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1. 行程问题中基本关系式：
路程=速度×时间
.答案
1. 路程=速度×时间
解析
【分析】
本题考察行程问题的基础核心关系式，解题时首先明确行程问题的三个核心量：路程、速度、时间，结合三者的内在联系直接推导即可，该关系式是所有行程类实际问题的推导基础，只需回忆三个量的对应关系就能得出结果。
【解析】
行程问题包含三个基本量：分别是表示物体运动总长度的路程、表示物体运动快慢的速度、表示物体运动时长的时间。三者的基本等量关系为：总路程等于单位时间内走过的路程（速度）乘运动的总时长，即路程=速度×时间。
【答案】
路程=速度×时间
【知识点】
行程问题基本关系式、实际问题等量关系
【点评】
本题属于基础概念类题目，考察的是行程问题最核心的基础公式，是后续解决相遇、追及、变速等各类复杂行程类应用题的前提，需要准确记忆、熟练运用。
【难度系数】
0.9
本题考察行程问题的基础核心关系式，解题时首先明确行程问题的三个核心量：路程、速度、时间，结合三者的内在联系直接推导即可，该关系式是所有行程类实际问题的推导基础，只需回忆三个量的对应关系就能得出结果。
【解析】
行程问题包含三个基本量：分别是表示物体运动总长度的路程、表示物体运动快慢的速度、表示物体运动时长的时间。三者的基本等量关系为：总路程等于单位时间内走过的路程（速度）乘运动的总时长，即路程=速度×时间。
【答案】
路程=速度×时间
【知识点】
行程问题基本关系式、实际问题等量关系
【点评】
本题属于基础概念类题目，考察的是行程问题最核心的基础公式，是后续解决相遇、追及、变速等各类复杂行程类应用题的前提，需要准确记忆、熟练运用。
【难度系数】
0.9
2. 追赶问题中基本关系式：
路程差=出发时距离
；相遇问题中基本关系式：路程和=出发时距离
。答案
2. 路程差=出发时距离 路程和=出发时距离
解析
【分析】
解题时首先区分两类行程问题的运动特征：追赶（追及）问题为两物体同向运动，快的在后、慢的在前；相遇问题为两物体相向而行，最终碰面。①思考追赶问题：当快的追上慢的时，快的行驶路程减去慢的行驶路程，恰好等于两者出发时的初始距离，即可得到追赶问题的关系式；②思考相遇问题：当两物体相遇时，两者行驶的路程相加，恰好等于两者出发时的初始距离，即可得到相遇问题的关系式。
【解析】
1. 追赶（追及）问题：两物体同向运动，快的追上慢的时，快的比慢的多行驶的路程等于二者出发时的相距距离，因此基本关系式为：路程差=出发时距离。
2. 相遇问题：两物体相向运动，二者相遇时，各自行驶的路程之和等于二者出发时的相距距离，因此基本关系式为：路程和=出发时距离。
【答案】
路程差=出发时距离；路程和=出发时距离
【知识点】
追及等量关系、相遇等量关系、行程实际应用
【点评】
本题是行程问题的基础概念考查，两类关系式是列方程解决行程类实际问题的核心依据，需结合运动场景理解记忆，避免两类关系式混淆。
【难度系数】
0.9
解题时首先区分两类行程问题的运动特征：追赶（追及）问题为两物体同向运动，快的在后、慢的在前；相遇问题为两物体相向而行，最终碰面。①思考追赶问题：当快的追上慢的时，快的行驶路程减去慢的行驶路程，恰好等于两者出发时的初始距离，即可得到追赶问题的关系式；②思考相遇问题：当两物体相遇时，两者行驶的路程相加，恰好等于两者出发时的初始距离，即可得到相遇问题的关系式。
【解析】
1. 追赶（追及）问题：两物体同向运动，快的追上慢的时，快的比慢的多行驶的路程等于二者出发时的相距距离，因此基本关系式为：路程差=出发时距离。
2. 相遇问题：两物体相向运动，二者相遇时，各自行驶的路程之和等于二者出发时的相距距离，因此基本关系式为：路程和=出发时距离。
【答案】
路程差=出发时距离；路程和=出发时距离
【知识点】
追及等量关系、相遇等量关系、行程实际应用
【点评】
本题是行程问题的基础概念考查，两类关系式是列方程解决行程类实际问题的核心依据，需结合运动场景理解记忆，避免两类关系式混淆。
【难度系数】
0.9
1. 小明和小亮骑摩托车的速度分别是20 km/h 和30 km/h，他们分别从相距100 km的甲、乙两镇相向出发，相遇时最少经过的时间是 （
A.9 h
B.2 h
C.3 h
D.4.5 h
B
）A.9 h
B.2 h
C.3 h
D.4.5 h
答案
1. B
解析
【分析】
这是典型的相向而行相遇问题，解题核心是明确相遇时两人行驶的总路程等于两镇的距离100km，且两人行驶时间相同。我们可以先设相遇时间为未知数，再根据“路程=速度×时间”分别表示出两人行驶的路程，结合路程和为100km列一元一次方程求解即可。
【解析】
设相遇时经过的时间为$ t $ h。
根据路程=速度×时间，可得小明行驶的路程为$ 20t $ km，小亮行驶的路程为$ 30t $ km。
两人相向而行相遇时，路程和等于甲乙两镇的距离，因此列方程：
$ 20t + 30t = 100 $
合并同类项得：$ 50t = 100 $
系数化为1得：$ t = 2 $
即相遇时最少经过2小时。
