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12.已知C是线段AB上的一点，$AC=12\ \mathrm{cm}$，$CB=\frac{2}{3}AC$，D，E分别为AC，AB的中点.
(1)求AE的长；
(2)求DE的长；
(3)把题中的“C是线段AB上的一点”改为“C是线段AB的延长线上的一点”，其他条件不变，求DE的长.
(1)求AE的长；
(2)求DE的长；
(3)把题中的“C是线段AB上的一点”改为“C是线段AB的延长线上的一点”，其他条件不变，求DE的长.
答案
解：
(1) 已知$AC=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CB=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}×12=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=AC+CB=12+8=20\ \mathrm{cm}$，
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm}$。
(2) $\because D$是$AC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=AE-AD=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
(3) 当$C$是线段$AB$的延长线上的一点时，
$CB=\frac{2}{3}AC=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=AC-CB=12-8=4\ \mathrm{cm}$，
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=2\ \mathrm{cm}$，
$\because D$是$AC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=AD-AE=6-2=4\ \mathrm{cm}$。
综上，(1) $AE$的长为$10\ \mathrm{cm}$；(2) $DE$的长为$4\ \mathrm{cm}$；(3) 改变条件后$DE$的长为$4\ \mathrm{cm}$。
(1) 已知$AC=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CB=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}×12=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=AC+CB=12+8=20\ \mathrm{cm}$，
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm}$。
(2) $\because D$是$AC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=AE-AD=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
(3) 当$C$是线段$AB$的延长线上的一点时，
$CB=\frac{2}{3}AC=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=AC-CB=12-8=4\ \mathrm{cm}$，
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=2\ \mathrm{cm}$，
$\because D$是$AC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=AD-AE=6-2=4\ \mathrm{cm}$。
综上，(1) $AE$的长为$10\ \mathrm{cm}$；(2) $DE$的长为$4\ \mathrm{cm}$；(3) 改变条件后$DE$的长为$4\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
本题是线段运算的基础题型，解题思路清晰可寻：
（1）求AE的长：已知E是AB中点，因此AE为AB长度的一半，需先根据AC的长度求出CB的长度，再通过线段求和得到AB的总长度，最后利用中点定义即可算出AE；
（2）求DE的长：已知D是AC中点，可先算出AD的长度，结合线段位置关系，DE等于AE减去AD，代入数值计算即可；
（3）当C在AB延长线上时，线段AB的长度变为AC与CB的差，先重新计算AB的长度，再分别求出AE、AD的长度，此时DE等于AD减去AE，代入计算即可，注意点的位置变化会改变线段的和差关系。
【解析】
(1) 已知$AC=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CB=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}×12=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=AC+CB=12+8=20\ \mathrm{cm}$，
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm}$。
(2) $\because D$是$AC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=AE-AD=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
(3) 当$C$是线段$AB$的延长线上的一点时，
$CB=\frac{2}{3}AC=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=AC-CB=12-8=4\ \mathrm{cm}$，
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=2\ \mathrm{cm}$，
$\because D$是$AC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=AD-AE=6-2=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $10\ \mathrm{cm}$；(2) $4\ \mathrm{cm}$；(3) $4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差运算
【点评】
本题属于线段运算的常考题型，难度不大，核心是结合点的位置关系判断线段的和差逻辑，再灵活运用线段中点的性质逐步推导计算，第三小问需要注意点的位置发生改变后，不能直接沿用前两问的和差公式，要先梳理清楚各线段的位置关系再计算。
【难度系数】
0.7
本题是线段运算的基础题型，解题思路清晰可寻：
（1）求AE的长：已知E是AB中点，因此AE为AB长度的一半，需先根据AC的长度求出CB的长度，再通过线段求和得到AB的总长度，最后利用中点定义即可算出AE；
（2）求DE的长：已知D是AC中点，可先算出AD的长度，结合线段位置关系，DE等于AE减去AD，代入数值计算即可；
（3）当C在AB延长线上时，线段AB的长度变为AC与CB的差，先重新计算AB的长度，再分别求出AE、AD的长度，此时DE等于AD减去AE，代入计算即可，注意点的位置变化会改变线段的和差关系。
【解析】
(1) 已知$AC=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CB=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}×12=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=AC+CB=12+8=20\ \mathrm{cm}$，
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{cm}$。
(2) $\because D$是$AC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=AE-AD=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
(3) 当$C$是线段$AB$的延长线上的一点时，
$CB=\frac{2}{3}AC=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB=AC-CB=12-8=4\ \mathrm{cm}$，
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=2\ \mathrm{cm}$，
$\because D$是$AC$的中点，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=AD-AE=6-2=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $10\ \mathrm{cm}$；(2) $4\ \mathrm{cm}$；(3) $4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差运算
【点评】
本题属于线段运算的常考题型，难度不大，核心是结合点的位置关系判断线段的和差逻辑，再灵活运用线段中点的性质逐步推导计算，第三小问需要注意点的位置发生改变后，不能直接沿用前两问的和差公式，要先梳理清楚各线段的位置关系再计算。
【难度系数】
0.7
13.(运算能力、推理能力)如图,已知线段AB=20 cm,点P以每秒1 cm的速度从点A沿AB向点B运动,经过1 s后点Q以每秒2 cm的速度从点B沿BA向点A运动,当点Q到达点A时,P,Q两点同时停止运动,设点P运动的时间为t s.
