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5.如图，AB=12，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：DC=1：2，则DB的长度为。
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先利用线段中点的性质求出AC、BC的长度；再根据AD与DC的比例关系算出DC的长度；最后DB由DC和CB两段组成，将两段长度相加即可得到DB的长度。
【解析】
解：
∵C是AB的中点，AB=12
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$
∵$AD:DC=1:2$，且$AD+DC=AC=6$
设$AD=x$，则$DC=2x$，代入得$x+2x=6$，解得$x=2$
∴$DC=2x=4$
∴$DB=DC+BC=4+6=10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，比例的应用
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题的核心是先借助中点性质和比例关系求出各小段线段的长度，再利用线段的和差关系求解目标线段，掌握基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先利用线段中点的性质求出AC、BC的长度；再根据AD与DC的比例关系算出DC的长度；最后DB由DC和CB两段组成，将两段长度相加即可得到DB的长度。
【解析】
解：
∵C是AB的中点，AB=12
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$
∵$AD:DC=1:2$，且$AD+DC=AC=6$
设$AD=x$，则$DC=2x$，代入得$x+2x=6$，解得$x=2$
∴$DC=2x=4$
∴$DB=DC+BC=4+6=10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，比例的应用
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题的核心是先借助中点性质和比例关系求出各小段线段的长度，再利用线段的和差关系求解目标线段，掌握基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
6.如图，C，D是线段AB上两点，已知AC：CD：DB=1：2：3，M，N分别为AC，DB的中点，且AB=18 cm，求线段MN的长.
答案
解：设AC = x cm，则CD = 2x cm，DB = 3x cm。
由题意得 $AC + CD + DB = AB = 18\ \mathrm{cm}$，
即 $x + 2x + 3x = 18$，
解得 $x = 3$。
所以 $AC = 3\ \mathrm{cm}$，$CD = 6\ \mathrm{cm}$，$DB = 9\ \mathrm{cm}$。
因为M是AC的中点，所以 $MC = \frac{1}{2}AC = 1.5\ \mathrm{cm}$。
因为N是DB的中点，所以 $DN = \frac{1}{2}DB = 4.5\ \mathrm{cm}$。
所以 $MN = MC + CD + DN = 1.5 + 6 + 4.5 = 12\ (\mathrm{cm})$。
答：线段MN的长为12 cm。
由题意得 $AC + CD + DB = AB = 18\ \mathrm{cm}$，
即 $x + 2x + 3x = 18$，
解得 $x = 3$。
所以 $AC = 3\ \mathrm{cm}$，$CD = 6\ \mathrm{cm}$，$DB = 9\ \mathrm{cm}$。
因为M是AC的中点，所以 $MC = \frac{1}{2}AC = 1.5\ \mathrm{cm}$。
因为N是DB的中点，所以 $DN = \frac{1}{2}DB = 4.5\ \mathrm{cm}$。
所以 $MN = MC + CD + DN = 1.5 + 6 + 4.5 = 12\ (\mathrm{cm})$。
答：线段MN的长为12 cm。
解析
【分析】
解题时首先观察到线段AC、CD、DB的长度比为1:2:3，我们可以采用设每份长度为x的方法，将三段线段分别用含x的式子表示，再根据AB的总长度列方程求出x的值，得到各段线段的长度；接下来根据线段中点的性质，求出MC和DN的长度，最后观察MN的组成：MN由MC、CD、DN三段组成，将三段长度相加即可得到MN的长度。
