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2. 剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美. 如图是一个蝴蝶剪纸，可以看作一个轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为$(2m,-n)$，其关于y轴对称的点F的坐标为$(3-n,-m+1)$，那么$m-n$的值为（
A.$-9$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
D
）A.$-9$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们可以利用这个规律，将点E和其对称点F的坐标对应相等，列出关于m、n的二元一次方程组，解出m、n的值后，再计算m-n即可得到答案。
【解析】
∵ 点$E(2m,-n)$与点$F(3-n,-m+1)$关于y轴对称，
根据关于y轴对称的点的坐标特征，可得：
$\begin{cases}-2m=3-n & \mathrm{（横坐标互为相反数）} \\ -n=-m+1 & \mathrm{（纵坐标相等）}\end{cases}$
由第二个方程变形得：$n=m-1$，将其代入第一个方程：
$m-1-2m=3$
解得：$m=-4$
把$m=-4$代入$n=m-1$，得$n=-4-1=-5$
∴ $m-n=-4-(-5)=1$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征、解二元一次方程组
【点评】
本题结合传统剪纸艺术考查轴对称的坐标性质，解题核心是熟练掌握坐标系中轴对称的坐标变化规律，通过列方程组求解未知参数即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们可以利用这个规律，将点E和其对称点F的坐标对应相等，列出关于m、n的二元一次方程组，解出m、n的值后，再计算m-n即可得到答案。
【解析】
∵ 点$E(2m,-n)$与点$F(3-n,-m+1)$关于y轴对称，
根据关于y轴对称的点的坐标特征，可得：
$\begin{cases}-2m=3-n & \mathrm{（横坐标互为相反数）} \\ -n=-m+1 & \mathrm{（纵坐标相等）}\end{cases}$
由第二个方程变形得：$n=m-1$，将其代入第一个方程：
$m-1-2m=3$
解得：$m=-4$
把$m=-4$代入$n=m-1$，得$n=-4-1=-5$
∴ $m-n=-4-(-5)=1$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征、解二元一次方程组
【点评】
本题结合传统剪纸艺术考查轴对称的坐标性质，解题核心是熟练掌握坐标系中轴对称的坐标变化规律，通过列方程组求解未知参数即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 如果点$A(a,b)$在第三象限,则点$B(-a+1,3b-5)$关于原点的对称点在第
二
象限.答案
3. 二
解析
【分析】
解题时遵循以下思路：①首先根据第三象限内点的横、纵坐标均为负数，得出参数a、b的取值范围；②再依据“关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数”，写出点B关于原点对称的点的坐标表达式；③最后结合a、b的取值范围，判断所求点横、纵坐标的符号，根据各象限的坐标符号特征确定其所在象限。
【解析】
解：
∵点$A(a,b)$在第三象限，
∴$a＜0$，$b＜0$。
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点$B(-a+1,3b-5)$关于原点的对称点的坐标为：
横坐标：$-(-a+1)=a-1$，纵坐标：$-(3b-5)=-3b+5$。
判断坐标符号：
由$a＜0$可得$a-1＜0-1=-1＜0$，即横坐标为负；
由$b＜0$可得$-3b＞0$，因此$-3b+5＞0+5=5＞0$，即纵坐标为正。
∵第二象限内点的坐标特征为（负，正），
∴该对称点在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 关于原点对称的点的坐标规律
3. 代数式符号判断
【点评】
本题属于坐标与象限结合的基础题，核心考查各类坐标变换的规律和各象限的坐标符号特点，解题关键是先根据已知条件确定参数的取值范围，再推导所求点的坐标符号，熟练掌握相关基础概念就能快速解答。
【难度系数】
0.7
解题时遵循以下思路：①首先根据第三象限内点的横、纵坐标均为负数，得出参数a、b的取值范围；②再依据“关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数”，写出点B关于原点对称的点的坐标表达式；③最后结合a、b的取值范围，判断所求点横、纵坐标的符号，根据各象限的坐标符号特征确定其所在象限。
