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3.第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行.为此,哈尔滨市要修建一条公路,一个工程队单独修建需30天完成,现计划先安排几个工程队单独修6天,然后增加3个工程队与之前的工程队一起修2天,完成这条公路的修建任务.假设这些工程队的工作效率相同,则应先安排几个工程队单独修6天?
答案
解：设应先安排$x$个工程队单独修6天。
根据题意，得
$\frac{6x}{30} + \frac{2(x+3)}{30} = 1$
去分母，得
$6x + 2(x+3) = 30$
去括号，得
$6x + 2x + 6 = 30$
移项、合并同类项，得
$8x = 24$
系数化为1，得
$x = 3$
答：应先安排3个工程队单独修6天。
根据题意，得
$\frac{6x}{30} + \frac{2(x+3)}{30} = 1$
去分母，得
$6x + 2(x+3) = 30$
去括号，得
$6x + 2x + 6 = 30$
移项、合并同类项，得
$8x = 24$
系数化为1，得
$x = 3$
答：应先安排3个工程队单独修6天。
解析
【分析】
本题属于工程问题，解题时首先将总工作量看作单位“1”，由单个工程队单独修需30天完成，可得单个工程队每天的工作效率为$\frac{1}{30}$。工作分为两个阶段：第一阶段是先安排的$x$个工程队施工6天，第二阶段是增加3个工程队后共$(x+3)$个工程队施工2天，根据“两个阶段的工作量之和=总工作量1”这一等量关系，列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设应先安排$x$个工程队单独修6天。
根据题意，得
$\frac{6x}{30} + \frac{2(x+3)}{30} = 1$
去分母，得
$6x + 2(x+3) = 30$
去括号，得
$6x + 2x + 6 = 30$
移项、合并同类项，得
$8x = 24$
系数化为1，得
$x = 3$
【答案】
应先安排3个工程队单独修6天。
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题；工作总量公式
【点评】
本题是工程问题的典型考法，核心是将总工作量设为单位“1”，准确拆分不同阶段的工作量，找准等量关系列方程求解，能够考察学生分析实际问题、建立数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
本题属于工程问题，解题时首先将总工作量看作单位“1”，由单个工程队单独修需30天完成，可得单个工程队每天的工作效率为$\frac{1}{30}$。工作分为两个阶段：第一阶段是先安排的$x$个工程队施工6天，第二阶段是增加3个工程队后共$(x+3)$个工程队施工2天，根据“两个阶段的工作量之和=总工作量1”这一等量关系，列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设应先安排$x$个工程队单独修6天。
根据题意，得
$\frac{6x}{30} + \frac{2(x+3)}{30} = 1$
去分母，得
$6x + 2(x+3) = 30$
去括号，得
$6x + 2x + 6 = 30$
移项、合并同类项，得
$8x = 24$
系数化为1，得
$x = 3$
【答案】
应先安排3个工程队单独修6天。
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题；工作总量公式
【点评】
本题是工程问题的典型考法，核心是将总工作量设为单位“1”，准确拆分不同阶段的工作量，找准等量关系列方程求解，能够考察学生分析实际问题、建立数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
4.某工程甲单独做需6天完成，乙单独做需8天完成，现在由甲先做2天，然后甲和乙合作共同完成.若设完成此项工程共需x天，则下列方程中正确的是().