【解析】
解：设AC = x cm，则CD = 2x cm，DB = 3x cm。
由题意得 $AC + CD + DB = AB = 18\ \mathrm{cm}$，
即 $x + 2x + 3x = 18$，
解得 $x = 3$。
所以 $AC = 3\ \mathrm{cm}$，$CD = 6\ \mathrm{cm}$，$DB = 9\ \mathrm{cm}$。
因为M是AC的中点，所以 $MC = \frac{1}{2}AC = 1.5\ \mathrm{cm}$。
因为N是DB的中点，所以 $DN = \frac{1}{2}DB = 4.5\ \mathrm{cm}$。
所以 $MN = MC + CD + DN = 1.5 + 6 + 4.5 = 12\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
12 cm
【知识点】
线段中点、线段和差计算、比例线段应用
【点评】
本题是线段计算的常规题型，解题关键是通过设参数结合线段总长度求出各分段的长度，再结合中点性质和线段的和差关系求解，熟练掌握该方法可高效解决同类型的线段长度计算问题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到线段AC、CD、DB的长度比为1:2:3，我们可以采用设每份长度为x的方法，将三段线段分别用含x的式子表示，再根据AB的总长度列方程求出x的值，得到各段线段的长度；接下来根据线段中点的性质，求出MC和DN的长度，最后观察MN的组成：MN由MC、CD、DN三段组成，将三段长度相加即可得到MN的长度。
【解析】
解：设AC = x cm，则CD = 2x cm，DB = 3x cm。
由题意得 $AC + CD + DB = AB = 18\ \mathrm{cm}$，
即 $x + 2x + 3x = 18$，
解得 $x = 3$。
所以 $AC = 3\ \mathrm{cm}$，$CD = 6\ \mathrm{cm}$，$DB = 9\ \mathrm{cm}$。
因为M是AC的中点，所以 $MC = \frac{1}{2}AC = 1.5\ \mathrm{cm}$。
因为N是DB的中点，所以 $DN = \frac{1}{2}DB = 4.5\ \mathrm{cm}$。
所以 $MN = MC + CD + DN = 1.5 + 6 + 4.5 = 12\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
12 cm
【知识点】
线段中点、线段和差计算、比例线段应用
【点评】
本题是线段计算的常规题型，解题关键是通过设参数结合线段总长度求出各分段的长度，再结合中点性质和线段的和差关系求解，熟练掌握该方法可高效解决同类型的线段长度计算问题。
【难度系数】
0.8
7.已知点 B 在直线 AC 上，AB=4 cm，BC=10 cm，P，Q 分别是 AB，BC 的中点，则线段 PQ 长为 cm.
答案
解：分两种情况讨论：
① 当点B在A、C两点之间时：
∵ P是AB的中点，AB=4 cm，
∴ $PB=\frac{1}{2}AB=2\ \mathrm{cm}$。
∵ Q是BC的中点，BC=10 cm，
∴ $BQ=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$。
∴ $PQ=PB+BQ=2+5=7\ \mathrm{cm}$。
② 当点A在B、C两点之间时：
∵ P是AB的中点，AB=4 cm，
∴ $PB=\frac{1}{2}AB=2\ \mathrm{cm}$。
∵ Q是BC的中点，BC=10 cm，
∴ $BQ=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$。
∴ $PQ=BQ-PB=5-2=3\ \mathrm{cm}$。
综上，线段PQ长为$\boldsymbol{7}$或$\boldsymbol{3}$ cm。
① 当点B在A、C两点之间时：
∵ P是AB的中点，AB=4 cm，
∴ $PB=\frac{1}{2}AB=2\ \mathrm{cm}$。
∵ Q是BC的中点，BC=10 cm，
∴ $BQ=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$。
∴ $PQ=PB+BQ=2+5=7\ \mathrm{cm}$。
② 当点A在B、C两点之间时：
∵ P是AB的中点，AB=4 cm，
∴ $PB=\frac{1}{2}AB=2\ \mathrm{cm}$。
