活动一:做一做 填一填
1. 完成课本第122~123页的“活动”并填空：
(1) 点$P(1,-3)$关于$x$轴的对称点$P'$的坐标为.
(2) 点$P(1,-3)$关于$y$轴的对称点$P''$的坐标为.
(3) 点$P'$与点$P''$位置上有何关系？坐标之间有何联系？

1.(1) (1,3) (2) (-1,-3) (3) 关于原点对称，横、纵坐标均为相反数

【分析】
解决本题首先要熟记平面直角坐标系中对称点的坐标变化规律：①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数。前两问直接套用对应对称的坐标规律即可求出点的坐标，第三问先写出前两问得到的两个点的坐标，对比横纵坐标的关系，再结合原点对称的坐标特征判断位置关系即可。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原坐标的相反数。点$P(1,-3)$的横坐标为1保持不变，纵坐标$-3$的相反数是3，因此点$P'$的坐标为$(1,3)$。
(2) 根据关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数。点$P(1,-3)$的纵坐标为$-3$保持不变，横坐标1的相反数是$-1$，因此点$P''$的坐标为$(-1,-3)$。
(3) 由前两问可得$P'(1,3)$，$P''(-1,-3)$，对比两点坐标：横坐标1和$-1$互为相反数，纵坐标3和$-3$互为相反数，符合关于原点对称的点的坐标特征，因此点$P'$与点$P''$关于原点对称，坐标上的联系是横、纵坐标均为相反数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,3)}$
(2) $\boldsymbol{(-1,-3)}$
(3) 关于原点对称，横、纵坐标均为相反数
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的对称相关规律，属于基础题型，熟练掌握不同对称方式对应的坐标变化特点，是解决图形坐标变换类问题的基础。
【难度系数】
0.9

2. 归纳:如果点P的坐标为$(a,b)$,那么点P关于x轴对称的点的坐标为,关于y轴对称的点的坐标为,关于坐标原点O对称的点的坐标为。

2. $(a,-b),(-a,b),(-a,-b)$

【分析】
我们可以结合平面直角坐标系的坐标含义推导规律：横坐标代表点的水平位置，纵坐标代表点的竖直位置。①关于x轴对称时，两点在x轴上下两侧，水平位置不变、竖直位置相反，因此横坐标不变，纵坐标变为相反数；②关于y轴对称时，两点在y轴左右两侧，竖直位置不变、水平位置相反，因此纵坐标不变，横坐标变为相反数；③关于原点对称时，两点绕原点旋转180°重合，水平、竖直位置均相反，因此横、纵坐标都变为相反数。
【解析】
1. 关于x轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，因此点$P(a,b)$关于x轴对称的点坐标为$(a,-b)$；
2. 关于y轴对称的点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，因此点$P(a,b)$关于y轴对称的点坐标为$(-a,b)$；
3. 关于原点对称的点：横、纵坐标均互为相反数，因此点$P(a,b)$关于原点对称的点坐标为$(-a,-b)$。
【答案】
$(a,-b),(-a,b),(-a,-b)$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；关于y轴对称的坐标特征；关于原点对称的坐标特征
【点评】
本题是基础概念题，考察平面直角坐标系中点的对称坐标变化规律，规律可简记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都变号”，熟练掌握该规律是后续解决图形对称变换相关坐标问题的基础。
【难度系数】
0.9

活动二:试一试 想一想
如图4-3,在平面直角坐标系中描点,并填空:
(1) 将点$P(2,0)$绕原点按逆时针方向旋转$90°$后得到点$P'$,
点$P'$的坐标为;
(2) 将点$P(2,0)$绕原点按逆时针方向旋转$45°$后得到点$P''$,
点$P''$的坐标为.
活动三:议一议 说一说
(1) 将点$P(2,3)$绕原点按逆时针方向旋转$90°$后得到点$P'$,
点$P'$的坐标为;
(2) 将点$P(2,3)$绕点$(1,0)$按逆时针方向旋转$90°$后得到点
$P''$,点$P''$的坐标为.

图4-3

活动二:(1) (0,2) (2) $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ 活动三:(1) (-3,2) (2) (-2,1)

【分析】
解题思路按小题逐步梳理：
1. 活动二(1)：先确定点$P(2,0)$在x轴正半轴，到原点距离为2，逆时针旋转$90°$后落在y轴正半轴，到原点的距离不变，即可直接得到对应点坐标。
2. 活动二(2)：逆时针旋转$45°$后，点$P''$在第一象限角平分线上，横纵坐标相等，结合$OP$长度为2，用勾股定理计算横纵坐标即可。
3. 活动三(1)：掌握点$(a,b)$绕原点逆时针旋转$90°$的坐标变换规律：横纵坐标交换位置，新横坐标取原纵坐标的相反数，即变换后坐标为$(-b,a)$，代入数值计算即可。
4. 活动三(2)：绕非原点的点旋转时，先将旋转中心作为临时原点，计算点P相对临时原点的坐标，按旋转$90°$的规律变换后，再转换回原坐标系的坐标即可。
【解析】
活动二：
(1) 点$P(2,0)$位于x轴正半轴，到原点的距离为2，绕原点逆时针旋转$90°$后落在y轴正半轴，到原点的长度仍为2，因此$P'$的坐标为$(0,2)$。
(2) 旋转后$OP''$的长度与$OP$相等，即$OP''=2$，旋转$45°$后$P''$在第一象限角平分线上，横纵坐标相等，设$P''(x,x)$，由勾股定理得$x^2+x^2=2^2$，解得$x=\sqrt{2}$（第一象限坐标为正），因此$P''$的坐标为$(\sqrt{2},\sqrt{2})$。
活动三：
(1) 点$(a,b)$绕原点逆时针旋转$90°$后坐标为$(-b,a)$，将$P(2,3)$代入，$a=2,b=3$，可得$P'$的坐标为$(-3,2)$。
(2) 先以旋转中心$(1,0)$为临时原点，点$P(2,3)$相对临时原点的坐标为$(2-1,3-0)=(1,3)$，逆时针旋转$90°$后相对临时原点的坐标为$(-3,1)$，转换回原坐标系：横坐标为$1+(-3)=-2$，纵坐标为$0+1=1$，因此$P''$的坐标为$(-2,1)$。
【答案】
活动二:(1) $(0,2)$ (2) $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ 活动三:(1) $(-3,2)$ (2) $(-2,1)$
【知识点】
坐标旋转变换、勾股定理、坐标平移变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的旋转变换，核心是掌握绕原点旋转$90°$的坐标变换规律，绕非原点旋转的问题可通过坐标平移转化为绕原点旋转的问题求解，解题时要注意旋转方向对坐标符号的影响。
【难度系数】
0.65