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活动一:忆一忆 说一说
1. 在有理数范围内,绝对值、相反数、倒数的意义是什么? 在实数范围内呢? 你能举例说明无理数的绝对值、相反数、倒数的意义吗?
2. 比较两个有理数的大小有哪些方法?
3. 回顾有理数的运算法则,对比实数的运算法则和有理数的运算法则,你有什么想法?
4. 你会应用四舍五入法对一个实数取近似值吗?
1. 在有理数范围内,绝对值、相反数、倒数的意义是什么? 在实数范围内呢? 你能举例说明无理数的绝对值、相反数、倒数的意义吗?
2. 比较两个有理数的大小有哪些方法?
3. 回顾有理数的运算法则,对比实数的运算法则和有理数的运算法则,你有什么想法?
4. 你会应用四舍五入法对一个实数取近似值吗?
答案
解：
1. 有理数范围内：
绝对值：数轴上表示一个有理数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
相反数：只有符号不同的两个有理数互为相反数，0的相反数是0，任意有理数a的相反数为$-a$。
倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数，0没有倒数，任意非零有理数a的倒数为$\frac{1}{a}$。
实数范围内：绝对值、相反数、倒数的意义与有理数范围内的定义完全一致。
举例：无理数$\sqrt{2}$的绝对值是$|\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，相反数是$-\sqrt{2}$，满足$\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$，倒数是$\frac{1}{\sqrt{2}}$，满足$\sqrt{2}×\frac{1}{\sqrt{2}}=1$；无理数$-π$的绝对值是$|-π|=π$，相反数是$π$，倒数是$-\frac{1}{π}$。
2. 比较两个有理数的大小常用方法：
① 数轴比较法：数轴上右边的点对应的数总大于左边的点对应的数；
② 性质比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于所有负数；两个负数比较，绝对值大的数反而小；
③ 作差比较法：对于有理数a、b，若$a-b＞0$则$a＞b$，若$a-b=0$则$a=b$，若$a-b＜0$则$a＜b$；
④ 作商比较法：对于两个正有理数a、b，若$\frac{a}{b}＞1$则$a＞b$，若$\frac{a}{b}=1$则$a=b$，若$\frac{a}{b}＜1$则$a＜b$。
3. 实数的运算法则、运算律和有理数的运算法则、运算律完全一致，有理数的加减乘除、乘方的运算规则，以及加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，在实数范围内全部适用，数的范围扩充到实数后，原有运算规则没有发生改变，同时新增了非负实数可以开偶次方的运算，运算的适用范围得到扩展。
4. 会用四舍五入法对实数取近似值：操作方法和有理数取近似值的规则一致，先确定需要精确到的数位，观察该数位的下一位数字，若下一位数字小于5，就舍去该数位之后的所有部分；若下一位数字大于或等于5，就向该数位进1。例如：将$\sqrt{5}\approx2.23607$精确到0.01，观察千分位数字为6，大于5，进1得到近似值2.24。
1. 有理数范围内：
绝对值：数轴上表示一个有理数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
相反数：只有符号不同的两个有理数互为相反数，0的相反数是0，任意有理数a的相反数为$-a$。
倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数，0没有倒数，任意非零有理数a的倒数为$\frac{1}{a}$。
实数范围内：绝对值、相反数、倒数的意义与有理数范围内的定义完全一致。
举例：无理数$\sqrt{2}$的绝对值是$|\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，相反数是$-\sqrt{2}$，满足$\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$，倒数是$\frac{1}{\sqrt{2}}$，满足$\sqrt{2}×\frac{1}{\sqrt{2}}=1$；无理数$-π$的绝对值是$|-π|=π$，相反数是$π$，倒数是$-\frac{1}{π}$。
2. 比较两个有理数的大小常用方法：
① 数轴比较法：数轴上右边的点对应的数总大于左边的点对应的数；
② 性质比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于所有负数；两个负数比较，绝对值大的数反而小；
③ 作差比较法：对于有理数a、b，若$a-b＞0$则$a＞b$，若$a-b=0$则$a=b$，若$a-b＜0$则$a＜b$；
④ 作商比较法：对于两个正有理数a、b，若$\frac{a}{b}＞1$则$a＞b$，若$\frac{a}{b}=1$则$a=b$，若$\frac{a}{b}＜1$则$a＜b$。