∵ Q是BC的中点，BC=10 cm，
∴ $BQ=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$。
∴ $PQ=BQ-PB=5-2=3\ \mathrm{cm}$。
综上，线段PQ长为$\boldsymbol{7}$或$\boldsymbol{3}$ cm。
解析
【分析】
本题中点B在直线AC上，直线上的点位置不固定，因此需要分两种情况讨论点的相对位置：①点B在A、C两点之间；②点A在B、C两点之间。解题时先根据线段中点的定义分别求出PB、BQ的长度，再结合两种位置关系分别计算PQ的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点B在A、C两点之间时：
∵ P是AB的中点，AB=4 cm，
∴ $PB=\frac{1}{2}AB=2\ \mathrm{cm}$。
∵ Q是BC的中点，BC=10 cm，
∴ $BQ=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$。
∴ $PQ=PB+BQ=2+5=7\ \mathrm{cm}$。
② 当点A在B、C两点之间时：
∵ P是AB的中点，AB=4 cm，
∴ $PB=\frac{1}{2}AB=2\ \mathrm{cm}$。
∵ Q是BC的中点，BC=10 cm，
∴ $BQ=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$。
∴ $PQ=BQ-PB=5-2=3\ \mathrm{cm}$。
综上，线段PQ长为3或7 cm。
【答案】
3或7
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略点在直线上的位置不唯一，漏算其中一种情况导致答案不全。解题时需先明确点的位置关系，再结合线段中点的性质进行和差运算即可求解。
【难度系数】
0.6
本题中点B在直线AC上，直线上的点位置不固定，因此需要分两种情况讨论点的相对位置：①点B在A、C两点之间；②点A在B、C两点之间。解题时先根据线段中点的定义分别求出PB、BQ的长度，再结合两种位置关系分别计算PQ的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点B在A、C两点之间时：
∵ P是AB的中点，AB=4 cm，
∴ $PB=\frac{1}{2}AB=2\ \mathrm{cm}$。
∵ Q是BC的中点，BC=10 cm，
∴ $BQ=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$。
∴ $PQ=PB+BQ=2+5=7\ \mathrm{cm}$。
② 当点A在B、C两点之间时：
∵ P是AB的中点，AB=4 cm，
∴ $PB=\frac{1}{2}AB=2\ \mathrm{cm}$。
∵ Q是BC的中点，BC=10 cm，
∴ $BQ=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$。
∴ $PQ=BQ-PB=5-2=3\ \mathrm{cm}$。
综上，线段PQ长为3或7 cm。
【答案】
3或7
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略点在直线上的位置不唯一，漏算其中一种情况导致答案不全。解题时需先明确点的位置关系，再结合线段中点的性质进行和差运算即可求解。
【难度系数】
0.6
8.如果线段$AB=4\ \mathrm{cm},BC=6\ \mathrm{cm}$,且点$A,B,C$在同一条直线上,求线段$AC$的长.
答案
解：分两种情况讨论：
① 当点A、C在点B的两侧时，
$AC = AB + BC = 4 + 6 = 10\ \mathrm{cm}$；
② 当点A、C在点B的同侧时，
$AC = BC - AB = 6 - 4 = 2\ \mathrm{cm}$。
综上，线段AC的长为10 cm或2 cm。
① 当点A、C在点B的两侧时，
$AC = AB + BC = 4 + 6 = 10\ \mathrm{cm}$；
② 当点A、C在点B的同侧时，
$AC = BC - AB = 6 - 4 = 2\ \mathrm{cm}$。
综上，线段AC的长为10 cm或2 cm。
解析
【分析】
题目仅明确A、B、C三点在同一直线上，未给出三点的相对位置顺序，因此需要分类讨论所有可能的位置情况：第一种是点A、C分别在点B的两侧，第二种是点A、C在点B的同侧，再结合线段的和差关系分别计算AC的长度即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当点A、C在点B的两侧时，
