$符合要求，此外如$\frac{\sqrt{3}}{3}$、$\frac{π}{4}$等也符合，答案不唯一。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$（答案不唯一）
【知识点】
无理数的定义；实数的大小比较
【点评】
本题是基础开放类题型，核心考查对无理数概念的掌握，以及对实数大小的判断能力，只要同时满足三个限定条件即可，解题时注意不要把有理数错当成无理数填写。
【难度系数】
0.9
2. 如图，实数$\sqrt{2}$在数轴上的对应点可能是.（第2是）
答案
2. B
解析
【分析】
要确定实数$\sqrt{2}$在数轴上的对应点，首先需要估算$\sqrt{2}$的取值范围，再根据数轴上点的位置判断符合范围的点即可。第一步先找与2相邻的两个完全平方数，1和4都是完全平方数，且$1＜2＜4$，对这三个数同时开平方就能得到$\sqrt{2}$的范围，再匹配数轴上1到2之间的点就是答案。
【解析】
解：先估算$\sqrt{2}$的取值范围：
∵$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$
∴$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$
由此可知$\sqrt{2}$对应的点在数轴上表示1和2的两点之间，观察数轴上的点，只有点B在1和2之间，故对应点为B。
【答案】
B
【知识点】
无理数大小估算；实数与数轴的对应关系
【点评】
本题考查无理数的估算及实数和数轴的对应关系，解题的关键是正确估算出$\sqrt{2}$的取值范围，属于基础题型，熟练掌握常见无理数的估算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要确定实数$\sqrt{2}$在数轴上的对应点，首先需要估算$\sqrt{2}$的取值范围，再根据数轴上点的位置判断符合范围的点即可。第一步先找与2相邻的两个完全平方数，1和4都是完全平方数，且$1＜2＜4$，对这三个数同时开平方就能得到$\sqrt{2}$的范围，再匹配数轴上1到2之间的点就是答案。
【解析】
解：先估算$\sqrt{2}$的取值范围：
∵$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$
∴$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$
由此可知$\sqrt{2}$对应的点在数轴上表示1和2的两点之间，观察数轴上的点，只有点B在1和2之间，故对应点为B。
【答案】
B
【知识点】
无理数大小估算；实数与数轴的对应关系
【点评】
本题考查无理数的估算及实数和数轴的对应关系，解题的关键是正确估算出$\sqrt{2}$的取值范围，属于基础题型，熟练掌握常见无理数的估算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 观察图①，每个小正方形的边长均为1.
（1）图中阴影部分（正方形）的面积是
（2）在图②的数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）；
（3）在图②的数轴上将表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且$MN=MP$，直接写出点N表示的数.
（1）图中阴影部分（正方形）的面积是
17
，边长是$\sqrt{17}$
；（2）在图②的数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）；
（3）在图②的数轴上将表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且$MN=MP$，直接写出点N表示的数.
答案
3. (1) 17 $\sqrt{17}$
(2) 如图，点P即为所求
(3) 设点N表示的数为$x$,由题意得$1-x=\sqrt{17}-1$. 解得$x=2-\sqrt{17}$.
所以点N表示的数为$2-\sqrt{17}$
解析
【分析】
（1）求阴影正方形面积可采用割补法：先计算外围边长为5的大正方形面积，再减去周围4个全等直角三角形的总面积，即可得到阴影部分面积；再根据正方形面积和边长的关系，对面积求算术平方根即可得到边长。
（2）要在数轴上表示$\sqrt{17}$，根据勾股定理可知$\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，因此构造直角边分别为4和1的直角三角形，所得斜边长度就是$\sqrt{17}$，再用圆规将斜边长度转移到数轴上即可。
（3）先求出MP的长度，再根据MN=MP列方程，排除和点P重合的情况后，即可求解点N对应的数。
【解析】
（1）外围大正方形的边长为5，面积为$5×5=25$；
周围4个直角三角形的直角边分别为1和4，单个三角形面积为$\frac{1}{2}×1×4=2$，4个三角形总面积为$4×2=8$；
因此阴影正方形面积为$25-8=17$，设边长为$a(a＞0)$，由$a^2=17$得边长$a=\sqrt{17}$。
（2）作图步骤：①在数轴正半轴上找到表示4的点，过该点作数轴的垂线；②在垂线上截取长度为1的线段；③以原点O为圆心，原点到垂线顶端的线段长为半径画弧，交数轴正半轴于点P，点P即为表示$\sqrt{17}$的点。作图痕迹如图：
（3）设点N表示的数为$x$，已知点M表示的数为1，点P表示的数为$\sqrt{17}$，因此$MP=\sqrt{17}-1$。
由$MN=MP$可得$\vert x-1\vert=\sqrt{17}-1$：
当$x＞1$时，$x-1=\sqrt{17}-1$，解得$x=\sqrt{17}$，和点P重合，舍去；
当$x＜1$时，$1-x=\sqrt{17}-1$，解得$x=2-\sqrt{17}$。
【答案】
（1）$17$，$\sqrt{17}$
（2）如图，点P即为所求
（3）$2-\sqrt{17}$
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，两点距离计算
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，综合了割补法求面积、利用勾股定理构造无理数长度、数轴上两点距离的计算等内容，需要注意第三问求解时要排除和点P重合的情况。
【难度系数】
0.7
（1）求阴影正方形面积可采用割补法：先计算外围边长为5的大正方形面积，再减去周围4个全等直角三角形的总面积，即可得到阴影部分面积；再根据正方形面积和边长的关系，对面积求算术平方根即可得到边长。
（2）要在数轴上表示$\sqrt{17}$，根据勾股定理可知$\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，因此构造直角边分别为4和1的直角三角形，所得斜边长度就是$\sqrt{17}$，再用圆规将斜边长度转移到数轴上即可。
（3）先求出MP的长度，再根据MN=MP列方程，排除和点P重合的情况后，即可求解点N对应的数。
【解析】
（1）外围大正方形的边长为5，面积为$5×5=25$；
周围4个直角三角形的直角边分别为1和4，单个三角形面积为$\frac{1}{2}×1×4=2$，4个三角形总面积为$4×2=8$；
因此阴影正方形面积为$25-8=17$，设边长为$a(a＞0)$，由$a^2=17$得边长$a=\sqrt{17}$。
（2）作图步骤：①在数轴正半轴上找到表示4的点，过该点作数轴的垂线；②在垂线上截取长度为1的线段；③以原点O为圆心，原点到垂线顶端的线段长为半径画弧，交数轴正半轴于点P，点P即为表示$\sqrt{17}$的点。作图痕迹如图：
（3）设点N表示的数为$x$，已知点M表示的数为1，点P表示的数为$\sqrt{17}$，因此$MP=\sqrt{17}-1$。
由$MN=MP$可得$\vert x-1\vert=\sqrt{17}-1$：
当$x＞1$时，$x-1=\sqrt{17}-1$，解得$x=\sqrt{17}$，和点P重合，舍去；
当$x＜1$时，$1-x=\sqrt{17}-1$，解得$x=2-\sqrt{17}$。
【答案】
（1）$17$，$\sqrt{17}$
（2）如图，点P即为所求
（3）$2-\sqrt{17}$
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，两点距离计算
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，综合了割补法求面积、利用勾股定理构造无理数长度、数轴上两点距离的计算等内容，需要注意第三问求解时要排除和点P重合的情况。
【难度系数】
0.7