3. 实数的运算法则、运算律和有理数的运算法则、运算律完全一致，有理数的加减乘除、乘方的运算规则，以及加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，在实数范围内全部适用，数的范围扩充到实数后，原有运算规则没有发生改变，同时新增了非负实数可以开偶次方的运算，运算的适用范围得到扩展。
4. 会用四舍五入法对实数取近似值：操作方法和有理数取近似值的规则一致，先确定需要精确到的数位，观察该数位的下一位数字，若下一位数字小于5，就舍去该数位之后的所有部分；若下一位数字大于或等于5，就向该数位进1。例如：将$\sqrt{5}\approx2.23607$精确到0.01，观察千分位数字为6，大于5，进1得到近似值2.24。
解析
【分析】
本题是对有理数与实数相关基础概念的回顾，需分别针对每个问题，先明确有理数范围内的定义、方法，再对应到实数范围，理解实数概念是有理数的合理扩展，运算规则与有理数基本一致，大小比较、近似值取法方法类似，通过举例强化无理数相关概念的理解，梳理知识衔接点。
【解析】
1. 分述有理数和实数范围内的绝对值、相反数、倒数的定义，并举例无理数的对应概念：
有理数范围：绝对值是数轴上点到原点的距离，正数绝对值是本身，负数是相反数，0的绝对值为0；相反数是只有符号不同的两个数，0的相反数是0，任意有理数a的相反数为$-a$；倒数是乘积为1的数，0无倒数，非零有理数a的倒数为$\frac{1}{a}$。
实数范围：上述定义与有理数完全一致，举例如$\sqrt{2}$的绝对值是$\sqrt{2}$，相反数是$-\sqrt{2}$，倒数是$\frac{1}{\sqrt{2}}$；$-π$的绝对值是$π$，相反数是$π$，倒数是$-\frac{1}{π}$。
2. 列举比较两个有理数大小的四种常用方法：数轴比较法（数轴上右边的数大于左边的数）、性质比较法（正数＞0＞负数，两个负数绝对值大的反而小）、作差比较法（$a-b＞0$则$a＞b$，以此类推）、作商比较法（正有理数中$\frac{a}{b}＞1$则$a＞b$，以此类推）。
3. 对比有理数与实数的运算法则：实数的运算法则、运算律与有理数完全一致，原有加减乘除、乘方等运算规则适用，新增非负实数可开偶次方，运算范围扩展。
4. 说明四舍五入法取实数近似值的方法：与有理数取近似值规则相同，先确定精确数位，观察下一位数字，小于5舍去，≥5进1，举例$\sqrt{5}\approx2.23607$精确到0.01得2.24。
【答案】
解：
1. 有理数范围内：
绝对值：数轴上表示一个有理数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
相反数：只有符号不同的两个有理数互为相反数，0的相反数是0，任意有理数a的相反数为$-a$。
倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数，0没有倒数，任意非零有理数a的倒数为$\frac{1}{a}$。
实数范围内：绝对值、相反数、倒数的意义与有理数范围内的定义完全一致。
举例：无理数$\sqrt{2}$的绝对值是$|\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，相反数是$-\sqrt{2}$，满足$\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$，倒数是$\frac{1}{\sqrt{2}}$，满足$\sqrt{2}×\frac{1}{\sqrt{2}}=1$；无理数$-π$的绝对值是$|-π|=π$，相反数是$π$，倒数是$-\frac{1}{π}$。
2. 比较两个有理数的大小常用方法：
① 数轴比较法：数轴上右边的点对应的数总大于左边的点对应的数；
② 性质比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于所有负数；两个负数比较，绝对值大的数反而小；
③ 作差比较法：对于有理数a、b，若$a-b＞0$则$a＞b$，若$a-b=0$则$a=b$，若$a-b＜0$则$a＜b$；
④ 作商比较法：对于两个正有理数a、b，若$\frac{a}{b}＞1$则$a＞b$，若$\frac{a}{b}=1$则$a=b$，若$\frac{a}{b}＜1$则$a＜b$。
3. 实数的运算法则、运算律和有理数的运算法则、运算律完全一致，有理数的加减乘除、乘方的运算规则，以及加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，在实数范围内全部适用，数的范围扩充到实数后，原有运算规则没有发生改变，同时新增了非负实数可以开偶次方的运算，运算的适用范围得到扩展。
4. 会用四舍五入法对实数取近似值：操作方法和有理数取近似值的规则一致，先确定需要精确到的数位，观察该数位的下一位数字，若下一位数字小于5，就舍去该数位之后的所有部分；若下一位数字大于或等于5，就向该数位进1。例如：将$\sqrt{5}\approx2.23607$精确到0.01，观察千分位数字为6，大于5，进1得到近似值2.24。
【知识点】
实数的概念与性质、有理数的大小比较、实数的运算法则
【点评】
本题为实数章节的基础概念回顾题，旨在梳理有理数到实数的知识衔接，巩固核心概念，帮助学生夯实基础，为后续实数运算等内容的学习做好铺垫，属于基础类题目。
【难度系数】
0.7