【答案】
B
【知识点】
相遇行程问题；一元一次方程的应用；路程速度时间关系
【点评】
本题属于行程问题中的基础题型，解题关键是抓住相遇问题中“总路程=两者路程和”的等量关系，结合行程基本公式列方程求解即可，掌握基础等量关系就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
这是典型的相向而行相遇问题，解题核心是明确相遇时两人行驶的总路程等于两镇的距离100km，且两人行驶时间相同。我们可以先设相遇时间为未知数，再根据“路程=速度×时间”分别表示出两人行驶的路程，结合路程和为100km列一元一次方程求解即可。
【解析】
设相遇时经过的时间为$ t $ h。
根据路程=速度×时间，可得小明行驶的路程为$ 20t $ km，小亮行驶的路程为$ 30t $ km。
两人相向而行相遇时，路程和等于甲乙两镇的距离，因此列方程：
$ 20t + 30t = 100 $
合并同类项得：$ 50t = 100 $
系数化为1得：$ t = 2 $
即相遇时最少经过2小时。
【答案】
B
【知识点】
相遇行程问题；一元一次方程的应用；路程速度时间关系
【点评】
本题属于行程问题中的基础题型，解题关键是抓住相遇问题中“总路程=两者路程和”的等量关系，结合行程基本公式列方程求解即可，掌握基础等量关系就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
2. 某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走 4.5 km. 一列火车以每小时 120 km 的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到火车尾与队末学生相遇，共经过 12 s. 如果队伍长 150 m，那么火车长（
A.150 m
B.215 m
C.265 m
D.310 m
C
）A.150 m
B.215 m
C.265 m
D.310 m
答案
2. C
解析
【分析】
这是一道相向而行的行程相遇问题，解题思路如下：首先明确火车和队伍为相向运动，两者的相对速度等于二者速度之和；从火车头遇队首到火车尾遇队尾的过程中，两者共同行驶的总路程等于火车长度加队伍长度。解题第一步需要统一速度、时间、长度的单位，再根据“路程=速度×时间”的关系，既可以直接算术计算，也可以设火车长为未知数列一元一次方程求解。
【解析】
解：设火车长为$x$米，先统一单位：
学生速度：$4.5\mathrm{km/h}=4.5×\frac{1000}{3600}\mathrm{m/s}=1.25\mathrm{m/s}$
火车速度：$120\mathrm{km/h}=120×\frac{1000}{3600}\mathrm{m/s}=\frac{100}{3}\mathrm{m/s}$
两者相向运动，相对速度为速度和：$1.25+\frac{100}{3}=\frac{415}{12}\mathrm{m/s}$
根据总路程=火车长+队伍长，列方程：
$12×\frac{415}{12}=x+150$
化简得：$415=x+150$
解得：$x=415-150=265$
【答案】
C
【知识点】
行程相遇问题、一元一次方程的应用、单位换算
【点评】
本题核心考点是相向运动的相对速度计算和总路程的构成，单位换算为本题的易错点，解题时要先统一所有物理量的单位再进行计算。
【难度系数】
0.7
这是一道相向而行的行程相遇问题，解题思路如下：首先明确火车和队伍为相向运动，两者的相对速度等于二者速度之和；从火车头遇队首到火车尾遇队尾的过程中，两者共同行驶的总路程等于火车长度加队伍长度。解题第一步需要统一速度、时间、长度的单位，再根据“路程=速度×时间”的关系，既可以直接算术计算，也可以设火车长为未知数列一元一次方程求解。
【解析】
解：设火车长为$x$米，先统一单位：
学生速度：$4.5\mathrm{km/h}=4.5×\frac{1000}{3600}\mathrm{m/s}=1.25\mathrm{m/s}$
火车速度：$120\mathrm{km/h}=120×\frac{1000}{3600}\mathrm{m/s}=\frac{100}{3}\mathrm{m/s}$
两者相向运动，相对速度为速度和：$1.25+\frac{100}{3}=\frac{415}{12}\mathrm{m/s}$
根据总路程=火车长+队伍长，列方程：
$12×\frac{415}{12}=x+150$
化简得：$415=x+150$
解得：$x=415-150=265$
【答案】
C
【知识点】
行程相遇问题、一元一次方程的应用、单位换算
【点评】
本题核心考点是相向运动的相对速度计算和总路程的构成，单位换算为本题的易错点，解题时要先统一所有物理量的单位再进行计算。
【难度系数】
0.7
3. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15 km可早到10 min，每小时骑12 km就将迟到5 min. 他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程是x km，根据题意列出的方程是