【解析】
解：
∵点$A(a,b)$在第三象限，
∴$a＜0$，$b＜0$。
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴点$B(-a+1,3b-5)$关于原点的对称点的坐标为：
横坐标：$-(-a+1)=a-1$，纵坐标：$-(3b-5)=-3b+5$。
判断坐标符号：
由$a＜0$可得$a-1＜0-1=-1＜0$，即横坐标为负；
由$b＜0$可得$-3b＞0$，因此$-3b+5＞0+5=5＞0$，即纵坐标为正。
∵第二象限内点的坐标特征为（负，正），
∴该对称点在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 关于原点对称的点的坐标规律
3. 代数式符号判断
【点评】
本题属于坐标与象限结合的基础题，核心考查各类坐标变换的规律和各象限的坐标符号特点，解题关键是先根据已知条件确定参数的取值范围，再推导所求点的坐标符号，熟练掌握相关基础概念就能快速解答。
【难度系数】
0.7
4. 在平面直角坐标系中，对$△ ABC$按照如图所示的方式进行若干次轴对称变换，若点A的坐标是$(a,b)$，则经过第1002次变换后所得的三角形中，点A的对应点的坐标是
$(-a,-b)$
。答案
4. $(-a,-b)$
解析
【分析】解题时先回忆轴对称的坐标变化规律：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标变为相反数。我们先依次写出前4次变换后点A的坐标，找到变换的循环周期，再用总变换次数除以周期，根据余数确定第1002次变换后对应点的坐标。
【解析】已知初始点A的坐标为$(a,b)$：
1. 第1次关于x轴对称变换后，点A的对应点坐标为$(a,-b)$；
2. 第2次关于y轴对称变换后，点A的对应点坐标为$(-a,-b)$；
3. 第3次关于x轴对称变换后，点A的对应点坐标为$(-a,b)$；
4. 第4次关于y轴对称变换后，点A的对应点坐标为$(a,b)$，和初始坐标一致，可得每4次变换为一个循环周期。
计算$1002÷4=250······2$，即1002次变换包含250个完整周期，剩余2次变换，因此第1002次变换后点A的对应点坐标和第2次变换后的坐标相同，为$(-a,-b)$。
【答案】$(-a,-b)$
【知识点】1. 关于x轴对称的坐标特征 2. 关于y轴对称的坐标特征 3. 周期规律探究
【点评】本题将轴对称的坐标变化和周期规律结合考查，解题的核心是先通过列举前几次变换结果找到循环周期，再结合余数判断最终结果，属于基础类规律探究题。
【难度系数】0.7
【解析】已知初始点A的坐标为$(a,b)$：
1. 第1次关于x轴对称变换后，点A的对应点坐标为$(a,-b)$；
2. 第2次关于y轴对称变换后，点A的对应点坐标为$(-a,-b)$；
3. 第3次关于x轴对称变换后，点A的对应点坐标为$(-a,b)$；
4. 第4次关于y轴对称变换后，点A的对应点坐标为$(a,b)$，和初始坐标一致，可得每4次变换为一个循环周期。
计算$1002÷4=250······2$，即1002次变换包含250个完整周期，剩余2次变换，因此第1002次变换后点A的对应点坐标和第2次变换后的坐标相同，为$(-a,-b)$。
【答案】$(-a,-b)$
【知识点】1. 关于x轴对称的坐标特征 2. 关于y轴对称的坐标特征 3. 周期规律探究
【点评】本题将轴对称的坐标变化和周期规律结合考查，解题的核心是先通过列举前几次变换结果找到循环周期，再结合余数判断最终结果，属于基础类规律探究题。
【难度系数】0.7
5. 在平面直角坐标系中，直线 $ l $ 过点 $ M(3,0) $，且平行于 $ y $ 轴.
(1) 如果 $ △ ABC $ 三个顶点的坐标分别是 $ A(-2,0), B(-1,0), C(-1,2), △ ABC $ 关于 $ y $ 轴的对称图形是 $ △ A_1B_1C_1, △ A_1B_1C_1 $ 关于直线 $ l $ 的对称图形是 $ △ A_2B_2C_2 $，写出 $ △ A_2B_2C_2 $ 的三个顶点的坐标；
(2) 如果点 $ P $ 的坐标是 $ (-a,0) $，其中 $ a＞0 $，点 $ P $ 关于 $ y $ 轴的对称点是 $ P_1 $，点 $ P_1 $ 关于直线 $ l $ 的对称点是 $ P_2 $，求线段 $ PP_2 $ 的长.
(1) 如果 $ △ ABC $ 三个顶点的坐标分别是 $ A(-2,0), B(-1,0), C(-1,2), △ ABC $ 关于 $ y $ 轴的对称图形是 $ △ A_1B_1C_1, △ A_1B_1C_1 $ 关于直线 $ l $ 的对称图形是 $ △ A_2B_2C_2 $，写出 $ △ A_2B_2C_2 $ 的三个顶点的坐标；
(2) 如果点 $ P $ 的坐标是 $ (-a,0) $，其中 $ a＞0 $，点 $ P $ 关于 $ y $ 轴的对称点是 $ P_1 $，点 $ P_1 $ 关于直线 $ l $ 的对称点是 $ P_2 $，求线段 $ PP_2 $ 的长.