本题是对有理数与实数相关基础概念的回顾，需分别针对每个问题，先明确有理数范围内的定义、方法，再对应到实数范围，理解实数概念是有理数的合理扩展，运算规则与有理数基本一致，大小比较、近似值取法方法类似，通过举例强化无理数相关概念的理解，梳理知识衔接点。
【解析】
1. 分述有理数和实数范围内的绝对值、相反数、倒数的定义，并举例无理数的对应概念：
有理数范围：绝对值是数轴上点到原点的距离，正数绝对值是本身，负数是相反数，0的绝对值为0；相反数是只有符号不同的两个数，0的相反数是0，任意有理数a的相反数为$-a$；倒数是乘积为1的数，0无倒数，非零有理数a的倒数为$\frac{1}{a}$。
实数范围：上述定义与有理数完全一致，举例如$\sqrt{2}$的绝对值是$\sqrt{2}$，相反数是$-\sqrt{2}$，倒数是$\frac{1}{\sqrt{2}}$；$-π$的绝对值是$π$，相反数是$π$，倒数是$-\frac{1}{π}$。
2. 列举比较两个有理数大小的四种常用方法：数轴比较法（数轴上右边的数大于左边的数）、性质比较法（正数＞0＞负数，两个负数绝对值大的反而小）、作差比较法（$a-b＞0$则$a＞b$，以此类推）、作商比较法（正有理数中$\frac{a}{b}＞1$则$a＞b$，以此类推）。
3. 对比有理数与实数的运算法则：实数的运算法则、运算律与有理数完全一致，原有加减乘除、乘方等运算规则适用，新增非负实数可开偶次方，运算范围扩展。
4. 说明四舍五入法取实数近似值的方法：与有理数取近似值规则相同，先确定精确数位，观察下一位数字，小于5舍去，≥5进1，举例$\sqrt{5}\approx2.23607$精确到0.01得2.24。
【答案】
解：
1. 有理数范围内：
绝对值：数轴上表示一个有理数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
相反数：只有符号不同的两个有理数互为相反数，0的相反数是0，任意有理数a的相反数为$-a$。
倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数，0没有倒数，任意非零有理数a的倒数为$\frac{1}{a}$。
实数范围内：绝对值、相反数、倒数的意义与有理数范围内的定义完全一致。
举例：无理数$\sqrt{2}$的绝对值是$|\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，相反数是$-\sqrt{2}$，满足$\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$，倒数是$\frac{1}{\sqrt{2}}$，满足$\sqrt{2}×\frac{1}{\sqrt{2}}=1$；无理数$-π$的绝对值是$|-π|=π$，相反数是$π$，倒数是$-\frac{1}{π}$。
2. 比较两个有理数的大小常用方法：
① 数轴比较法：数轴上右边的点对应的数总大于左边的点对应的数；
② 性质比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于所有负数；两个负数比较，绝对值大的数反而小；
③ 作差比较法：对于有理数a、b，若$a-b＞0$则$a＞b$，若$a-b=0$则$a=b$，若$a-b＜0$则$a＜b$；
④ 作商比较法：对于两个正有理数a、b，若$\frac{a}{b}＞1$则$a＞b$，若$\frac{a}{b}=1$则$a=b$，若$\frac{a}{b}＜1$则$a＜b$。
3. 实数的运算法则、运算律和有理数的运算法则、运算律完全一致，有理数的加减乘除、乘方的运算规则，以及加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，在实数范围内全部适用，数的范围扩充到实数后，原有运算规则没有发生改变，同时新增了非负实数可以开偶次方的运算，运算的适用范围得到扩展。
4. 会用四舍五入法对实数取近似值：操作方法和有理数取近似值的规则一致，先确定需要精确到的数位，观察该数位的下一位数字，若下一位数字小于5，就舍去该数位之后的所有部分；若下一位数字大于或等于5，就向该数位进1。例如：将$\sqrt{5}\approx2.23607$精确到0.01，观察千分位数字为6，大于5，进1得到近似值2.24。
【知识点】
实数的概念与性质、有理数的大小比较、实数的运算法则
【点评】
本题为实数章节的基础概念回顾题，旨在梳理有理数到实数的知识衔接，巩固核心概念，帮助学生夯实基础，为后续实数运算等内容的学习做好铺垫，属于基础类题目。
【难度系数】
0.7
活动二:想一想 做一做
1. 若$|a|=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$，求$a+b$的值.
2. 比较$\sqrt{3}$与$\sqrt{7}$，$-\sqrt{7}$与$-1.5$的大小.
3. 通过估算，比较$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$与$\dfrac{1}{2}$的大小.
4. 用计算器计算:$\sqrt{3}-\sqrt{2}$. 说一说按键的顺序.
1. 若$|a|=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$，求$a+b$的值.
