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【变式2】某中学需要制作宣传栏，请来三名工人，已知甲单独做需12天完成，乙单独做需20天完成，丙单独做需15天完成。现在甲和乙合作了4天，余下的工作由乙和丙两人合作完成。完成后，支付酬金4 000元。如果按各人完成的工作量计算报酬，那么乙应得报酬多少元？
答案
解：设余下的工作由乙和丙合作$x$天完成，将总工作量看作单位1。
甲的工作效率为$\frac{1}{12}$，乙的工作效率为$\frac{1}{20}$，丙的工作效率为$\frac{1}{15}$，根据题意列方程：
$4×(\frac{1}{12}+\frac{1}{20}) + x×(\frac{1}{20}+\frac{1}{15}) = 1$
化简得：
$\frac{8}{15} + \frac{7x}{60} = 1$
两边同乘60得：
$32 + 7x = 60$
解得：$x=4$
乙总共工作的天数为：$4+4=8$（天）
乙完成的工作量为：$8×\frac{1}{20}=\frac{2}{5}$
乙应得报酬为：$4000×\frac{2}{5}=1600$（元）
答：乙应得报酬1600元。
甲的工作效率为$\frac{1}{12}$，乙的工作效率为$\frac{1}{20}$，丙的工作效率为$\frac{1}{15}$，根据题意列方程：
$4×(\frac{1}{12}+\frac{1}{20}) + x×(\frac{1}{20}+\frac{1}{15}) = 1$
化简得：
$\frac{8}{15} + \frac{7x}{60} = 1$
两边同乘60得：
$32 + 7x = 60$
解得：$x=4$
乙总共工作的天数为：$4+4=8$（天）
乙完成的工作量为：$8×\frac{1}{20}=\frac{2}{5}$
乙应得报酬为：$4000×\frac{2}{5}=1600$（元）
答：乙应得报酬1600元。
解析
【分析】
这是工程类实际应用题，解题首先将总工作量看作单位“1”，先根据“工作效率=1÷单独完成工作的总时长”求出甲、乙、丙三人的工作效率。先计算甲乙合作4天的工作量，再设余下工作乙丙合作x天完成，根据“甲乙合作完成的工作量+乙丙合作完成的工作量=总工作量1”列方程求出x，接着计算乙的总工作时长，求出乙完成的工作量占总工作量的比例，最后用总酬金乘该比例即可得到乙的应得报酬。
【解析】
设余下的工作由乙和丙合作$x$天完成，将总工作量看作单位1。
甲的工作效率为$\frac{1}{12}$，乙的工作效率为$\frac{1}{20}$，丙的工作效率为$\frac{1}{15}$，根据题意列方程：
$4×(\frac{1}{12}+\frac{1}{20}) + x×(\frac{1}{20}+\frac{1}{15}) = 1$
化简得：
$\frac{8}{15} + \frac{7x}{60} = 1$
两边同乘60得：
$32 + 7x = 60$
解得：$x=4$
乙总共工作的天数为：$4+4=8$（天）
乙完成的工作量为：$8×\frac{1}{20}=\frac{2}{5}$
乙应得报酬为：$4000×\frac{2}{5}=1600$（元）
【答案】
1600元
【知识点】
工程问题、一元一次方程应用、按比例分配
【点评】
本题是工程问题的典型考法，核心是把总工作量设为单位“1”，利用“工作效率×工作时间=工作量”的等量关系列方程求解，再按照工作量占比分配酬劳，能有效考察学生用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是工程类实际应用题，解题首先将总工作量看作单位“1”，先根据“工作效率=1÷单独完成工作的总时长”求出甲、乙、丙三人的工作效率。先计算甲乙合作4天的工作量，再设余下工作乙丙合作x天完成，根据“甲乙合作完成的工作量+乙丙合作完成的工作量=总工作量1”列方程求出x，接着计算乙的总工作时长，求出乙完成的工作量占总工作量的比例，最后用总酬金乘该比例即可得到乙的应得报酬。
【解析】
设余下的工作由乙和丙合作$x$天完成，将总工作量看作单位1。
甲的工作效率为$\frac{1}{12}$，乙的工作效率为$\frac{1}{20}$，丙的工作效率为$\frac{1}{15}$，根据题意列方程：
$4×(\frac{1}{12}+\frac{1}{20}) + x×(\frac{1}{20}+\frac{1}{15}) = 1$
化简得：
$\frac{8}{15} + \frac{7x}{60} = 1$
两边同乘60得：
$32 + 7x = 60$
解得：$x=4$
乙总共工作的天数为：$4+4=8$（天）
乙完成的工作量为：$8×\frac{1}{20}=\frac{2}{5}$
乙应得报酬为：$4000×\frac{2}{5}=1600$（元）
【答案】
1600元
【知识点】
工程问题、一元一次方程应用、按比例分配
【点评】
本题是工程问题的典型考法，核心是把总工作量设为单位“1”，利用“工作效率×工作时间=工作量”的等量关系列方程求解，再按照工作量占比分配酬劳，能有效考察学生用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
1.七年级(1)班共有学生42名，一节美术课上老师组织同学们做圆柱形茶叶桶(一个桶身两个桶底组成一套)，每名学生能做桶身20个或桶底30个，为使做的桶身和桶底正好配套.设安排x名学生做桶身，则下面所列方程正确的是().
