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活动一:忆一忆 做一做
1. 什么是等边三角形？说说等边三角形与等腰三角形的关系.
2. 请制作一张等边三角形纸片.
（1）用折纸的方法找出它的对称轴，你有什么发现？
（2）用量角器量出三个角的大小，你有何发现？你能证明吗？
（3）你能得出等边三角形的哪些特殊性质？
1. 什么是等边三角形？说说等边三角形与等腰三角形的关系.
2. 请制作一张等边三角形纸片.
（1）用折纸的方法找出它的对称轴，你有什么发现？
（2）用量角器量出三个角的大小，你有何发现？你能证明吗？
（3）你能得出等边三角形的哪些特殊性质？
答案
1. 三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形
2.（1）有三条对称轴 （2）三个角相等 （3）三边相等，三个角相等，等等
2.（1）有三条对称轴 （2）三个角相等 （3）三边相等，三个角相等，等等
解析
【分析】
这道题围绕等边三角形的基础概念与性质展开，解题思路如下：①回答定义与关系时，先回忆等边三角形、等腰三角形按边分类的定义，对比二者的边的特征即可得出从属关系；②动手探究部分，（1）折纸时沿着等边三角形每个顶点向对边对折，观察能使两侧完全重合的折痕数量即可得到对称轴的数量；（2）量角后结合等腰三角形“等边对等角”的性质，搭配三角形内角和定理就能证明三个角相等的结论；（3）总结性质时从边、角、对称性三个维度梳理即可。
【解析】
1. 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
二者关系：等腰三角形的定义是“有两条边相等的三角形”，等边三角形三条边都相等，满足等腰三角形的定义，且比普通等腰三角形多了一条边相等的特征，因此等边三角形是特殊的等腰三角形。
2. （1）操作：将等边三角形纸片的任意一个顶点对准对边的中点对折，使折痕两侧的部分完全重合，这条折痕就是一条对称轴；依次对三个顶点做相同操作，共能得到3条不同的折痕，因此可发现等边三角形有3条对称轴。
（2）操作：用量角器测量三个内角的度数，发现三个角的度数均为60°，即三个角都相等。
证明：已知△ABC是等边三角形，因此AB=BC=AC。
∵AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠B=∠C；
∵AB=BC，同理可得∠A=∠C；
∴∠A=∠B=∠C，又
∵三角形内角和为180°，因此∠A=∠B=∠C=180°÷3=60°，得证三个角相等。
（3）梳理可得等边三角形的特殊性质：三条边长度相等；三个内角都相等，且每个内角都是60°；有3条对称轴，每条边上的高、中线和对应的角平分线互相重合（三线合一）。
【答案】
1. 三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形
2.（1）有三条对称轴 （2）三个角相等 （3）三边相等，三个角相等，等等
【知识点】
等边三角形定义；等边三角形性质；等腰与等边的关系
【点评】
本题通过概念回忆、动手操作结合逻辑证明的方式探究等边三角形的相关内容，符合认知规律，既强化了对基础概念的理解，也锻炼了动手探究和逻辑推理能力，是等边三角形性质学习的基础题型。
【难度系数】
0.8
这道题围绕等边三角形的基础概念与性质展开，解题思路如下：①回答定义与关系时，先回忆等边三角形、等腰三角形按边分类的定义，对比二者的边的特征即可得出从属关系；②动手探究部分，（1）折纸时沿着等边三角形每个顶点向对边对折，观察能使两侧完全重合的折痕数量即可得到对称轴的数量；（2）量角后结合等腰三角形“等边对等角”的性质，搭配三角形内角和定理就能证明三个角相等的结论；（3）总结性质时从边、角、对称性三个维度梳理即可。
【解析】
1. 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
二者关系：等腰三角形的定义是“有两条边相等的三角形”，等边三角形三条边都相等，满足等腰三角形的定义，且比普通等腰三角形多了一条边相等的特征，因此等边三角形是特殊的等腰三角形。
2. （1）操作：将等边三角形纸片的任意一个顶点对准对边的中点对折，使折痕两侧的部分完全重合，这条折痕就是一条对称轴；依次对三个顶点做相同操作，共能得到3条不同的折痕，因此可发现等边三角形有3条对称轴。
（2）操作：用量角器测量三个内角的度数，发现三个角的度数均为60°，即三个角都相等。
证明：已知△ABC是等边三角形，因此AB=BC=AC。
∵AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠B=∠C；
∵AB=BC，同理可得∠A=∠C；
∴∠A=∠B=∠C，又
∵三角形内角和为180°，因此∠A=∠B=∠C=180°÷3=60°，得证三个角相等。
（3）梳理可得等边三角形的特殊性质：三条边长度相等；三个内角都相等，且每个内角都是60°；有3条对称轴，每条边上的高、中线和对应的角平分线互相重合（三线合一）。
【答案】
1. 三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形
2.（1）有三条对称轴 （2）三个角相等 （3）三边相等，三个角相等，等等
【知识点】
等边三角形定义；等边三角形性质；等腰与等边的关系
【点评】
本题通过概念回忆、动手操作结合逻辑证明的方式探究等边三角形的相关内容，符合认知规律，既强化了对基础概念的理解，也锻炼了动手探究和逻辑推理能力，是等边三角形性质学习的基础题型。
【难度系数】
0.8
活动二:想一想 说一说
1. 一个三角形的三个角都相等,这个三角形是等边三角形吗?为什么?
