2. 如图，在△ABC中，AB=BC=AC，AD是中线，点E在边AC上，AE=AD，则∠EDC=°

15

【分析】
首先根据AB=BC=AC可判定△ABC是等边三角形，得到所有内角均为60°；再利用等边三角形三线合一的性质，由AD是中线得出AD⊥BC、AD平分∠BAC，进而得到∠ADC=90°、∠DAC=30°；接着根据AD=AE可知△ADE是等腰三角形，结合三角形内角和计算出∠ADE的度数；最后用∠ADC减去∠ADE即可求出∠EDC的度数。
【解析】
解：
∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°。
∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC（等边三角形三线合一），
∴∠ADC=90°，∠DAC=½∠BAC=30°。
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠DAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠EDC=∠ADC - ∠ADE=90°-75°=15°。
【答案】
15
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰、等边三角形性质的综合基础题，解题核心是熟练运用等边三角形三线合一的性质得到关键角的度数，再结合等腰三角形等边对等角的特征推导计算，是等腰三角形章节的常规考察题型。
【难度系数】
0.7

如图,以正方形ABCD的一边CD为边向外作等边三角形CDE,则∠AEB=

30

【分析】
解题时首先结合正方形和等边三角形的性质，发现二者边长相等，可推导出AD=DE、BC=CE，即△ADE和△BCE均为等腰三角形；接下来先计算两个等腰三角形的顶角度数，利用等腰三角形等边对等角的性质求出底角∠AED和∠BEC的度数；最后用等边三角形的内角∠DEC减去两个底角的度数，即可得到∠AEB的大小。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=CD=BC，∠ADC=∠BCD=90°
∵△CDE是等边三角形
∴CD=DE=CE，∠CDE=∠DCE=∠DEC=60°
∴AD=DE，BC=CE
∴∠ADE=∠ADC + ∠CDE=90°+60°=150°，同理∠BCE=150°
在△ADE中，AD=DE
∴∠DEA=∠DAE=(180°-∠ADE)÷2=(180°-150°)÷2=15°
同理可得∠BEC=15°
∴∠AEB=∠DEC - ∠DEA - ∠BEC=60°-15°-15°=30°
【答案】
30
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是特殊多边形性质的综合应用题，解题的核心是挖掘图形中隐含的等腰三角形，通过角度的和差计算求出目标角，是几何角度计算类的典型基础题型。
【难度系数】
0.7

4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，$AD⊥ AB$，$AE⊥ AC$，垂足均为$A$. $△ ADE$是等边三角形吗？为什么？

是等边三角形，理由略

【分析】
要判断△ADE是否为等边三角形，可通过判定其三个内角均为60°来证明。首先利用等腰三角形的性质求出△ABC的底角度数，再结合垂直的条件分别求出△ADE中∠ADE、∠AED的度数，最后求出∠DAE的度数，验证三个角是否都等于60°即可得出结论。
【解析】
解：△ADE是等边三角形，理由如下：
1. 求△ABC的底角度数
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，可得：
$∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
2. 求$∠ ADE$的度数
∵ $AD⊥ AB$，
∴ $∠ BAD=90°$，
在$Rt△ ABD$中，直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ ADE=90°-∠ B=90°-30°=60°$。
3. 求$∠ AED$的度数
∵ $AE⊥ AC$，
∴ $∠ CAE=90°$，
在$Rt△ ACE$中，同理可得：
$∠ AED=90°-∠ C=90°-30°=60°$。
4. 求$∠ DAE$的度数
在$△ ADE$中，根据三角形内角和为180°：
$∠ DAE=180°-∠ ADE-∠ AED=180°-60°-60°=60°$。
∴ $∠ DAE=∠ ADE=∠ AED=60°$，因此$△ ADE$是等边三角形。
【答案】
$△ ADE$是等边三角形，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形性质和等边三角形判定的基础应用，解题的关键是先求出等腰三角形的底角，再结合垂直关系计算目标三角形的内角度数，掌握特殊三角形的性质和判定定理是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7

5. 如图，AB=BC，∠CDE=120°，DF//BA，且DF平分∠CDE. 求证：△ABC是等边三角形. （第5题）

∵ DF平分∠CDE,
∴ ∠CDF=∠EDF=$\frac{1}{2}$∠CDE=60°.
∵ DF//BA,
∴ ∠ABC=∠CDF=60°.
∵ AB=BC,
∴ △ABC是等边三角形

