登录
1. 把点$ A(m, m+2) $先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点$ B $，点$ B $正好落在$ x $轴上，则点$ B $的坐标为 （
A.$(-5,0)$
B.$(-7,0)$
C.$(4,0)$
D.$(3,0)$
B
）A.$(-5,0)$
B.$(-7,0)$
C.$(4,0)$
D.$(3,0)$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：横坐标遵循左减右加，纵坐标遵循上加下减。第一步先根据平移规则写出点B的坐标（用含m的代数式表示），第二步结合x轴上的点纵坐标为0的特征，列出关于m的一元一次方程求出m的值，第三步将m的值代入点B的坐标表达式，即可求出点B的最终坐标。
【解析】
根据点平移的坐标变化规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减。
点$A(m, m+2)$向左平移2个单位长度后，横坐标变为$m-2$，纵坐标不变，对应点坐标为$(m-2, m+2)$；
再向上平移3个单位长度后，纵坐标变为$m+2+3=m+5$，横坐标不变，因此点$B$的坐标为$(m-2, m+5)$。
$\because$点$B$落在$x$轴上，$x$轴上所有点的纵坐标为0，
$\therefore m+5=0$，解得$m=-5$。
将$m=-5$代入点$B$的横坐标得：$m-2=-5-2=-7$，
因此点$B$的坐标为$(-7,0)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 点平移的坐标变化规律
2. 坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系坐标变换类基础题，核心考查点平移的坐标运算规则和坐标轴上点的坐标性质，解题关键是牢记平移的坐标变化规律，结合x轴上点纵坐标为0的特点列方程求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：横坐标遵循左减右加，纵坐标遵循上加下减。第一步先根据平移规则写出点B的坐标（用含m的代数式表示），第二步结合x轴上的点纵坐标为0的特征，列出关于m的一元一次方程求出m的值，第三步将m的值代入点B的坐标表达式，即可求出点B的最终坐标。
【解析】
根据点平移的坐标变化规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减。
点$A(m, m+2)$向左平移2个单位长度后，横坐标变为$m-2$，纵坐标不变，对应点坐标为$(m-2, m+2)$；
再向上平移3个单位长度后，纵坐标变为$m+2+3=m+5$，横坐标不变，因此点$B$的坐标为$(m-2, m+5)$。
$\because$点$B$落在$x$轴上，$x$轴上所有点的纵坐标为0，
$\therefore m+5=0$，解得$m=-5$。
将$m=-5$代入点$B$的横坐标得：$m-2=-5-2=-7$，
因此点$B$的坐标为$(-7,0)$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 点平移的坐标变化规律
2. 坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系坐标变换类基础题，核心考查点平移的坐标运算规则和坐标轴上点的坐标性质，解题关键是牢记平移的坐标变化规律，结合x轴上点纵坐标为0的特点列方程求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标为(0,2),(1,0),将线段AB平移至$A'B'$的位置,则$a+b$的值为 (
A.6
B.5
C.4
D.3
B
)A.6
B.5
C.4
D.3
答案
B
解析
【分析】
解题需利用平移的核心性质：线段平移时，线段上所有对应点的横坐标变化量、纵坐标变化量分别相等。首先通过已知的对应点坐标分别求出横坐标、纵坐标的平移距离，再分别计算a、b的值后求和即可。
【解析】
∵线段AB平移得到线段$A'B'$，平移过程中所有对应点的横、纵坐标变化量分别相等。
1. 求横坐标平移量：点A坐标为$(0,2)$，对应点$A'$坐标为$(1,a)$，横坐标变化为$1-0=1$，即线段向右平移1个单位。
点B原坐标为$(1,0)$，因此平移后横坐标$b=1+1=2$。
2. 求纵坐标平移量：点B坐标为$(1,0)$，对应点$B'$坐标为$(b,1)$，纵坐标变化为$1-0=1$，即线段向上平移1个单位。
点A原坐标为$(0,2)$，因此平移后纵坐标$a=2+1=3$。
3. 计算$a+b$：$a+b=3+2=5$。
【答案】
B
【知识点】
平移的坐标特征，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题考查平移变换中的坐标变化规律，解题关键是牢记平移时对应点的横、纵坐标变化量分别相等，属于平移相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题需利用平移的核心性质：线段平移时，线段上所有对应点的横坐标变化量、纵坐标变化量分别相等。首先通过已知的对应点坐标分别求出横坐标、纵坐标的平移距离，再分别计算a、b的值后求和即可。