（
A.$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$
B.$\frac{x}{15}-\frac{10}{60}=\frac{x}{12}+\frac{5}{60}$
C.$\frac{x}{15}-\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$
D.$\frac{x}{15}+10=\frac{x}{12}-5$
（
A
）A.$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$
B.$\frac{x}{15}-\frac{10}{60}=\frac{x}{12}+\frac{5}{60}$
C.$\frac{x}{15}-\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$
D.$\frac{x}{15}+10=\frac{x}{12}-5$
答案
3. A
解析
【分析】
解题的核心是找到题目中的不变量：小明准时到达学校所需的规定时间。首先要统一单位，将分钟换算为小时（避免时间单位与速度单位不匹配），再分别用两种骑行速度下的行驶时间表示出规定时间，最后令两个表示规定时间的式子相等，即可得到正确方程。
第一步：速度为15km/h时，行驶时间为路程除以速度，即$\frac{x}{15}$小时，此时早到10分钟，说明行驶时间比规定时间少10分钟，因此规定时间 = 行驶时间 + 10分钟（换算为$\frac{10}{60}$小时）。
第二步：速度为12km/h时，行驶时间为$\frac{x}{12}$小时，此时迟到5分钟，说明行驶时间比规定时间多5分钟，因此规定时间 = 行驶时间 - 5分钟（换算为$\frac{5}{60}$小时）。
第三步：两个式子都表示规定时间，因此相等，即可列出方程。
【解析】
首先统一时间单位：$10\mathrm{min}=\frac{10}{60}\mathrm{h}$，$5\mathrm{min}=\frac{5}{60}\mathrm{h}$。
① 当骑行速度为15km/h时，行驶时间为$\frac{x}{15}\mathrm{h}$，因早到10min，所以准时到达的规定时间为：$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}$（h）。
② 当骑行速度为12km/h时，行驶时间为$\frac{x}{12}\mathrm{h}$，因迟到5min，所以准时到达的规定时间为：$\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$（h）。
由于规定时间是固定值，因此可列方程：$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；行程问题公式；单位换算
【点评】
本题是行程类方程应用的常见题型，解题关键是抓住不变量建立等量关系，列示时要注意不同单位的统一，避免时间单位混用导致错误。
【难度系数】
0.7
解题的核心是找到题目中的不变量：小明准时到达学校所需的规定时间。首先要统一单位，将分钟换算为小时（避免时间单位与速度单位不匹配），再分别用两种骑行速度下的行驶时间表示出规定时间，最后令两个表示规定时间的式子相等，即可得到正确方程。
第一步：速度为15km/h时，行驶时间为路程除以速度，即$\frac{x}{15}$小时，此时早到10分钟，说明行驶时间比规定时间少10分钟，因此规定时间 = 行驶时间 + 10分钟（换算为$\frac{10}{60}$小时）。
第二步：速度为12km/h时，行驶时间为$\frac{x}{12}$小时，此时迟到5分钟，说明行驶时间比规定时间多5分钟，因此规定时间 = 行驶时间 - 5分钟（换算为$\frac{5}{60}$小时）。
第三步：两个式子都表示规定时间，因此相等，即可列出方程。
【解析】
首先统一时间单位：$10\mathrm{min}=\frac{10}{60}\mathrm{h}$，$5\mathrm{min}=\frac{5}{60}\mathrm{h}$。
① 当骑行速度为15km/h时，行驶时间为$\frac{x}{15}\mathrm{h}$，因早到10min，所以准时到达的规定时间为：$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}$（h）。
② 当骑行速度为12km/h时，行驶时间为$\frac{x}{12}\mathrm{h}$，因迟到5min，所以准时到达的规定时间为：$\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$（h）。
由于规定时间是固定值，因此可列方程：$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；行程问题公式；单位换算