A.$20x=30(42-x)$
B.$2×20x=30(42-x)$
C.$20(42-x)=30x$
D.$20x=2×30(42-x)$
A.$20x=30(42-x)$
B.$2×20x=30(42-x)$
C.$20(42-x)=30x$
D.$20x=2×30(42-x)$
答案
B
解析
【分析】
这是典型的一元一次方程配套应用题，解题核心是先明确配套的数量关系，再分别表示出两类零件的总数量，最后根据配套关系列等式。首先确定做桶身和桶底的人数：设x人做桶身，总人数42，所以做桶底的人数是(42-x)；再分别计算桶身、桶底的总数量：每人做20个桶身，总桶身数是20x，每人做30个桶底，总桶底数是30(42-x)；最后抓配套规则：1个桶身需要配2个桶底，说明刚好配套时，桶底的总数量是桶身总数量的2倍，据此就能列出正确的方程。
【解析】
步骤1：确定做桶底的学生人数：已知安排x名学生做桶身，总人数为42名，因此做桶底的学生人数为$(42-x)$名。
步骤2：计算桶身、桶底的总数量：
做桶身的总数量：每名学生做20个桶身，x名学生共做桶身$20x$个；
做桶底的总数量：每名学生做30个桶底，$(42-x)$名学生共做桶底$30(42-x)$个。
步骤3：根据配套关系列方程：
因为1个桶身需要搭配2个桶底才能组成一套，要使桶身和桶底正好配套，那么桶底的总数量 = 2×桶身的总数量，代入可得：
$2× 20x=30(42-x)$
因此选项B正确。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；配套问题
【点评】
本题是配套类的基础常考题，解题的核心是找准配套时两种部件的数量倍数关系，再结合总数量的表达式列出方程即可。
【难度系数】
0.8
这是典型的一元一次方程配套应用题，解题核心是先明确配套的数量关系，再分别表示出两类零件的总数量，最后根据配套关系列等式。首先确定做桶身和桶底的人数：设x人做桶身，总人数42，所以做桶底的人数是(42-x)；再分别计算桶身、桶底的总数量：每人做20个桶身，总桶身数是20x，每人做30个桶底，总桶底数是30(42-x)；最后抓配套规则：1个桶身需要配2个桶底，说明刚好配套时，桶底的总数量是桶身总数量的2倍，据此就能列出正确的方程。
【解析】
步骤1：确定做桶底的学生人数：已知安排x名学生做桶身，总人数为42名，因此做桶底的学生人数为$(42-x)$名。
步骤2：计算桶身、桶底的总数量：
做桶身的总数量：每名学生做20个桶身，x名学生共做桶身$20x$个；
做桶底的总数量：每名学生做30个桶底，$(42-x)$名学生共做桶底$30(42-x)$个。
步骤3：根据配套关系列方程：
因为1个桶身需要搭配2个桶底才能组成一套，要使桶身和桶底正好配套，那么桶底的总数量 = 2×桶身的总数量，代入可得：
$2× 20x=30(42-x)$
因此选项B正确。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；配套问题
【点评】
本题是配套类的基础常考题，解题的核心是找准配套时两种部件的数量倍数关系，再结合总数量的表达式列出方程即可。
【难度系数】
0.8
2.一项工程，甲单独做需5天完成，乙单独做需6天完成.若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此项工程的$\frac{4}{5}$.若设甲一共做了x天，则所列方程为.