A.$\frac{x}{6}+\frac{x-2}{8}=1$
B.$\frac{x+2}{6}+\frac{x}{8}=1$
C.$\frac{x}{6}+\frac{x+2}{8}=1$
D.$\frac{x-2}{6}+\frac{x}{8}=1$
A.$\frac{x}{6}+\frac{x-2}{8}=1$
B.$\frac{x+2}{6}+\frac{x}{8}=1$
C.$\frac{x}{6}+\frac{x+2}{8}=1$
D.$\frac{x-2}{6}+\frac{x}{8}=1$
答案
A
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，利用“工作量=工作效率×工作时间”的关系列方程。首先推导甲、乙的工作效率：工作效率=1÷单独完成总时长；其次明确两人的工作时长：总工期为x天，甲从工程开始到结束全程参与，因此甲的工作时长为x天；甲先单独做2天后乙才加入，因此乙的工作时长比总工期少2天，为(x-2)天；最后根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”即可列出对应方程。
【解析】
解：将这项工程的总工作量看作单位“1”。
甲单独做6天完成，因此甲的工作效率为$\frac{1}{6}$；乙单独做8天完成，因此乙的工作效率为$\frac{1}{8}$。
已知完成此项工程共需x天：
甲全程参与工作，总工作量为$\frac{1}{6} × x = \frac{x}{6}$；
乙在甲工作2天后才加入，因此乙的工作时长为$(x-2)$天，总工作量为$\frac{1}{8} × (x-2) = \frac{x-2}{8}$。
根据总工作量为1，可列方程：$\frac{x}{6}+\frac{x-2}{8}=1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程问题的常规基础题，解题关键是准确梳理不同主体的工作时长，牢记总工作量设为单位1的设定，熟练运用工作量、工作效率、工作时间三者的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程问题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，利用“工作量=工作效率×工作时间”的关系列方程。首先推导甲、乙的工作效率：工作效率=1÷单独完成总时长；其次明确两人的工作时长：总工期为x天，甲从工程开始到结束全程参与，因此甲的工作时长为x天；甲先单独做2天后乙才加入，因此乙的工作时长比总工期少2天，为(x-2)天；最后根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”即可列出对应方程。
【解析】
解：将这项工程的总工作量看作单位“1”。
甲单独做6天完成，因此甲的工作效率为$\frac{1}{6}$；乙单独做8天完成，因此乙的工作效率为$\frac{1}{8}$。
已知完成此项工程共需x天：
甲全程参与工作，总工作量为$\frac{1}{6} × x = \frac{x}{6}$；
乙在甲工作2天后才加入，因此乙的工作时长为$(x-2)$天，总工作量为$\frac{1}{8} × (x-2) = \frac{x-2}{8}$。
根据总工作量为1，可列方程：$\frac{x}{6}+\frac{x-2}{8}=1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程问题的常规基础题，解题关键是准确梳理不同主体的工作时长，牢记总工作量设为单位1的设定，熟练运用工作量、工作效率、工作时间三者的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5.(2026昭通期末)八年级(2)班共有学生50人,其中男生人数比女生人数多6人,劳动技术课上,老师组织同学们自己动手组装飞机模型,每名学生一节课能组装机身6个或机翼13个.
(1)八年级(2)班有男生和女生各多少人?
(2)原计划女生负责组装机身,男生负责组装机翼,每个机身匹配2个机翼,那么这一节课组装出的机身和机翼不能完全配套,最后决定让n名男生去支援女生,使这一节课组装出的机身和机翼刚好配套,则派去支援女生的男生人数n等于多少?
(1)八年级(2)班有男生和女生各多少人?
(2)原计划女生负责组装机身,男生负责组装机翼,每个机身匹配2个机翼,那么这一节课组装出的机身和机翼不能完全配套,最后决定让n名男生去支援女生,使这一节课组装出的机身和机翼刚好配套,则派去支援女生的男生人数n等于多少?
答案
解：
(1) 设八年级(2)班女生有x人，则男生有$(x+6)$人。
根据题意列方程：
$x + (x + 6) = 50$
解得：$x=22$
男生人数为：$22+6=28$（人）
(2) 安排$n$名男生支援女生后，组装机身的人数为$(22+n)$，组装机翼的人数为$(28-n)$。
根据“机翼总数是机身总数的2倍，刚好配套”列方程：
$2×6×(22+n)=13×(28-n)$
$12×(22+n)=364-13n$
$264+12n=364-13n$
$25n=100$
解得：$n=4$
答：八年级(2)班有男生28人，女生22人；派去支援女生的男生人数$n$等于4。
(1) 设八年级(2)班女生有x人，则男生有$(x+6)$人。
根据题意列方程：