【点评】
本题是行程类方程应用的常见题型，解题关键是抓住不变量建立等量关系，列示时要注意不同单位的统一，避免时间单位混用导致错误。
【难度系数】
0.7
4. 已知一艘船从A地到B地需5 h,从B地到A地需4 h,水流的速度为2 km/h,则A,B两地的路程是 (
A.60 km
B.80 km
C.90 km
D.以上都不对
B
)A.60 km
B.80 km
C.90 km
D.以上都不对
答案
4. B
解析
【分析】
这是流水行船类的行程问题，解题核心是明确速度间的关系：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水速度=船在静水中的速度-水流速度。本题中船在静水中的速度、A,B两地的路程都是固定不变的，我们可以选择“船在静水中的速度相等”作为等量关系列方程求解。首先设A,B两地路程为未知数，用路程分别除以顺流、逆流行驶时间表示出顺水速度和逆水速度，再结合速度关系分别表示出静水速度，令二者相等即可列出一元一次方程，求解得到路程。
【解析】
设A,B两地的路程为$ x $ km。
从B到A是顺水行驶，顺水速度为$ \frac{x}{4} $ km/h，船在静水中的速度可表示为$ ( \frac{x}{4} - 2 ) $ km/h；
从A到B是逆水行驶，逆水速度为$ \frac{x}{5} $ km/h，船在静水中的速度可表示为$ ( \frac{x}{5} + 2 ) $ km/h。
根据船在静水中的速度不变，列方程：
$ \frac{x}{4} - 2 = \frac{x}{5} + 2 $
移项得：$ \frac{x}{4} - \frac{x}{5} = 2 + 2 $
通分计算得：$ \frac{5x - 4x}{20} = 4 $
即$ \frac{x}{20} = 4 $
解得：$ x = 80 $
所以A,B两地的路程是80 km。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 流水行船行程问题
【点评】
本题是行程类应用题的基础典型题，解题关键是掌握流水行船问题中各速度的数量关系，找到不变的量作为等量关系列方程即可，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
这是流水行船类的行程问题，解题核心是明确速度间的关系：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水速度=船在静水中的速度-水流速度。本题中船在静水中的速度、A,B两地的路程都是固定不变的，我们可以选择“船在静水中的速度相等”作为等量关系列方程求解。首先设A,B两地路程为未知数，用路程分别除以顺流、逆流行驶时间表示出顺水速度和逆水速度，再结合速度关系分别表示出静水速度，令二者相等即可列出一元一次方程，求解得到路程。
【解析】
设A,B两地的路程为$ x $ km。
从B到A是顺水行驶，顺水速度为$ \frac{x}{4} $ km/h，船在静水中的速度可表示为$ ( \frac{x}{4} - 2 ) $ km/h；
从A到B是逆水行驶，逆水速度为$ \frac{x}{5} $ km/h，船在静水中的速度可表示为$ ( \frac{x}{5} + 2 ) $ km/h。
根据船在静水中的速度不变，列方程：
$ \frac{x}{4} - 2 = \frac{x}{5} + 2 $
移项得：$ \frac{x}{4} - \frac{x}{5} = 2 + 2 $
通分计算得：$ \frac{5x - 4x}{20} = 4 $
即$ \frac{x}{20} = 4 $
解得：$ x = 80 $
所以A,B两地的路程是80 km。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 流水行船行程问题
【点评】
本题是行程类应用题的基础典型题，解题关键是掌握流水行船问题中各速度的数量关系，找到不变的量作为等量关系列方程即可，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
5. 某校组织七年级师生共300人乘车前往农场进行劳动实践活动.
（1）他们早晨8:00从学校出发,原计划当天上午10:00便可以到达农场,但实际上他们当天上午9:40便达到了农场,已知汽车实际行驶速度比原计划行驶速度快10 km/h.求汽车原计划行驶的速度;
（2）到达农场后,需要购买门票,已知该农场门票票价情况如下表,该校购买门票时共花了3 100元,那么参加此次劳动教育的教师、学生各多少人?
（1）他们早晨8:00从学校出发,原计划当天上午10:00便可以到达农场,但实际上他们当天上午9:40便达到了农场,已知汽车实际行驶速度比原计划行驶速度快10 km/h.求汽车原计划行驶的速度;
（2）到达农场后,需要购买门票,已知该农场门票票价情况如下表,该校购买门票时共花了3 100元,那么参加此次劳动教育的教师、学生各多少人?
