1.如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=12，BD=3，求AC的长.

解：
∵ 点B为CD的中点，
∴ CD = 2BD。
∵ BD = 3，
∴ CD = 2×3 = 6。
又∵ 点C在线段AD上，
∴ AC = AD - CD。
∵ AD = 12，
∴ AC = 12 - 6 = 6。
答：AC的长为6。

【分析】
解题时先梳理已知条件和所求线段的关系：从线段图可知，线段AC是线段AD去掉CD剩下的部分，即AC=AD-CD，已知AD的长度，所以只需先求出CD的长度即可。已知点B是CD的中点，根据线段中点的性质，CD的长度是BD的2倍，结合给出的BD=3就能算出CD的长度，最后代入AC和AD、CD的和差关系计算即可得到结果。
【解析】
∵ 点B为CD的中点，
∴ CD = 2BD。
∵ BD = 3，
∴ CD = 2×3 = 6。
又
∵ 点C在线段AD上，
∴ AC = AD - CD。
∵ AD = 12，
∴ AC = 12 - 6 = 6。
【答案】
AC的长为6
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是利用线段中点的性质求出未知线段CD的长度，再结合线段的和差关系计算所求线段，掌握相关基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

2.如图，C是线段AB上一点，D是AC的中点，E是BC的中点，AE=7 cm，BC=6 cm.
(1)求线段AB的长；
(2)求线段DE的长.

解：
(1) 因为E是BC的中点，BC=6 cm，
所以 $BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
又因为 $AE=7\ \mathrm{cm}$，
所以 $AB=AE+BE=7+3=10\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为 $AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，
所以 $AC=AB-BC=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
因为D是AC的中点，
所以 $DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$。
又因为E是BC的中点，
所以 $CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
所以 $DE=DC+CE=2+3=5\ \mathrm{cm}$。

【分析】
解题时首先要明确线段中点的性质：中点将一条线段分成两条长度相等的线段。第(1)问求AB的长，已知AE的长度，只需要先求出BE的长度即可：已知E是BC中点、BC长度已知，可先由中点性质算出BE，再根据AB=AE+BE计算AB的长度。第(2)问求DE的长，观察图形可知DE=DC+CE，因此分别求DC和CE的长度即可：先由AB和BC的长度算出AC的长度，结合D是AC中点算出DC，再由E是BC中点算出CE，两者相加就是DE的长度。
【解析】
(1) 因为E是BC的中点，BC=6 cm，
所以 $BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
又因为 $AE=7\ \mathrm{cm}$，
所以 $AB=AE+BE=7+3=10\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为 $AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，
所以 $AC=AB-BC=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
因为D是AC的中点，
所以 $DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$。
又因为E是BC的中点，
所以 $CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
所以 $DE=DC+CE=2+3=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型基础题，解题核心是熟练运用线段中点的性质，结合图形梳理清楚各线段之间的数量关系，逐步推导即可得到结果，也可以总结出规律：一条线段上任意一点把线段分成两部分，这两部分的中点之间的距离等于原线段长度的一半，可提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8

3.如图,已知C,D为线段AB上两点,M,N分别是AC,BD的中点.
(1)若$AB=24,CD=10$,求$AC+DB$的长;
(2)若$AB=a,CD=b$,请用含$a,b$的式子表示出$MN$的长.

解：
(1) 由线段的和差关系可得：
$AC + DB = AB - CD$
把$AB=24$，$CD=10$代入，得：
$AC + DB = 24 - 10 = 14$
(2) ∵ M是AC的中点，
∴ $MC = \frac{1}{2}AC$，
∵ N是BD的中点，
∴ $DN = \frac{1}{2}BD$。
由线段和差可知：
$MN = MC + CD + DN$
$= \frac{1}{2}AC + CD + \frac{1}{2}BD$
$= \frac{1}{2}(AC + BD) + CD$
又∵ $AC + BD = AB - CD = a - b$，代入上式得：
$MN = \frac{1}{2}(a - b) + b = \frac{a + b}{2}$