答案
解：
由题意可知，甲的工作效率为$\frac{1}{5}$，乙的工作效率为$\frac{1}{6}$。
甲一共做了$x$天，甲先单独做1天，因此乙参与合作的工作天数为$(x-1)$天。
根据甲的总工作量与乙的总工作量之和等于完成的总工程量$\frac{4}{5}$，所列方程为：
$\frac{x}{5} + \frac{x-1}{6} = \frac{4}{5}$
由题意可知，甲的工作效率为$\frac{1}{5}$，乙的工作效率为$\frac{1}{6}$。
甲一共做了$x$天，甲先单独做1天，因此乙参与合作的工作天数为$(x-1)$天。
根据甲的总工作量与乙的总工作量之和等于完成的总工程量$\frac{4}{5}$，所列方程为：
$\frac{x}{5} + \frac{x-1}{6} = \frac{4}{5}$
解析
【分析】
解工程类问题时，首先默认把总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成的工作时间”先求出甲、乙各自的工作效率。题目设甲一共做了x天，结合“甲先做1天，之后甲乙合作”的条件，可知乙的工作时长比甲少1天，即（x-1）天。最后根据“甲的总工作量+乙的总工作量=完成的工程量$\frac{4}{5}$”的等量关系，就能列出对应方程。
【解析】
把这项工程的总工作量看作单位“1”：
1. 计算工作效率：甲单独做5天完成，甲的工作效率为$\frac{1}{5}$；乙单独做6天完成，乙的工作效率为$\frac{1}{6}$。
2. 确定工作量：甲一共做了x天，甲的总工作量为$\frac{x}{5}$；甲先做1天乙才加入，所以乙的工作时间为$(x-1)$天，乙的总工作量为$\frac{x-1}{6}$。
3. 列方程：两人共同完成了总工程的$\frac{4}{5}$，因此甲的工作量加乙的工作量等于$\frac{4}{5}$，可得方程：$\frac{x}{5} + \frac{x-1}{6} = \frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{x}{5} + \frac{x-1}{6} = \frac{4}{5}$
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程问题的常规基础题型，解题核心是将总工作量默认为单位“1”，需要注意的易错点是乙的工作时长比甲少1天，准确梳理两个主体的工作时间后，结合工作量的等量关系就能顺利列方程。
【难度系数】
0.8
解工程类问题时，首先默认把总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成的工作时间”先求出甲、乙各自的工作效率。题目设甲一共做了x天，结合“甲先做1天，之后甲乙合作”的条件，可知乙的工作时长比甲少1天，即（x-1）天。最后根据“甲的总工作量+乙的总工作量=完成的工程量$\frac{4}{5}$”的等量关系，就能列出对应方程。
【解析】
把这项工程的总工作量看作单位“1”：
1. 计算工作效率：甲单独做5天完成，甲的工作效率为$\frac{1}{5}$；乙单独做6天完成，乙的工作效率为$\frac{1}{6}$。
2. 确定工作量：甲一共做了x天，甲的总工作量为$\frac{x}{5}$；甲先做1天乙才加入，所以乙的工作时间为$(x-1)$天，乙的总工作量为$\frac{x-1}{6}$。
3. 列方程：两人共同完成了总工程的$\frac{4}{5}$，因此甲的工作量加乙的工作量等于$\frac{4}{5}$，可得方程：$\frac{x}{5} + \frac{x-1}{6} = \frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{x}{5} + \frac{x-1}{6} = \frac{4}{5}$
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程问题的常规基础题型，解题核心是将总工作量默认为单位“1”，需要注意的易错点是乙的工作时长比甲少1天，准确梳理两个主体的工作时间后，结合工作量的等量关系就能顺利列方程。
【难度系数】
0.8
3.整理一批图书，甲单独做需6 h完成，乙单独做需9 h完成.先由甲单独做1 h，然后剩下的部分由甲、乙合作完成.甲、乙两人合作整理这批图书用了多长时间？
答案
解：设甲、乙两人合作整理这批图书用了$x\ \mathrm{h}$。
将总工作量看作单位1，甲每小时完成总工作量的$\frac{1}{6}$，乙每小时完成总工作量的$\frac{1}{9}$，根据题意列方程：
$\frac{1}{6} × 1 + (\frac{1}{6} + \frac{1}{9})x = 1$
两边同乘18去分母，得：
$3 + 5x = 18$
移项、合并同类项，得：
$5x = 15$
系数化为1，得：
$x=3$
答：甲、乙两人合作整理这批图书用了3 h。