$AC = AB + BC = 4 + 6 = 10\ \mathrm{cm}$；
② 当点A、C在点B的同侧时，
$AC = BC - AB = 6 - 4 = 2\ \mathrm{cm}$。
综上，线段AC的长为10 cm或2 cm。
【答案】
10 cm或2 cm
【知识点】
线段和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见易错题，解题关键是当题目未明确共线点的位置顺序时，要全面考虑所有可能的位置情况，结合线段和差规律计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
题目仅明确A、B、C三点在同一直线上，未给出三点的相对位置顺序，因此需要分类讨论所有可能的位置情况：第一种是点A、C分别在点B的两侧，第二种是点A、C在点B的同侧，再结合线段的和差关系分别计算AC的长度即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当点A、C在点B的两侧时，
$AC = AB + BC = 4 + 6 = 10\ \mathrm{cm}$；
② 当点A、C在点B的同侧时，
$AC = BC - AB = 6 - 4 = 2\ \mathrm{cm}$。
综上，线段AC的长为10 cm或2 cm。
【答案】
10 cm或2 cm
【知识点】
线段和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见易错题，解题关键是当题目未明确共线点的位置顺序时，要全面考虑所有可能的位置情况，结合线段和差规律计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9.如图,点A,C,B在数轴上表示的数分别是-3,1,5.动点P,Q同时出发,动点P从点A出发,以每秒4个单位长度的速度沿“A→B→A”匀速运动回到点A停止运动.动点Q从点C出发,以每秒1个单位长度的速度沿“C→B”向终点B匀速运动.设点P的运动时间为t(s).当点P,Q到点C的距离相等时,t的值是.
答案
解：
由题意可知，点A、C、B在数轴上的数分别为-3、1、5，因此$AC=1-(-3)=4$，$AB=5-(-3)=8$。
动点Q从C向B运动，速度为每秒1个单位长度，因此点Q到点C的距离为$t$，其中$0≤ t≤4$。
分情况讨论：
1. 当$0≤ t≤1$时，点P从A向C运动，点P到点C的距离为$4-4t$，
令$4-4t=t$，
解得$t=\frac{4}{5}$，符合取值范围。
2. 当$1＜t≤2$时，点P从C向B运动，点P到点C的距离为$4t-4$，
令$4t-4=t$，
解得$t=\frac{4}{3}$，符合取值范围。
3. 当$2＜t≤3$时，点P从B向C运动，点P到点C的距离为$12-4t$，
令$12-4t=t$，
解得$t=\frac{12}{5}$，符合取值范围。
4. 当$3＜t≤4$时，点P从C向A运动，点P到点C的距离为$4t-12$，
令$4t-12=t$，
解得$t=4$，符合取值范围。
综上，$t$的值是$\boldsymbol{\frac{4}{5},\frac{4}{3},\frac{12}{5},4}$。
由题意可知，点A、C、B在数轴上的数分别为-3、1、5，因此$AC=1-(-3)=4$，$AB=5-(-3)=8$。
动点Q从C向B运动，速度为每秒1个单位长度，因此点Q到点C的距离为$t$，其中$0≤ t≤4$。
分情况讨论：
1. 当$0≤ t≤1$时，点P从A向C运动，点P到点C的距离为$4-4t$，
令$4-4t=t$，
解得$t=\frac{4}{5}$，符合取值范围。
2. 当$1＜t≤2$时，点P从C向B运动，点P到点C的距离为$4t-4$，
令$4t-4=t$，
解得$t=\frac{4}{3}$，符合取值范围。
3. 当$2＜t≤3$时，点P从B向C运动，点P到点C的距离为$12-4t$，
令$12-4t=t$，
解得$t=\frac{12}{5}$，符合取值范围。
4. 当$3＜t≤4$时，点P从C向A运动，点P到点C的距离为$4t-12$，
令$4t-12=t$，
解得$t=4$，符合取值范围。
综上，$t$的值是$\boldsymbol{\frac{4}{5},\frac{4}{3},\frac{12}{5},4}$。
解析
【分析】