$x + (x + 6) = 50$
解得：$x=22$
男生人数为：$22+6=28$（人）
(2) 安排$n$名男生支援女生后，组装机身的人数为$(22+n)$，组装机翼的人数为$(28-n)$。
根据“机翼总数是机身总数的2倍，刚好配套”列方程：
$2×6×(22+n)=13×(28-n)$
$12×(22+n)=364-13n$
$264+12n=364-13n$
$25n=100$
解得：$n=4$
答：八年级(2)班有男生28人，女生22人；派去支援女生的男生人数$n$等于4。
解析
【分析】
(1) 第一问属于和差类应用题，已知班级总人数和男女生的人数差，我们可以设女生人数为未知数，用含未知数的式子表示男生人数，再根据总人数的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 第二问是配套问题，解题核心是找准配套的数量关系：1个机身需要搭配2个机翼，即机翼总数量=机身总数量×2。先分别表示出支援后组装机身、组装机翼的人数，再结合每人的工作效率算出机身、机翼的总数量，代入配套等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 设八年级(2)班女生有x人，则男生人数为$(x+6)$人。
根据全班总人数为50人，列方程得：
$x + (x + 6) = 50$
解方程：$2x+6=50$，$2x=44$，解得$x=22$
则男生人数为：$22+6=28$（人）
(2) 安排n名男生支援女生后，组装机身的总人数为$(22+n)$人，组装机翼的总人数为$(28-n)$人。
根据“1个机身匹配2个机翼，刚好配套”可知机翼总数量是机身总数量的2倍，列方程得：
$2× 6×(22+n) = 13×(28-n)$
化简得：$12(22+n)=364-13n$
去括号得：$264+12n=364-13n$
移项合并同类项得：$25n=100$
解得：$n=4$
【答案】
八年级(2)班有男生28人，女生22人；派去支援女生的男生人数n等于4。
【知识点】
一元一次方程的应用；和差倍分问题；配套问题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的典型题型，第一问难度较低，熟练掌握和差关系列方程即可求解；第二问的易错点是容易搞反机身和机翼的配套倍数关系，解题时只要抓住“机翼总数是机身总数的2倍”这一核心等量关系，就能准确列方程求解。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问属于和差类应用题，已知班级总人数和男女生的人数差，我们可以设女生人数为未知数，用含未知数的式子表示男生人数，再根据总人数的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 第二问是配套问题，解题核心是找准配套的数量关系：1个机身需要搭配2个机翼，即机翼总数量=机身总数量×2。先分别表示出支援后组装机身、组装机翼的人数，再结合每人的工作效率算出机身、机翼的总数量，代入配套等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 设八年级(2)班女生有x人，则男生人数为$(x+6)$人。
根据全班总人数为50人，列方程得：
$x + (x + 6) = 50$
解方程：$2x+6=50$，$2x=44$，解得$x=22$
则男生人数为：$22+6=28$（人）
(2) 安排n名男生支援女生后，组装机身的总人数为$(22+n)$人，组装机翼的总人数为$(28-n)$人。
根据“1个机身匹配2个机翼，刚好配套”可知机翼总数量是机身总数量的2倍，列方程得：
$2× 6×(22+n) = 13×(28-n)$
化简得：$12(22+n)=364-13n$
去括号得：$264+12n=364-13n$
移项合并同类项得：$25n=100$
解得：$n=4$
【答案】
八年级(2)班有男生28人，女生22人；派去支援女生的男生人数n等于4。
【知识点】
一元一次方程的应用；和差倍分问题；配套问题
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的典型题型，第一问难度较低，熟练掌握和差关系列方程即可求解；第二问的易错点是容易搞反机身和机翼的配套倍数关系，解题时只要抓住“机翼总数是机身总数的2倍”这一核心等量关系，就能准确列方程求解。
【难度系数】
0.7
6.(应用意识)某中学计划购买一批校服，现有甲、乙两个工厂加工这批校服.已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工这批校服甲工厂比乙工厂要多用20天.
(1)这批校服共有多少件?
(2)为了尽快完成这批校服，若先由甲、乙两工厂按原速度合作一段时间后，甲工厂停工，而乙工厂每天的速度提高25%，乙工厂单独完成剩下的部分，且乙工厂全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，则乙工厂加工了多少天?
(1)这批校服共有多少件?
(2)为了尽快完成这批校服，若先由甲、乙两工厂按原速度合作一段时间后，甲工厂停工，而乙工厂每天的速度提高25%，乙工厂单独完成剩下的部分，且乙工厂全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，则乙工厂加工了多少天?