2. 比较$\sqrt{3}$与$\sqrt{7}$，$-\sqrt{7}$与$-1.5$的大小.
3. 通过估算，比较$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$与$\dfrac{1}{2}$的大小.
4. 用计算器计算:$\sqrt{3}-\sqrt{2}$. 说一说按键的顺序.
答案
1.$\sqrt{3}+\sqrt{2}$或$-\sqrt{3}+\sqrt{2}$
2.$\sqrt{3}＜\sqrt{7},-\sqrt{7}＜-1.5$
3.$\because \sqrt{5}＞2$，$\sqrt{5}-1＞1$，$\therefore \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}＞\dfrac{1}{2}$
4.$\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx0.32$，略
2.$\sqrt{3}＜\sqrt{7},-\sqrt{7}＜-1.5$
3.$\because \sqrt{5}＞2$，$\sqrt{5}-1＞1$，$\therefore \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}＞\dfrac{1}{2}$
4.$\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx0.32$，略
解析
【分析】
1. 第一题利用绝对值的性质：绝对值等于正数的数有两个，互为相反数，先确定a的取值，再分情况计算a+b的值；
2. 第二题比较实数大小，正数的算术平方根随被开方数增大而增大，负数比较时绝对值大的反而小，分别通过被开方数或绝对值判断大小；
3. 第三题通过估算无理数√5的范围，利用不等式性质推导两个分数的大小关系；
4. 第四题明确计算器计算无理数运算的按键顺序，再得出近似结果。
【解析】
1. 解：
∵|a|=√3，
∴a=√3或a=-√3，
当a=√3，b=√2时，a+b=√3+√2；
当a=-√3，b=√2时，a+b=-√3+√2；
综上，a+b的值为√3+√2或-√3+√2。
2. 解：
∵3＜7，
∴√3＜√7；
∵|-√7|=√7，|-1.5|=1.5，且√7＞1.5，
∴-√7＜-1.5。
3. 解：
∵√5＞√4=2，
∴√5-1＞1，两边同除以2得：$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}＞\dfrac{1}{2}$。
4. 解：用计算器计算$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，按键顺序为：先按“√”键输入3，再按“-”键，接着按“√”键输入2，最后按“=”键，计算得$\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx0.32$。
【答案】
1. $\sqrt{3}+\sqrt{2}$或$-\sqrt{3}+\sqrt{2}$；
2. $\sqrt{3}＜\sqrt{7},-\sqrt{7}＜-1.5$；
3. $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}＞\dfrac{1}{2}$；
4. $\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx0.32$，按键顺序略。
【知识点】
绝对值的性质、实数的大小比较、无理数的估算
【点评】
本题组聚焦实数章节基础知识点，涵盖绝对值、实数大小比较、无理数估算及计算器使用，题型基础，注重对核心概念和方法的考查，是巩固实数知识的典型练习题。
【难度系数】
0.7
1. 第一题利用绝对值的性质：绝对值等于正数的数有两个，互为相反数，先确定a的取值，再分情况计算a+b的值；
2. 第二题比较实数大小，正数的算术平方根随被开方数增大而增大，负数比较时绝对值大的反而小，分别通过被开方数或绝对值判断大小；
3. 第三题通过估算无理数√5的范围，利用不等式性质推导两个分数的大小关系；
4. 第四题明确计算器计算无理数运算的按键顺序，再得出近似结果。
【解析】
1. 解：
∵|a|=√3，
∴a=√3或a=-√3，
当a=√3，b=√2时，a+b=√3+√2；
当a=-√3，b=√2时，a+b=-√3+√2；
综上，a+b的值为√3+√2或-√3+√2。
2. 解：
∵3＜7，
∴√3＜√7；
∵|-√7|=√7，|-1.5|=1.5，且√7＞1.5，
∴-√7＜-1.5。
3. 解：
∵√5＞√4=2，
∴√5-1＞1，两边同除以2得：$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}＞\dfrac{1}{2}$。
4. 解：用计算器计算$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，按键顺序为：先按“√”键输入3，再按“-”键，接着按“√”键输入2，最后按“=”键，计算得$\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx0.32$。
【答案】
1. $\sqrt{3}+\sqrt{2}$或$-\sqrt{3}+\sqrt{2}$；
2. $\sqrt{3}＜\sqrt{7},-\sqrt{7}＜-1.5$；
3. $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}＞\dfrac{1}{2}$；
4. $\sqrt{3}-\sqrt{2}\approx0.32$，按键顺序略。
【知识点】
绝对值的性质、实数的大小比较、无理数的估算
【点评】
本题组聚焦实数章节基础知识点，涵盖绝对值、实数大小比较、无理数估算及计算器使用，题型基础，注重对核心概念和方法的考查，是巩固实数知识的典型练习题。
【难度系数】
0.7