解题时首先明确各点在数轴上的位置，先算出AC、AB、CB的长度，再分析两个动点的运动规律：动点Q始终向B运动，到C的距离可直接表示为t；动点P为往返运动，不同时间段所在位置不同，到点C的距离的表达式不同，因此需要按P的运动阶段分情况讨论，每个阶段分别列出P到C的距离的代数式，令其等于Q到C的距离t，解一元一次方程后验证解是否符合对应阶段的时间范围，符合的即为有效解。
【解析】
首先计算线段长度：
由数轴可知，点A表示-3，C表示1，B表示5，因此$AC=1-(-3)=4$，$AB=5-(-3)=8$，$CB=5-1=4$。
动点Q从C向B运动，速度为1单位/秒，因此t秒后Q到C的距离为$t$，Q运动总时长为$4÷1=4$秒，即t的取值范围是$0≤ t≤4$。
按动点P的运动阶段分情况讨论：
1. 当$0≤ t≤1$时，P从A向C运动，未到达C点，P的运动路程为$4t$，因此P到C的距离为$AC - 4t = 4-4t$
令$4-4t = t$，解得$t=\frac{4}{5}$，符合$0≤ t≤1$，为有效解；
2. 当$1＜ t≤2$时，P从C向B运动，未到达B点，P的运动路程为$4t$，因此P到C的距离为$4t - AC = 4t-4$
令$4t-4 = t$，解得$t=\frac{4}{3}$，符合$1＜ t≤2$，为有效解；
3. 当$2＜ t≤3$时，P到达B点后返回向C运动，未到达C点，P走完全程AB需$8÷4=2$秒，因此从B返回的时长为$(t-2)$秒，运动路程为$4(t-2)$，因此P到C的距离为$CB - 4(t-2) = 12-4t$
令$12-4t = t$，解得$t=\frac{12}{5}$，符合$2＜ t≤3$，为有效解；
4. 当$3＜ t≤4$时，P从C向A运动，未回到A点，P到C的距离为$4(t-3) = 4t-12$
令$4t-12 = t$，解得$t=4$，符合$3＜ t≤4$，为有效解。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4}{5},\frac{4}{3},\frac{12}{5},4}$
【知识点】
数轴动点问题，一元一次方程应用，分类讨论
【点评】
本题重点考查数轴上动点距离的表示方法，解题时需结合动点的运动路径分段讨论，求出解后要注意验证解是否符合对应时间段的取值范围，避免出现多解或漏解的情况。
【难度系数】
0.3
解题时首先明确各点在数轴上的位置，先算出AC、AB、CB的长度，再分析两个动点的运动规律：动点Q始终向B运动，到C的距离可直接表示为t；动点P为往返运动，不同时间段所在位置不同，到点C的距离的表达式不同，因此需要按P的运动阶段分情况讨论，每个阶段分别列出P到C的距离的代数式，令其等于Q到C的距离t，解一元一次方程后验证解是否符合对应阶段的时间范围，符合的即为有效解。
【解析】
首先计算线段长度：
由数轴可知，点A表示-3，C表示1，B表示5，因此$AC=1-(-3)=4$，$AB=5-(-3)=8$，$CB=5-1=4$。
动点Q从C向B运动，速度为1单位/秒，因此t秒后Q到C的距离为$t$，Q运动总时长为$4÷1=4$秒，即t的取值范围是$0≤ t≤4$。
按动点P的运动阶段分情况讨论：
1. 当$0≤ t≤1$时，P从A向C运动，未到达C点，P的运动路程为$4t$，因此P到C的距离为$AC - 4t = 4-4t$
令$4-4t = t$，解得$t=\frac{4}{5}$，符合$0≤ t≤1$，为有效解；
2. 当$1＜ t≤2$时，P从C向B运动，未到达B点，P的运动路程为$4t$，因此P到C的距离为$4t - AC = 4t-4$
令$4t-4 = t$，解得$t=\frac{4}{3}$，符合$1＜ t≤2$，为有效解；
3. 当$2＜ t≤3$时，P到达B点后返回向C运动，未到达C点，P走完全程AB需$8÷4=2$秒，因此从B返回的时长为$(t-2)$秒，运动路程为$4(t-2)$，因此P到C的距离为$CB - 4(t-2) = 12-4t$
令$12-4t = t$，解得$t=\frac{12}{5}$，符合$2＜ t≤3$，为有效解；
4. 当$3＜ t≤4$时，P从C向A运动，未回到A点，P到C的距离为$4(t-3) = 4t-12$
令$4t-12 = t$，解得$t=4$，符合$3＜ t≤4$，为有效解。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4}{5},\frac{4}{3},\frac{12}{5},4}$
【知识点】
数轴动点问题，一元一次方程应用，分类讨论
【点评】
本题重点考查数轴上动点距离的表示方法，解题时需结合动点的运动路径分段讨论，求出解后要注意验证解是否符合对应时间段的取值范围，避免出现多解或漏解的情况。
【难度系数】
0.3
10.如图,点O是数轴的原点,数轴正半轴上有一点A,已知OA=4.