【解析】
∵线段AB平移得到线段$A'B'$，平移过程中所有对应点的横、纵坐标变化量分别相等。
1. 求横坐标平移量：点A坐标为$(0,2)$，对应点$A'$坐标为$(1,a)$，横坐标变化为$1-0=1$，即线段向右平移1个单位。
点B原坐标为$(1,0)$，因此平移后横坐标$b=1+1=2$。
2. 求纵坐标平移量：点B坐标为$(1,0)$，对应点$B'$坐标为$(b,1)$，纵坐标变化为$1-0=1$，即线段向上平移1个单位。
点A原坐标为$(0,2)$，因此平移后纵坐标$a=2+1=3$。
3. 计算$a+b$：$a+b=3+2=5$。
【答案】
B
【知识点】
平移的坐标特征，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题考查平移变换中的坐标变化规律，解题关键是牢记平移时对应点的横、纵坐标变化量分别相等，属于平移相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动，已知点A,B的坐标分别为(0,2),(0,3)，连接AC,BD，则AC+BD的最小值为
$\sqrt{29}$
。答案
$\sqrt{29}$
解析
【分析】
本题属于定长线段平移背景下的最短路径问题，解题核心是通过几何变换将两条分散的线段和转化为可直接求最小值的两点间距离。首先，由于CD长度固定为2且沿x轴移动，我们可以通过平移线段BD，将AC+BD的和转化为两条共端点的线段和，再利用轴对称的性质，将同侧的线段和转化为异侧，最后根据“两点之间线段最短”，结合勾股定理计算最小值即可。
【解析】
1. 平移转化线段：
已知CD在x轴上且CD=2，将点B沿x轴负方向平移2个单位，得到对应点$B'(-2,3)$。根据平移的性质，四边形$B'DCB$是平行四边形，因此$BD=B'C$，可得$AC+BD=AC+B'C$。
2. 轴对称转化线段：
作点A关于x轴的对称点$A'$，已知$A(0,2)$，由对称性质得$A'$的坐标为$(0,-2)$，且$AC=A'C$，因此$AC+B'C=A'C+B'C$。
3. 计算最小值：
根据两点之间线段最短，当$A'$、$C$、$B'$三点共线时，$A'C+B'C$取得最小值，最小值为线段$A'B'$的长度。
由勾股定理，$A'B'=\sqrt{|-2-0|^2 + |3 - (-2)|^2}=\sqrt{2^2 +5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$。
【答案】
$\sqrt{29}$
【知识点】
最短路径问题，平移的性质，勾股定理
【点评】
本题是最短路径的典型变形题，将平移、轴对称的性质与勾股定理结合考查，解题的关键是通过平移消除定长线段CD的影响，将问题转化为常见的“将军饮马”模型求解，能有效考查学生对几何变换的应用能力和模型转化思想。
【难度系数】
0.6
本题属于定长线段平移背景下的最短路径问题，解题核心是通过几何变换将两条分散的线段和转化为可直接求最小值的两点间距离。首先，由于CD长度固定为2且沿x轴移动，我们可以通过平移线段BD，将AC+BD的和转化为两条共端点的线段和，再利用轴对称的性质，将同侧的线段和转化为异侧，最后根据“两点之间线段最短”，结合勾股定理计算最小值即可。
【解析】
1. 平移转化线段：
已知CD在x轴上且CD=2，将点B沿x轴负方向平移2个单位，得到对应点$B'(-2,3)$。根据平移的性质，四边形$B'DCB$是平行四边形，因此$BD=B'C$，可得$AC+BD=AC+B'C$。
2. 轴对称转化线段：
作点A关于x轴的对称点$A'$，已知$A(0,2)$，由对称性质得$A'$的坐标为$(0,-2)$，且$AC=A'C$，因此$AC+B'C=A'C+B'C$。
3. 计算最小值：
根据两点之间线段最短，当$A'$、$C$、$B'$三点共线时，$A'C+B'C$取得最小值，最小值为线段$A'B'$的长度。
由勾股定理，$A'B'=\sqrt{|-2-0|^2 + |3 - (-2)|^2}=\sqrt{2^2 +5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$。
【答案】
$\sqrt{29}$
【知识点】
最短路径问题，平移的性质，勾股定理
【点评】
本题是最短路径的典型变形题，将平移、轴对称的性质与勾股定理结合考查，解题的关键是通过平移消除定长线段CD的影响，将问题转化为常见的“将军饮马”模型求解，能有效考查学生对几何变换的应用能力和模型转化思想。
【难度系数】
0.6
4. 对于平面直角坐标系中的图形G和图形G上的任意一点$P(x,y)$,给出如下定义:将点$P(x,y)$平移到$P'(x+t,y-t)$称为将点$P$进行“$t$型平移”,点$P'$称为将点$P$进行“$t$型平移”的对应点;将图形$G$上的所有点进行“$t$型平移”称为将图形$G$进行“$t$型平移”.例如:将点$P(x,y)$平移到$P'(x+1,y-1)$称为将点$P$进行“1型平移”,将点$P(x,y)$平移到$P'(x-1,y+1)$称为将点$P$进行“$-1$型平移”.已知点$A(1,1)$和点$B(3,1)$.