将总工作量看作单位1，甲每小时完成总工作量的$\frac{1}{6}$，乙每小时完成总工作量的$\frac{1}{9}$，根据题意列方程：
$\frac{1}{6} × 1 + (\frac{1}{6} + \frac{1}{9})x = 1$
两边同乘18去分母，得：
$3 + 5x = 18$
移项、合并同类项，得：
$5x = 15$
系数化为1，得：
$x=3$
答：甲、乙两人合作整理这批图书用了3 h。
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题思路如下：首先工程问题通常将总工作量看作单位“1”，先根据单独完成工作的时间算出甲、乙各自的工作效率（工作效率=1÷单独完成总工作的时长）；本题的工作分为两部分：甲单独做1小时的工作量、甲和乙合作x小时的工作量，两部分工作量之和等于总工作量“1”，我们依据这个等量关系设未知数列一元一次方程即可求解。
【解析】
解：设甲、乙两人合作整理这批图书用了$x\ \mathrm{h}$。
将总工作量看作单位1，甲每小时完成总工作量的$\frac{1}{6}$，乙每小时完成总工作量的$\frac{1}{9}$，根据题意列方程：
$\frac{1}{6} × 1 + (\frac{1}{6} + \frac{1}{9})x = 1$
两边同乘18去分母，得：
$3 + 5x = 18$
移项、合并同类项，得：
$5x = 15$
系数化为1，得：
$x=3$
答：甲、乙两人合作整理这批图书用了3 h。
【答案】
3 h
【知识点】
一元一次方程的应用、工程问题、工作量与效率时间的关系
【点评】
本题是工程类应用题的基础题型，解题核心是将总工作量设为单位1，准确拆分不同阶段的工作量找到等量关系列方程求解，掌握该类题型可为后续解决更复杂的合作类工程问题打下基础。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程类应用题，解题思路如下：首先工程问题通常将总工作量看作单位“1”，先根据单独完成工作的时间算出甲、乙各自的工作效率（工作效率=1÷单独完成总工作的时长）；本题的工作分为两部分：甲单独做1小时的工作量、甲和乙合作x小时的工作量，两部分工作量之和等于总工作量“1”，我们依据这个等量关系设未知数列一元一次方程即可求解。
【解析】
解：设甲、乙两人合作整理这批图书用了$x\ \mathrm{h}$。
将总工作量看作单位1，甲每小时完成总工作量的$\frac{1}{6}$，乙每小时完成总工作量的$\frac{1}{9}$，根据题意列方程：
$\frac{1}{6} × 1 + (\frac{1}{6} + \frac{1}{9})x = 1$
两边同乘18去分母，得：
$3 + 5x = 18$
移项、合并同类项，得：
$5x = 15$
系数化为1，得：
$x=3$
答：甲、乙两人合作整理这批图书用了3 h。
【答案】
3 h
【知识点】
一元一次方程的应用、工程问题、工作量与效率时间的关系
【点评】
本题是工程类应用题的基础题型，解题核心是将总工作量设为单位1，准确拆分不同阶段的工作量找到等量关系列方程求解，掌握该类题型可为后续解决更复杂的合作类工程问题打下基础。
【难度系数】
0.8
1.(2026昆明官渡区期末)“云礼华裳·礼遇官渡”——第11届云南汉服文化节于2025年1月22日在昆明官渡古镇举行.文化节的手工体验区有30名志愿者,每人每天可以制作20支汉服发簪或30个流苏吊坠.若1支发簪需要配3个流苏吊坠,为使每天制作的发簪和流苏吊坠刚好配套,则制作发簪和流苏吊坠的志愿者应分别安排多少名？
答案
解：设安排x名志愿者制作发簪，则安排(30 - x)名志愿者制作流苏吊坠。
根据题意，得
$3×20x = 30(30 - x)$
$60x = 900 - 30x$
$90x = 900$
$x = 10$
则$30 - x = 30 - 10 = 20$
答：制作发簪的志愿者应安排10名，制作流苏吊坠的志愿者应安排20名。
根据题意，得
$3×20x = 30(30 - x)$
$60x = 900 - 30x$
$90x = 900$
$x = 10$
则$30 - x = 30 - 10 = 20$
答：制作发簪的志愿者应安排10名，制作流苏吊坠的志愿者应安排20名。
解析
【分析】
这是典型的配套类一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步明确核心配套关系：1支发簪需要配3个流苏吊坠，即每天生产的流苏吊坠总数量是发簪总数量的3倍，这是列方程的关键等量关系；第二步设未知数，设制作发簪的志愿者人数为x，那么制作流苏吊坠的志愿者人数就是总人数30减去x；第三步分别表示出两类产品的日产量：发簪日总产量为每人每天产量20支乘以人数x，流苏吊坠日总产量为每人每天产量30个乘以人数(30-x)；第四步根据配套等量关系列方程，求解即可得到两类岗位的志愿者人数。
【解析】