(1)在原点O的左侧画点B,使OB=3OA.
(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)点M、点N同时从原点O出发,点M以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动,到达点B后立即返回向右运动,点N以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动.当点M到达点O时,两个点都停止运动.若BM=ON时,求t的值.
(3)在以上的条件下,若点M到达点O后继续沿数轴向右运动,点N的运动速度和方向保持不变.在整个运动过程中,若点A,B,M,N到原点O的距离之和是25,则t的值为.
(1)在原点O的左侧画点B,使OB=3OA.
(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)点M、点N同时从原点O出发,点M以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动,到达点B后立即返回向右运动,点N以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动.当点M到达点O时,两个点都停止运动.若BM=ON时,求t的值.
(3)在以上的条件下,若点M到达点O后继续沿数轴向右运动,点N的运动速度和方向保持不变.在整个运动过程中,若点A,B,M,N到原点O的距离之和是25,则t的值为.
答案
解：
(1) 在原点O左侧的数轴上顺次截取3条长度等于OA的线段，得到点B，点B即为所求，保留作图痕迹。
(2) 由题意得：$OB=3OA=12$，点M运动到点B的时间为$12÷3=4$秒，点M从点B返回至点O总用时$12÷3=4$秒，全程到停止共8秒。
分两种情况讨论：
① 当$0≤ t≤4$时，点M向左运动，$BM=12-3t$，$ON=t$。
由$BM=ON$得：
$12-3t=t$
解得$t=3$，符合取值范围。
② 当$4＜ t≤8$时，点M从B向右返回，$BM=3(t-4)$，$ON=t$。
由$BM=ON$得：
$3(t-4)=t$
解得$t=6$，符合取值范围。
综上，$t$的值为3或6。
(3) 点A、B到原点O的距离之和为$OA+OB=4+12=16$，因此点M、N到原点O的距离之和为$25-16=9$。
分三种情况讨论：
① 当$0≤ t≤4$时，点M在原点左侧，$MO=3t$，$NO=t$，
则$3t+t=9$，解得$t=\frac{9}{4}$，符合取值范围；
② 当$4＜ t≤8$时，点M从B向O运动，$MO=24-3t$，$NO=t$，
则$24-3t+t=9$，解得$t=\frac{15}{2}$，符合取值范围；
③ 当$t＞8$时，点M过原点向右运动，$MO=3t-24$，$NO=t$，
则$3t-24+t=9$，解得$t=\frac{33}{4}$，符合取值范围。
$\frac{9}{4}$或$\frac{15}{2}$或$\frac{33}{4}$
(1) 在原点O左侧的数轴上顺次截取3条长度等于OA的线段，得到点B，点B即为所求，保留作图痕迹。
(2) 由题意得：$OB=3OA=12$，点M运动到点B的时间为$12÷3=4$秒，点M从点B返回至点O总用时$12÷3=4$秒，全程到停止共8秒。
分两种情况讨论：
① 当$0≤ t≤4$时，点M向左运动，$BM=12-3t$，$ON=t$。
由$BM=ON$得：
$12-3t=t$
解得$t=3$，符合取值范围。
② 当$4＜ t≤8$时，点M从B向右返回，$BM=3(t-4)$，$ON=t$。