(1) 将点$A(1,1)$进行“1型平移”后得到的对应点$A'$的坐标为
(2) 将线段$AB$进行“$-1$型平移”后得到线段$A_1B_1$,$P_1(2,3)$,$P_2(1.5,2)$,$P_3(3,0)$三个点中,在线段$A_1B_1$上的点是
(3) 若线段$AB$进行“$t$型平移”后与坐标轴有公共点,求$t$的取值范围.
(1) 将点$A(1,1)$进行“1型平移”后得到的对应点$A'$的坐标为
(2,0)
;(2) 将线段$AB$进行“$-1$型平移”后得到线段$A_1B_1$,$P_1(2,3)$,$P_2(1.5,2)$,$P_3(3,0)$三个点中,在线段$A_1B_1$上的点是
$P_2(1.5,2)$
;(3) 若线段$AB$进行“$t$型平移”后与坐标轴有公共点,求$t$的取值范围.
答案
(1) $(2,0)$ (2) $P_2(1.5,2)$ (3) $\because$ 线段$AB$进行“$t$型平移”后与坐标轴有公共点,$\therefore$ 分以下两种情况讨论:① 当平移后与$y$轴相交,则$\begin{cases}1+t≤0,\\3+t≥0.\end{cases}$解得$-3≤ t≤-1$,② 当平移后与$x$轴相交,则$1-t=0$,解得$t=1$,综上所述,$t$的取值范围是$-3≤ t≤-1$或$t=1$
解析
【分析】
(1) 首先明确“t型平移”的坐标变化规则：点$P(x,y)$进行“t型平移”后对应点坐标为$(x+t,y-t)$，直接将点A的坐标和$t=1$代入规则计算即可得到$A'$的坐标。
(2) 先根据“-1型平移”的规则求出平移后线段$A_1B_1$两个端点的坐标，得到线段$A_1B_1$的纵坐标取值和横坐标的范围，再逐一比对三个点的坐标，符合范围的点即为在线段上的点。
(3) 先写出线段AB进行“t型平移”后所有点的坐标特征：横坐标范围为$[1+t,3+t]$，纵坐标恒为$1-t$。分两种情况讨论：①平移后线段与y轴（$x=0$）有公共点，即0落在平移后的横坐标区间内，列不等式组求解；②平移后线段与x轴（$y=0$）有公共点，令纵坐标为0求出t值，验证对应的横坐标范围符合要求即可，最后综合两种情况得到t的取值范围。
【解析】
(1) 根据“t型平移”的定义，点$P(x,y)$进行“1型平移”后坐标为$(x+1,y-1)$，将$A(1,1)$代入得：
$x'=1+1=2$，$y'=1-1=0$，故$A'$坐标为$(2,0)$。
(2) 进行“-1型平移”时，点的坐标变化为$(x-1,y+1)$：
点$A(1,1)$平移后得$A_1(1-1,1+1)$即$(0,2)$，点$B(3,1)$平移后得$B_1(3-1,1+1)$即$(2,2)$，因此线段$A_1B_1$上所有点的纵坐标均为2，横坐标满足$0≤ x≤2$。
逐一核对三个点：
$P_1(2,3)$纵坐标为$3≠2$，不符合；
$P_2(1.5,2)$纵坐标为2，且$0≤1.5≤2$，符合要求；
$P_3(3,0)$纵坐标为$0≠2$，不符合；
故在线段$A_1B_1$上的点是$P_2(1.5,2)$。
(3) 线段AB进行“t型平移”后，所有点的坐标可表示为$(x+t,1-t)$，其中原横坐标x满足$1≤ x≤3$，因此平移后横坐标范围为$1+t≤ x≤3+t$，纵坐标恒为$1-t$。
线段与坐标轴有公共点分两种情况讨论：
① 平移后线段与y轴相交：y轴上点的横坐标为0，因此0需落在横坐标区间$[1+t,3+t]$内，列不等式组：
$\begin{cases}1+t≤0\\3+t≥0\end{cases}$
解得：$-3≤ t≤-1$。
② 平移后线段与x轴相交：x轴上点的纵坐标为0，因此令$1-t=0$，解得$t=1$。此时平移后横坐标范围为$1+1=2≤ x≤3+1=4$，对应线段为$y=0$上$2≤ x≤4$的部分，确实与x轴有公共点，符合要求。