解：设安排x名志愿者制作发簪，则安排(30 - x)名志愿者制作流苏吊坠。
根据题意列方程得：
$3×20x = 30(30 - x)$
化简得：$60x = 900 - 30x$
移项合并同类项得：$90x = 900$
系数化为1得：$x = 10$
则制作流苏吊坠的志愿者人数为：$30 - x = 30 - 10 = 20$（名）
【答案】
制作发簪的志愿者应安排10名，制作流苏吊坠的志愿者应安排20名。
【知识点】
一元一次方程的应用、配套问题
【点评】
本题是配套类应用题的常规考法，解题核心是准确梳理两种产品的配套比例，以此为依据找到正确的等量关系列方程，计算过程简单，掌握配套问题的分析逻辑即可快速解答。
【难度系数】
0.7
这是典型的配套类一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步明确核心配套关系：1支发簪需要配3个流苏吊坠，即每天生产的流苏吊坠总数量是发簪总数量的3倍，这是列方程的关键等量关系；第二步设未知数，设制作发簪的志愿者人数为x，那么制作流苏吊坠的志愿者人数就是总人数30减去x；第三步分别表示出两类产品的日产量：发簪日总产量为每人每天产量20支乘以人数x，流苏吊坠日总产量为每人每天产量30个乘以人数(30-x)；第四步根据配套等量关系列方程，求解即可得到两类岗位的志愿者人数。
【解析】
解：设安排x名志愿者制作发簪，则安排(30 - x)名志愿者制作流苏吊坠。
根据题意列方程得：
$3×20x = 30(30 - x)$
化简得：$60x = 900 - 30x$
移项合并同类项得：$90x = 900$
系数化为1得：$x = 10$
则制作流苏吊坠的志愿者人数为：$30 - x = 30 - 10 = 20$（名）
【答案】
制作发簪的志愿者应安排10名，制作流苏吊坠的志愿者应安排20名。
【知识点】
一元一次方程的应用、配套问题
【点评】
本题是配套类应用题的常规考法，解题核心是准确梳理两种产品的配套比例，以此为依据找到正确的等量关系列方程，计算过程简单，掌握配套问题的分析逻辑即可快速解答。
【难度系数】
0.7
2.某工人原计划13 h生产一批零件，后因每小时多生产10个，用12 h不但完成了任务，而且比原计划多生产了60个，则原计划生产零件().
A.650个
B.720个
C.780个
D.800个
A.650个
B.720个
C.780个
D.800个
答案
C
解析
【分析】
这是一道工程类的一元一次方程应用题，解题核心是利用“工作总量=工作效率×工作时间”的关系找准等量关系。我们可以先设原计划每小时生产的零件数为未知数，再根据“实际12小时生产的零件数 = 原计划总零件数 + 60”这一等量关系列方程求解，最后算出原计划生产的零件总数即可。
【解析】
设原计划每小时生产$ x $个零件，则原计划生产的零件总数为$ 13x $个。
实际每小时生产$ (x+10) $个，12小时共生产$ 12(x+10) $个零件。
根据题意可列方程：
$ 12(x+10) = 13x + 60 $
展开得：$ 12x + 120 = 13x + 60 $
移项计算得：$ x = 60 $
则原计划生产零件总数为：$ 13x = 13 × 60 = 780 $（个）
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题基本公式
【点评】
本题是工程类方程应用的基础题型，解题关键是准确梳理实际产量与原计划产量的等量关系，熟练掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的运算关系就能轻松求解，是一元一次方程应用板块的常考题型。
【难度系数】
0.7
这是一道工程类的一元一次方程应用题，解题核心是利用“工作总量=工作效率×工作时间”的关系找准等量关系。我们可以先设原计划每小时生产的零件数为未知数，再根据“实际12小时生产的零件数 = 原计划总零件数 + 60”这一等量关系列方程求解，最后算出原计划生产的零件总数即可。
【解析】
设原计划每小时生产$ x $个零件，则原计划生产的零件总数为$ 13x $个。
实际每小时生产$ (x+10) $个，12小时共生产$ 12(x+10) $个零件。
根据题意可列方程：
$ 12(x+10) = 13x + 60 $
展开得：$ 12x + 120 = 13x + 60 $
移项计算得：$ x = 60 $
则原计划生产零件总数为：$ 13x = 13 × 60 = 780 $（个）
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题基本公式
【点评】
本题是工程类方程应用的基础题型，解题关键是准确梳理实际产量与原计划产量的等量关系，熟练掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的运算关系就能轻松求解，是一元一次方程应用板块的常考题型。
【难度系数】
0.7