由$BM=ON$得：
$3(t-4)=t$
解得$t=6$，符合取值范围。
综上，$t$的值为3或6。
(3) 点A、B到原点O的距离之和为$OA+OB=4+12=16$，因此点M、N到原点O的距离之和为$25-16=9$。
分三种情况讨论：
① 当$0≤ t≤4$时，点M在原点左侧，$MO=3t$，$NO=t$，
则$3t+t=9$，解得$t=\frac{9}{4}$，符合取值范围；
② 当$4＜ t≤8$时，点M从B向O运动，$MO=24-3t$，$NO=t$，
则$24-3t+t=9$，解得$t=\frac{15}{2}$，符合取值范围；
③ 当$t＞8$时，点M过原点向右运动，$MO=3t-24$，$NO=t$，
则$3t-24+t=9$，解得$t=\frac{33}{4}$，符合取值范围。
$\frac{9}{4}$或$\frac{15}{2}$或$\frac{33}{4}$
解析
【分析】
本题是数轴结合动点的综合题，解题思路如下：
(1) 尺规作图部分：已知OA=4，要在原点左侧作OB=3OA，只需以O为端点，在数轴负方向连续截取3段长度等于OA的线段，所得端点即为点B；
(2) 动点求t值：先确定点M的运动阶段，M从O到B路程为12，速度为3单位/秒，到达B需要4秒，从B返回O又需要4秒，总运动时间为8秒。分$0≤t≤4$（M向左运动）、$4＜t≤8$（M向右返回）两个阶段，分别用含t的式子表示BM和ON的长度，列方程求解后验证解是否在对应区间即可；
(3) 距离和为25的情况：A、B到原点的距离和是固定值$4+12=16$，因此只需M、N到原点的距离和为$25-16=9$。按M的运动状态分三个阶段：$0≤t≤4$（M在O左侧）、$4＜t≤8$（M在B到O之间）、$t＞8$（M在O右侧），分别表示出MO、NO的长度，列方程求解并验证取值范围即可。
【解析】
(1) 作图：以O为圆心，OA长为半径，在原点O左侧的数轴上依次截取3次，最终得到的端点即为点B，保留作图痕迹。
(2) 由题意得$OB=3OA=3×4=12$，
点M从O运动到B的时间：$12÷3=4$（秒），从B返回O的时间也为$12÷3=4$（秒），总运动时间为8秒，分两种情况讨论：
① 当$0≤t≤4$时，点M向左运动，$BM=12-3t$，$ON=t$，
由$BM=ON$列方程：$12-3t = t$，
解得$t=3$，满足$0≤3≤4$，符合题意；
② 当$4＜t≤8$时，点M从B向右返回，$BM=3(t-4)$，$ON=t$，
列方程：$3(t-4)=t$，
解得$t=6$，满足$4＜6≤8$，符合题意；
综上，t的值为3或6。
(3) 点A到O的距离$OA=4$，点B到O的距离$OB=12$，二者到O的距离之和为$4+12=16$，
要使四个点到O的距离和为25，则M、N到O的距离之和为$25-16=9$，分三种情况讨论：
① 当$0≤t≤4$时，点M在原点左侧，$MO=3t$，$NO=t$，
列方程：$3t + t =9$，解得$t=\frac{9}{4}$，满足$0≤\frac{9}{4}≤4$，符合题意；
② 当$4＜t≤8$时，点M在B到O之间，$MO=24-3t$，$NO=t$，
列方程：$24-3t +t =9$，解得$t=\frac{15}{2}$，满足$4＜\frac{15}{2}≤8$，符合题意；
③ 当$t＞8$时，点M经过原点向右运动，$MO=3t-24$，$NO=t$，
列方程：$3t-24 +t =9$，解得$t=\frac{33}{4}$，满足$\frac{33}{4}＞8$，符合题意。
【答案】
(1) 尺规作图保留痕迹即可；
(2) $t=3$或$6$；
(3) $\frac{9}{4}$或$\frac{15}{2}$或$\frac{33}{4}$