答案
5. (1) $△A_2B_2C_2$的三个顶点的坐标分别是$A_2(4,0),B_2(5,0),C_2(5,2)$ (2) $PP_2=6$
解析
【分析】
解题时需分步骤利用轴对称的坐标变化规律求解：
1. 第(1)问先根据“关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数”求出$△ A_1B_1C_1$的坐标；再根据“关于直线$x=3$对称的点纵坐标不变，两点横坐标的平均值为3”，即对称点横坐标$x'=6-$原横坐标，求出$△ A_2B_2C_2$的坐标。
2. 第(2)问同理先依次求出点$P$经两次对称后的点$P_2$的坐标，再根据x轴上两点距离等于横坐标差的绝对值计算$PP_2$的长度，计算过程中参数$a$会抵消，可得定值。
【解析】
(1) ①求$△ A_1B_1C_1$的坐标：
关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标取相反数，已知$A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2)$，因此：
$A_1(2,0)$，$B_1(1,0)$，$C_1(1,2)$。
②求$△ A_2B_2C_2$的坐标：
直线$l$为$x=3$，关于$x=3$对称的点纵坐标不变，对称点横坐标为$6-$原横坐标：
$A_2$横坐标：$6-2=4$，得$A_2(4,0)$；
$B_2$横坐标：$6-1=5$，得$B_2(5,0)$；
$C_2$横坐标：$6-1=5$，纵坐标不变为2，得$C_2(5,2)$。
(2) ①求点$P$关于y轴的对称点$P_1$：
$P(-a,0)$，关于y轴对称后横坐标取相反数，得$P_1(a,0)$。
②求$P_1$关于直线$l:x=3$的对称点$P_2$：
设$P_2$横坐标为$x$，由对称性质得$\frac{a+x}{2}=3$，解得$x=6-a$，纵坐标为0，即$P_2(6-a,0)$。
③计算$PP_2$的长度：
x轴上两点距离为横坐标差的绝对值，因此$PP_2=|(6-a)-(-a)|=|6|=6$。
【答案】
(1) $A_2(4,0),B_2(5,0),C_2(5,2)$
(2) $PP_2=6$
【知识点】
轴对称的坐标变化、两点间距离计算
【点评】
本题核心考查两次轴对称变换下的坐标规律，按照变换顺序逐步推导即可，第二问的结果为定值，计算时参数$a$会自然消去，无需额外代入数值求解。
【难度系数】
0.7
解题时需分步骤利用轴对称的坐标变化规律求解：
1. 第(1)问先根据“关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数”求出$△ A_1B_1C_1$的坐标；再根据“关于直线$x=3$对称的点纵坐标不变，两点横坐标的平均值为3”，即对称点横坐标$x'=6-$原横坐标，求出$△ A_2B_2C_2$的坐标。
2. 第(2)问同理先依次求出点$P$经两次对称后的点$P_2$的坐标，再根据x轴上两点距离等于横坐标差的绝对值计算$PP_2$的长度，计算过程中参数$a$会抵消，可得定值。
【解析】
(1) ①求$△ A_1B_1C_1$的坐标：
关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标取相反数，已知$A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2)$，因此：
$A_1(2,0)$，$B_1(1,0)$，$C_1(1,2)$。
②求$△ A_2B_2C_2$的坐标：
直线$l$为$x=3$，关于$x=3$对称的点纵坐标不变，对称点横坐标为$6-$原横坐标：
$A_2$横坐标：$6-2=4$，得$A_2(4,0)$；
$B_2$横坐标：$6-1=5$，得$B_2(5,0)$；
$C_2$横坐标：$6-1=5$，纵坐标不变为2，得$C_2(5,2)$。
(2) ①求点$P$关于y轴的对称点$P_1$：
$P(-a,0)$，关于y轴对称后横坐标取相反数，得$P_1(a,0)$。
②求$P_1$关于直线$l:x=3$的对称点$P_2$：
设$P_2$横坐标为$x$，由对称性质得$\frac{a+x}{2}=3$，解得$x=6-a$，纵坐标为0，即$P_2(6-a,0)$。
③计算$PP_2$的长度：
x轴上两点距离为横坐标差的绝对值，因此$PP_2=|(6-a)-(-a)|=|6|=6$。
【答案】
(1) $A_2(4,0),B_2(5,0),C_2(5,2)$
(2) $PP_2=6$
【知识点】
轴对称的坐标变化、两点间距离计算
【点评】
本题核心考查两次轴对称变换下的坐标规律，按照变换顺序逐步推导即可，第二问的结果为定值，计算时参数$a$会自然消去，无需额外代入数值求解。
【难度系数】
0.7