答案
5. (1) 设汽车原计划行驶的速度是 x km/h,则汽车实际行驶速度是(x+10)km/h,由题意,得$2x=\frac{5}{3}(x+10)$,解得$x=50$.
(2) 设参加此次劳动教育的教师有 x 人,则学生有$(300-x)$人,由题意,得$20x+10(300-x)=3\ 100$,解得$x=10$. $300-10=290$(人)
(2) 设参加此次劳动教育的教师有 x 人,则学生有$(300-x)$人,由题意,得$20x+10(300-x)=3\ 100$,解得$x=10$. $300-10=290$(人)
解析
【分析】
（1）本题属于行程问题，核心等量关系为“原计划行驶路程=实际行驶路程”。首先计算原计划和实际的行驶时间：原计划用时10:00-8:00=2小时，实际用时9:40-8:00=1小时40分，换算为小时是$\frac{5}{3}$小时。设原计划速度为x km/h，实际速度就是(x+10)km/h，结合“路程=速度×时间”即可列出方程求解。
（2）本题属于购票费用问题，核心等量关系为“教师购票总费用+学生购票总费用=购票总花费”。总人数共300人，设教师有x人，则学生有(300-x)人，结合票价分别表示出教师、学生的购票总费用，代入等量关系列方程即可求解。
【解析】
（1）设汽车原计划行驶的速度是$x$ km/h，则汽车实际行驶速度是$(x+10)$ km/h。
原计划行驶时间：$10:00-8:00=2$小时
实际行驶时间：$9:40-8:00=1$小时40分$=\frac{5}{3}$小时
由路程相等可列方程：
$2x=\frac{5}{3}(x+10)$
两边同乘3消分母得：$6x=5(x+10)$
展开得：$6x=5x+50$
移项解得：$x=50$
（2）设参加此次劳动教育的教师有$x$人，则学生有$(300-x)$人。
由总购票费用可列方程：
$20x+10(300-x)=3100$
展开得：$20x+3000-10x=3100$
合并同类项得：$10x+3000=3100$
移项得：$10x=100$
解得：$x=10$
学生人数：$300-10=290$（人）
【答案】
（1）汽车原计划行驶的速度为$\boldsymbol{50\ \mathrm{km/h}}$；
（2）参加此次劳动教育的教师有$\boldsymbol{10}$人，学生有$\boldsymbol{290}$人。
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；购票费用问题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的常规题型，分别结合行程、购票两个生活常见场景命题，侧重考查学生提取题干等量关系、列方程并正确求解的能力，解题关键是找准不变量建立等式。
【难度系数】
0.8
（1）本题属于行程问题，核心等量关系为“原计划行驶路程=实际行驶路程”。首先计算原计划和实际的行驶时间：原计划用时10:00-8:00=2小时，实际用时9:40-8:00=1小时40分，换算为小时是$\frac{5}{3}$小时。设原计划速度为x km/h，实际速度就是(x+10)km/h，结合“路程=速度×时间”即可列出方程求解。
（2）本题属于购票费用问题，核心等量关系为“教师购票总费用+学生购票总费用=购票总花费”。总人数共300人，设教师有x人，则学生有(300-x)人，结合票价分别表示出教师、学生的购票总费用，代入等量关系列方程即可求解。
【解析】
（1）设汽车原计划行驶的速度是$x$ km/h，则汽车实际行驶速度是$(x+10)$ km/h。
原计划行驶时间：$10:00-8:00=2$小时
实际行驶时间：$9:40-8:00=1$小时40分$=\frac{5}{3}$小时
由路程相等可列方程：
$2x=\frac{5}{3}(x+10)$
两边同乘3消分母得：$6x=5(x+10)$
展开得：$6x=5x+50$
移项解得：$x=50$
（2）设参加此次劳动教育的教师有$x$人，则学生有$(300-x)$人。
由总购票费用可列方程：
$20x+10(300-x)=3100$
展开得：$20x+3000-10x=3100$
合并同类项得：$10x+3000=3100$
移项得：$10x=100$
解得：$x=10$
学生人数：$300-10=290$（人）
【答案】
（1）汽车原计划行驶的速度为$\boldsymbol{50\ \mathrm{km/h}}$；
（2）参加此次劳动教育的教师有$\boldsymbol{10}$人，学生有$\boldsymbol{290}$人。
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；购票费用问题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的常规题型，分别结合行程、购票两个生活常见场景命题，侧重考查学生提取题干等量关系、列方程并正确求解的能力，解题关键是找准不变量建立等式。
【难度系数】
0.8