答案
解：(1) 设这批校服共有$x$件。
根据题意，得
$\frac{x}{16} - \frac{x}{24} = 20$
去分母，得$3x - 2x = 960$
解得$x = 960$
(2) 设甲工厂的工作时间为$y$天，则乙工厂全部的工作时间为$(2y + 4)$天。
乙工厂提速后每天加工校服的数量为：$24×(1+25\%) = 30$件
根据题意，得
$16y + 24y + 30×(2y + 4 - y) = 960$
化简得：$70y + 120 = 960$
解得$y = 12$
则乙工厂加工的天数为：$2×12 + 4 = 28$
答：(1) 这批校服共有960件；(2) 乙工厂加工了28天。
根据题意，得
$\frac{x}{16} - \frac{x}{24} = 20$
去分母，得$3x - 2x = 960$
解得$x = 960$
(2) 设甲工厂的工作时间为$y$天，则乙工厂全部的工作时间为$(2y + 4)$天。
乙工厂提速后每天加工校服的数量为：$24×(1+25\%) = 30$件
根据题意，得
$16y + 24y + 30×(2y + 4 - y) = 960$
化简得：$70y + 120 = 960$
解得$y = 12$
则乙工厂加工的天数为：$2×12 + 4 = 28$
答：(1) 这批校服共有960件；(2) 乙工厂加工了28天。
解析
【分析】
(1) 要计算校服总件数，可利用“单独加工时甲厂比乙厂多用20天”的等量关系列方程求解。工程问题中工作时间=工作总量÷工作效率，设总件数为未知数，分别表示出甲、乙单独加工的时间，作差等于20，解方程即可得到总件数。
(2) 要计算乙工厂的加工天数，可先设甲工厂的工作时间为y天，根据题意表示出乙的总工作时间为(2y+4)天。先算出乙提速后的工作效率，再根据“甲的工作量+乙合作阶段的工作量+乙提速后单独完成的工作量=总工作量”列方程，解出y后代入乙的工作时间表达式即可得到结果。
【解析】
(1) 设这批校服共有$x$件。
根据题意，甲单独加工的时间比乙多20天，列方程得：
$\frac{x}{16} - \frac{x}{24} = 20$
去分母（两边同时乘48），得$3x - 2x = 960$
解得$x = 960$，符合实际意义。
(2) 设甲工厂的工作时间为$y$天，则乙工厂全部的工作时间为$(2y + 4)$天。
先计算乙工厂提速后每天加工的校服数量：$24×(1+25\%) = 30$（件）
其中乙和甲合作的时长为$y$天，之后乙单独工作的时长为$(2y+4 - y)=y+4$天。
根据总工作量为960件，列方程得：
$16y + 24y + 30×(y+4) = 960$
化简得：$70y + 120 = 960$
解得$y = 12$，符合实际意义。
则乙工厂加工的天数为：$2×12 + 4 = 28$（天）
【答案】
(1) 这批校服共有960件；
(2) 乙工厂加工了28天。
【知识点】
一元一次方程的应用、工程问题、百分数的应用
【点评】
本题是结合生活场景的工程类应用题，核心考查工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系，解题的关键是准确梳理题干条件、找到等量关系列方程，计算时注意乙的工作效率分为两个阶段，避免漏算错算。
【难度系数】
0.7
(1) 要计算校服总件数，可利用“单独加工时甲厂比乙厂多用20天”的等量关系列方程求解。工程问题中工作时间=工作总量÷工作效率，设总件数为未知数，分别表示出甲、乙单独加工的时间，作差等于20，解方程即可得到总件数。
(2) 要计算乙工厂的加工天数，可先设甲工厂的工作时间为y天，根据题意表示出乙的总工作时间为(2y+4)天。先算出乙提速后的工作效率，再根据“甲的工作量+乙合作阶段的工作量+乙提速后单独完成的工作量=总工作量”列方程，解出y后代入乙的工作时间表达式即可得到结果。
【解析】
(1) 设这批校服共有$x$件。
根据题意，甲单独加工的时间比乙多20天，列方程得：
$\frac{x}{16} - \frac{x}{24} = 20$
去分母（两边同时乘48），得$3x - 2x = 960$
解得$x = 960$，符合实际意义。
(2) 设甲工厂的工作时间为$y$天，则乙工厂全部的工作时间为$(2y + 4)$天。
先计算乙工厂提速后每天加工的校服数量：$24×(1+25\%) = 30$（件）
其中乙和甲合作的时长为$y$天，之后乙单独工作的时长为$(2y+4 - y)=y+4$天。
根据总工作量为960件，列方程得：
$16y + 24y + 30×(y+4) = 960$
化简得：$70y + 120 = 960$
解得$y = 12$，符合实际意义。
则乙工厂加工的天数为：$2×12 + 4 = 28$（天）
【答案】
(1) 这批校服共有960件；
(2) 乙工厂加工了28天。
【知识点】
一元一次方程的应用、工程问题、百分数的应用
【点评】
本题是结合生活场景的工程类应用题，核心考查工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系，解题的关键是准确梳理题干条件、找到等量关系列方程，计算时注意乙的工作效率分为两个阶段，避免漏算错算。
【难度系数】
0.7