【分析】
（1）观察线段AB的构成可知，AB由AC、CD、DB三段组成，根据线段和差关系，AC与DB的长度和等于总长度AB减去中间CD的长度，代入已知数值即可求解。
（2）求MN的长度时，首先利用线段中点的性质，得到MC是AC的一半、DN是BD的一半；再观察MN的组成，MN由MC、CD、DN三段拼接而成，代入中点结论后提取公因式，再结合AC+BD=AB-CD的关系，将AB=a、CD=b整体代入化简即可得到结果。
【解析】
(1) 根据线段的和差关系可得：
$AC + DB = AB - CD$
将$AB=24$，$CD=10$代入上式，得：
$AC + DB = 24 - 10 = 14$
(2)
∵ M是AC的中点，
∴ $MC = \frac{1}{2}AC$，
∵ N是BD的中点，
∴ $DN = \frac{1}{2}BD$。
根据线段的和差关系可知：
$MN = MC + CD + DN$
将$MC$、$DN$代入得：
$MN= \frac{1}{2}AC + CD + \frac{1}{2}BD$
整理得：
$MN= \frac{1}{2}(AC + BD) + CD$
又
∵ $AC + BD = AB - CD = a - b$，代入上式得：
$MN = \frac{1}{2}(a - b) + b = \frac{a + b}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{14}$；(2) $\boxed{\dfrac{a+b}{2}}$
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义，整体代入求值
【点评】
本题是线段计算的典型基础题，重点考查线段和差关系、中点性质的应用，解题核心是理清各线段的组成关系，第二问运用整体代换的思想可简化运算，是后续复杂线段计算的基础题型。
【难度系数】
0.8

4.研究数学问题常常是从特殊走向一般.如图,点A,D,C,E,B在同一条直线上,D是AC的中点,E是CB的中点.
(1)若$AB=20$,C是AB的中点,求DE的长;
(2)若C是线段AB上任意一点,$AB=a$,则DE如何用含a的代数式表示?

解：
(1) 因为C是AB的中点，AB=20，
所以$AC = BC = \frac{1}{2}AB = 10$。
又因为D是AC的中点，E是CB的中点，
所以$DC = \frac{1}{2}AC = 5$，$CE = \frac{1}{2}CB = 5$，
所以$DE = DC + CE = 5 + 5 = 10$。
(2) 因为D是AC的中点，E是CB的中点，
所以$DC = \frac{1}{2}AC$，$CE = \frac{1}{2}CB$，
所以$DE = DC + CE = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}CB = \frac{1}{2}(AC + CB)$。
又因为$AC + CB = AB = a$，
所以$DE = \frac{1}{2}a$。
答：(1) DE的长为10；(2) DE用含a的代数式表示为$\frac{1}{2}a$。

【分析】
这是线段中点与和差运算结合的计算题，解题思路如下：
（1）第一问是特殊情况，已知C为AB中点，先结合AB的长度求出AC、BC的长度；再根据D是AC中点、E是CB中点，分别求出DC和CE的长度，最后根据DE由DC和CE两段组成，相加即可得到DE的长度。
（2）第二问是一般情况，C为AB上任意点，依然利用中点性质把DC表示为AC的一半，CE表示为CB的一半，将DE拆分为DC+CE后提取公因式，可得DE为AC与CB之和的一半，而AC+CB就是AB，代入AB=a即可得到DE的表达式。
【解析】
(1) 因为C是AB的中点，$AB=20$，
所以$AC = BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×20 = 10$。
又因为D是AC的中点，E是CB的中点，
所以$DC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×10 = 5$，$CE = \frac{1}{2}CB = \frac{1}{2}×10 = 5$，
所以$DE = DC + CE = 5 + 5 = 10$。
(2) 因为D是AC的中点，E是CB的中点，
所以$DC = \frac{1}{2}AC$，$CE = \frac{1}{2}CB$，
所以$DE = DC + CE = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}CB = \frac{1}{2}(AC + CB)$。
又因为点C在线段AB上，所以$AC + CB = AB = a$，
所以$DE = \frac{1}{2}a$。
【答案】
(1) $10$；(2) $DE=\frac{1}{2}a$
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，代数式表示
【点评】
本题遵循从特殊到一般的研究思路，核心是灵活运用线段中点的性质，将所求线段转化为已知线段的和差形式，能帮助我们体会归纳推导的数学思维。
【难度系数】
0.8