2. 有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形吗?为什么?
1. 一个三角形的三个角都相等,这个三角形是等边三角形吗?为什么?
2. 有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形吗?为什么?
答案
1. 是等边三角形
2. 是等边三角形
2. 是等边三角形
解析
【分析】
解题时可结合三角形内角和定理、等腰三角形性质及等边三角形判定规则思考：
1. 针对第一问，先利用三角形内角和为180°求出三个等角的度数，再根据“等角对等边”推导三边的关系，即可判断是否为等边三角形。
2. 针对第二问，因为等腰三角形的角分为顶角和底角，所以需分60°角是顶角、60°角是底角两种情况讨论，分别计算剩余角的度数，再验证是否符合等边三角形的特征。
【解析】
1. 这个三角形是等边三角形，理由如下：
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，若三角形三个角都相等，则每个角的度数为$180°÷3=60°$。根据“等角对等边”的性质，三个角相等则它们所对的三条边也相等，三条边都相等的三角形是等边三角形，因此三个角都相等的三角形是等边三角形。
2. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，理由如下：
分两种情况讨论：
① 若已知的$60°$角是等腰三角形的顶角：根据等腰三角形两底角相等的性质，两个底角的度数为$(180°-60°)÷2=60°$，此时三角形三个角均为$60°$，三个角相等则三边相等，为等边三角形；
② 若已知的$60°$角是等腰三角形的底角：则另一个底角也为$60°$，顶角的度数为$180°-60°×2=60°$，此时三角形三个角也均为$60°$，三边相等，为等边三角形。
综上，有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形。
【答案】
1. 是等边三角形
2. 是等边三角形
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题考查等边三角形的基本判定，解题关键是明确等腰三角形的角需分类讨论，熟练掌握三角形相关性质和判定定理即可快速解题，注意分类讨论时不要漏项。
【难度系数】
0.8
解题时可结合三角形内角和定理、等腰三角形性质及等边三角形判定规则思考：
1. 针对第一问，先利用三角形内角和为180°求出三个等角的度数，再根据“等角对等边”推导三边的关系，即可判断是否为等边三角形。
2. 针对第二问，因为等腰三角形的角分为顶角和底角，所以需分60°角是顶角、60°角是底角两种情况讨论，分别计算剩余角的度数，再验证是否符合等边三角形的特征。
【解析】
1. 这个三角形是等边三角形，理由如下：
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，若三角形三个角都相等，则每个角的度数为$180°÷3=60°$。根据“等角对等边”的性质，三个角相等则它们所对的三条边也相等，三条边都相等的三角形是等边三角形，因此三个角都相等的三角形是等边三角形。
2. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，理由如下：
分两种情况讨论：
① 若已知的$60°$角是等腰三角形的顶角：根据等腰三角形两底角相等的性质，两个底角的度数为$(180°-60°)÷2=60°$，此时三角形三个角均为$60°$，三个角相等则三边相等，为等边三角形；
② 若已知的$60°$角是等腰三角形的底角：则另一个底角也为$60°$，顶角的度数为$180°-60°×2=60°$，此时三角形三个角也均为$60°$，三边相等，为等边三角形。
综上，有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形。
【答案】
1. 是等边三角形
2. 是等边三角形
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题考查等边三角形的基本判定，解题关键是明确等腰三角形的角需分类讨论，熟练掌握三角形相关性质和判定定理即可快速解题，注意分类讨论时不要漏项。
【难度系数】
0.8
1. 在等边三角形中,两条中线所夹的钝角的度数为 （
A.$120°$
B.$130°$
C.$150°$
D.$160°$
A
）A.$120°$
B.$130°$
C.$150°$
D.$160°$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆等边三角形的相关性质：等边三角形每个内角都是60°，且中线、角平分线、高线互相重合（三线合一）。我们可以先设出等边三角形和两条中线，找到两条中线相交形成的钝角所在的三角形，利用三线合一得出这个三角形两个底角的度数，最后结合三角形内角和定理即可算出钝角的度数。
【解析】
设等边三角形为$△ ABC$，$BD$、$CE$分别是$AC$、$AB$边上的中线，两条中线交于点$O$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=60°$，
又$\because$等边三角形三线合一，$BD$、$CE$是中线，
$\therefore BD$平分$∠ ABC$，$CE$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$，
在$△ OBC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-30°-30°=120°$，
$∠ BOC$就是两条中线所夹的钝角，度数为$120°$。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对等边三角形三线合一性质以及三角形内角和的运用，熟练掌握相关性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆等边三角形的相关性质：等边三角形每个内角都是60°，且中线、角平分线、高线互相重合（三线合一）。我们可以先设出等边三角形和两条中线，找到两条中线相交形成的钝角所在的三角形，利用三线合一得出这个三角形两个底角的度数，最后结合三角形内角和定理即可算出钝角的度数。
【解析】
设等边三角形为$△ ABC$，$BD$、$CE$分别是$AC$、$AB$边上的中线，两条中线交于点$O$。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=60°$，
又$\because$等边三角形三线合一，$BD$、$CE$是中线，
$\therefore BD$平分$∠ ABC$，$CE$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$，
在$△ OBC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-30°-30°=120°$，
$∠ BOC$就是两条中线所夹的钝角，度数为$120°$。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对等边三角形三线合一性质以及三角形内角和的运用，熟练掌握相关性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