综上，t的取值范围是$-3≤ t≤-1$或$t=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,0)}$ (2) $\boldsymbol{P_2(1.5,2)}$ (3) $\boldsymbol{-3≤ t≤-1}$或$\boldsymbol{t=1}$
【知识点】
新定义坐标平移，线段与坐标轴的交点，分类讨论思想
【点评】
本题以新定义“t型平移”为载体，考查坐标平移的规律及线段与坐标轴交点的求解，解题核心是准确理解新定义的坐标变换规则，结合线段的坐标范围合理分类讨论，对新知识的迁移应用能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确“t型平移”的坐标变化规则：点$P(x,y)$进行“t型平移”后对应点坐标为$(x+t,y-t)$，直接将点A的坐标和$t=1$代入规则计算即可得到$A'$的坐标。
(2) 先根据“-1型平移”的规则求出平移后线段$A_1B_1$两个端点的坐标，得到线段$A_1B_1$的纵坐标取值和横坐标的范围，再逐一比对三个点的坐标，符合范围的点即为在线段上的点。
(3) 先写出线段AB进行“t型平移”后所有点的坐标特征：横坐标范围为$[1+t,3+t]$，纵坐标恒为$1-t$。分两种情况讨论：①平移后线段与y轴（$x=0$）有公共点，即0落在平移后的横坐标区间内，列不等式组求解；②平移后线段与x轴（$y=0$）有公共点，令纵坐标为0求出t值，验证对应的横坐标范围符合要求即可，最后综合两种情况得到t的取值范围。
【解析】
(1) 根据“t型平移”的定义，点$P(x,y)$进行“1型平移”后坐标为$(x+1,y-1)$，将$A(1,1)$代入得：
$x'=1+1=2$，$y'=1-1=0$，故$A'$坐标为$(2,0)$。
(2) 进行“-1型平移”时，点的坐标变化为$(x-1,y+1)$：
点$A(1,1)$平移后得$A_1(1-1,1+1)$即$(0,2)$，点$B(3,1)$平移后得$B_1(3-1,1+1)$即$(2,2)$，因此线段$A_1B_1$上所有点的纵坐标均为2，横坐标满足$0≤ x≤2$。
逐一核对三个点：
$P_1(2,3)$纵坐标为$3≠2$，不符合；
$P_2(1.5,2)$纵坐标为2，且$0≤1.5≤2$，符合要求；
$P_3(3,0)$纵坐标为$0≠2$，不符合；
故在线段$A_1B_1$上的点是$P_2(1.5,2)$。
(3) 线段AB进行“t型平移”后，所有点的坐标可表示为$(x+t,1-t)$，其中原横坐标x满足$1≤ x≤3$，因此平移后横坐标范围为$1+t≤ x≤3+t$，纵坐标恒为$1-t$。
线段与坐标轴有公共点分两种情况讨论：
① 平移后线段与y轴相交：y轴上点的横坐标为0，因此0需落在横坐标区间$[1+t,3+t]$内，列不等式组：
$\begin{cases}1+t≤0\\3+t≥0\end{cases}$
解得：$-3≤ t≤-1$。
② 平移后线段与x轴相交：x轴上点的纵坐标为0，因此令$1-t=0$，解得$t=1$。此时平移后横坐标范围为$1+1=2≤ x≤3+1=4$，对应线段为$y=0$上$2≤ x≤4$的部分，确实与x轴有公共点，符合要求。
综上，t的取值范围是$-3≤ t≤-1$或$t=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,0)}$ (2) $\boldsymbol{P_2(1.5,2)}$ (3) $\boldsymbol{-3≤ t≤-1}$或$\boldsymbol{t=1}$
【知识点】
新定义坐标平移，线段与坐标轴的交点，分类讨论思想
【点评】
本题以新定义“t型平移”为载体，考查坐标平移的规律及线段与坐标轴交点的求解，解题核心是准确理解新定义的坐标变换规则，结合线段的坐标范围合理分类讨论，对新知识的迁移应用能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7