【知识点】
数轴的应用，分类讨论思想，一元一次方程的应用
【点评】
本题是数轴与动点结合的典型题型，核心考查分类讨论思想，解题时需根据动点的运动状态划分不同阶段，用含时间的代数式表示对应线段长度，列方程求解后要注意检验解是否符合对应阶段的时间范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.5
本题是数轴结合动点的综合题，解题思路如下：
(1) 尺规作图部分：已知OA=4，要在原点左侧作OB=3OA，只需以O为端点，在数轴负方向连续截取3段长度等于OA的线段，所得端点即为点B；
(2) 动点求t值：先确定点M的运动阶段，M从O到B路程为12，速度为3单位/秒，到达B需要4秒，从B返回O又需要4秒，总运动时间为8秒。分$0≤t≤4$（M向左运动）、$4＜t≤8$（M向右返回）两个阶段，分别用含t的式子表示BM和ON的长度，列方程求解后验证解是否在对应区间即可；
(3) 距离和为25的情况：A、B到原点的距离和是固定值$4+12=16$，因此只需M、N到原点的距离和为$25-16=9$。按M的运动状态分三个阶段：$0≤t≤4$（M在O左侧）、$4＜t≤8$（M在B到O之间）、$t＞8$（M在O右侧），分别表示出MO、NO的长度，列方程求解并验证取值范围即可。
【解析】
(1) 作图：以O为圆心，OA长为半径，在原点O左侧的数轴上依次截取3次，最终得到的端点即为点B，保留作图痕迹。
(2) 由题意得$OB=3OA=3×4=12$，
点M从O运动到B的时间：$12÷3=4$（秒），从B返回O的时间也为$12÷3=4$（秒），总运动时间为8秒，分两种情况讨论：
① 当$0≤t≤4$时，点M向左运动，$BM=12-3t$，$ON=t$，
由$BM=ON$列方程：$12-3t = t$，
解得$t=3$，满足$0≤3≤4$，符合题意；
② 当$4＜t≤8$时，点M从B向右返回，$BM=3(t-4)$，$ON=t$，
列方程：$3(t-4)=t$，
解得$t=6$，满足$4＜6≤8$，符合题意；
综上，t的值为3或6。
(3) 点A到O的距离$OA=4$，点B到O的距离$OB=12$，二者到O的距离之和为$4+12=16$，
要使四个点到O的距离和为25，则M、N到O的距离之和为$25-16=9$，分三种情况讨论：
① 当$0≤t≤4$时，点M在原点左侧，$MO=3t$，$NO=t$，
列方程：$3t + t =9$，解得$t=\frac{9}{4}$，满足$0≤\frac{9}{4}≤4$，符合题意；
② 当$4＜t≤8$时，点M在B到O之间，$MO=24-3t$，$NO=t$，
列方程：$24-3t +t =9$，解得$t=\frac{15}{2}$，满足$4＜\frac{15}{2}≤8$，符合题意；
③ 当$t＞8$时，点M经过原点向右运动，$MO=3t-24$，$NO=t$，
列方程：$3t-24 +t =9$，解得$t=\frac{33}{4}$，满足$\frac{33}{4}＞8$，符合题意。
【答案】
(1) 尺规作图保留痕迹即可；
(2) $t=3$或$6$；
(3) $\frac{9}{4}$或$\frac{15}{2}$或$\frac{33}{4}$
【知识点】
数轴的应用，分类讨论思想，一元一次方程的应用
【点评】
本题是数轴与动点结合的典型题型，核心考查分类讨论思想，解题时需根据动点的运动状态划分不同阶段，用含时间的代数式表示对应线段长度，列方程求解后要注意检验解是否符合对应阶段的时间范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.5