【分析】
要证明△ABC是等边三角形，已知AB=BC，即△ABC是等腰三角形，根据等边三角形的判定定理，只需证明该等腰三角形有一个内角为60°即可，因此解题核心是求出∠ABC的度数。首先利用角平分线的性质计算∠CDF的度数，再结合平行线的同位角相等性质，即可得到∠ABC的度数，最终完成证明。
【解析】
证明：
∵ DF平分∠CDE，
∴ ∠CDF=∠EDF=$\frac{1}{2}$∠CDE=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∵ DF//BA，
∴ ∠ABC=∠CDF=60°，
又
∵ AB=BC，
∴ △ABC是等边三角形。
【答案】
△ABC是等边三角形
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，侧重考查基础几何定理的综合运用，解题的关键是理清推导逻辑，通过角平分线和平行线的性质得到等腰三角形的60°内角，即可快速得证。
【难度系数】
0.8

1. 等腰三角形的周长为80，若以它的底边为边的等边三角形的周长为30，则该等腰三角形的腰长为 （）

A.25
B.35
C.30
D.40

B

【分析】
解题时可按三步思考：第一步，先利用等边三角形周长求等腰三角形的底边长，等边三角形三边相等，用周长除以3即可得到底边长度；第二步，结合等腰三角形两腰相等的性质，用周长减去底边长后除以2就能得到腰长；第三步，验证得到的三边长是否满足三角形三边关系，确认结果合理。
【解析】
1. 计算等腰三角形的底边长
因为等边三角形的三边长度相等，已知以该等腰三角形底边为边的等边三角形周长为30，所以等腰三角形的底边长为：$30÷3=10$
2. 计算等腰三角形的腰长
设等腰三角形的腰长为$x$，等腰三角形的周长公式为：$周长=2×腰长+底边长$，将周长80、底边长10代入公式得：
$2x+10=80$
移项计算得：$2x=70$，解得$x=35$
3. 验证三边关系
得到的三边长为35、35、10，满足$35+35＞10$、$35+10＞35$，符合三角形构成条件，结果有效。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形性质、等腰三角形周长计算、三角形三边关系
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考察特殊三角形的基本性质应用，解题关键是先通过等边三角形的周长求出等腰三角形的底边长，再结合等腰三角形周长公式求解，注意最后验证三边关系可避免出现错误结果。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且$CE=CD$, $DM⊥ BC$,垂足为M.求证:M是BE的中点.

连接BD,在等边三角形ABC中,D是AC的中点,
∴ ∠DBC=30°.
∵ CD=CE,
∴ ∠E=30°.
∴ ∠DBC=∠E.
∴ DB=DE.
∵ DM⊥BE,
∴ M是BE的中点

【分析】
要证明M是BE的中点，已知DM⊥BE，结合等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明△BDE是等腰三角形，即DB=DE即可。要证DB=DE，可通过证明∠DBC=∠E推导：首先利用等边三角形的性质和中点的条件求出∠DBC的度数，再结合CE=CD，利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出∠E的度数，验证两角相等得到DB=DE，最后结合垂线条件即可得证。
【解析】
证明：连接BD，
在等边三角形ABC中，D是AC的中点，根据等边三角形三线合一的性质，BD是∠ABC的角平分线，∠ABC=∠ACB=60°，因此∠DBC=½∠ABC=30°。
已知CE=CD，因此△CDE为等腰三角形，∠CDE=∠E。又因为∠ACB是△CDE的外角，所以∠ACB=∠CDE+∠E=2∠E=60°，解得∠E=30°。
由此可得∠DBC=∠E，根据等角对等边，可得DB=DE，即△BDE为等腰三角形。
已知DM⊥BE，根据等腰三角形三线合一的性质，可得M是BE的中点。
【答案】
连接BD,在等边三角形ABC中,D是AC的中点,
∴ ∠DBC=30°.
∵ CD=CE,
∴ ∠E=30°.
∴ ∠DBC=∠E.
∴ DB=DE.
∵ DM⊥BE,
∴ M是BE的中点
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的判定、等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础的几何证明题，主要考查特殊三角形性质的综合应用，解题的关键是通过角的等量关系证明△BDE为等腰三角形，再结合三线合一的性质得到结论，熟练掌握等边、等腰三角形的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7