(1)当t=4时,求线段PQ的长度为;
(2)当t为何值时,线段PQ的长为4 cm?
(3)当t为何值时,使得点Q恰好是点A,B,P中两点为端点的线段的中点?
(1)当t=4时,求线段PQ的长度为;
(2)当t为何值时,线段PQ的长为4 cm?
(3)当t为何值时,使得点Q恰好是点A,B,P中两点为端点的线段的中点?
答案
$\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$
(2) 由题意得：$AP = t\ \mathrm{cm}$，点Q的运动时间为$(t-1)\ \mathrm{s}$，$BQ=2(t-1)\ \mathrm{cm}$，其中$1 ≤ t ≤ 11$。
分两种情况：
① 当P、Q未相遇，$PQ=4\ \mathrm{cm}$时：
$AP + PQ + BQ = AB$，
即 $t + 4 + 2(t-1) = 20$，
解得 $t=6$；
② 当P、Q相遇后，$PQ=4\ \mathrm{cm}$时：
$AP + BQ - PQ = AB$，
即 $t + 2(t-1) - 4 = 20$，
解得 $t=\frac{26}{3}$。
综上，当$t$为$6$或$\frac{26}{3}$时，线段PQ的长为4 cm。
(3) 分三种情况讨论：
① 当Q为线段AB的中点时，$AQ = \frac{1}{2}AB = 10\ \mathrm{cm}$，
又$AQ = AB - BQ = 20 - 2(t-1) = 22 - 2t$，
则$22 - 2t = 10$，
解得$t=6$；
② 当Q为线段AP的中点时，$AQ = \frac{1}{2}AP$，
则$22 - 2t = \frac{1}{2}t$，
解得$t=\frac{44}{5}$；
③ 当Q为线段BP的中点时，$BQ = \frac{1}{2}BP$，$BP=20 - t$，
则$2(t-1) = \frac{1}{2}(20 - t)$，
解得$t=\frac{24}{5}$。
综上，当$t$为$\frac{24}{5}$、$6$或$\frac{44}{5}$时，点Q恰好是点A,B,P中两点为端点的线段的中点。
(2) 由题意得：$AP = t\ \mathrm{cm}$，点Q的运动时间为$(t-1)\ \mathrm{s}$，$BQ=2(t-1)\ \mathrm{cm}$，其中$1 ≤ t ≤ 11$。
分两种情况：
① 当P、Q未相遇，$PQ=4\ \mathrm{cm}$时：
$AP + PQ + BQ = AB$，
即 $t + 4 + 2(t-1) = 20$，
解得 $t=6$；
② 当P、Q相遇后，$PQ=4\ \mathrm{cm}$时：
$AP + BQ - PQ = AB$，
即 $t + 2(t-1) - 4 = 20$，
解得 $t=\frac{26}{3}$。
综上，当$t$为$6$或$\frac{26}{3}$时，线段PQ的长为4 cm。
(3) 分三种情况讨论：
① 当Q为线段AB的中点时，$AQ = \frac{1}{2}AB = 10\ \mathrm{cm}$，
又$AQ = AB - BQ = 20 - 2(t-1) = 22 - 2t$，
则$22 - 2t = 10$，
解得$t=6$；
② 当Q为线段AP的中点时，$AQ = \frac{1}{2}AP$，
则$22 - 2t = \frac{1}{2}t$，
解得$t=\frac{44}{5}$；
③ 当Q为线段BP的中点时，$BQ = \frac{1}{2}BP$，$BP=20 - t$，
则$2(t-1) = \frac{1}{2}(20 - t)$，
解得$t=\frac{24}{5}$。
综上，当$t$为$\frac{24}{5}$、$6$或$\frac{44}{5}$时，点Q恰好是点A,B,P中两点为端点的线段的中点。
解析
【分析】
这是线段上的动点问题，解题首先明确两点的运动规律：点P运动时间为$t\ \mathrm{s}$，速度$1\ \mathrm{cm/s}$，故$AP=t\ \mathrm{cm}$；点Q比P晚出发$1\ \mathrm{s}$，速度$2\ \mathrm{cm/s}$，故Q的运动时间为$(t-1)\ \mathrm{s}$，$BQ=2(t-1)\ \mathrm{cm}$，且Q从B到A总运动时间为$10\ \mathrm{s}$，因此$t$的取值范围为$1≤ t≤11$。
(1)求$t=4$时的PQ长度，只需先算出此时AP、BQ的长度，用AB总长减去AP、BQ的和即可。
(2)PQ长为$4\ \mathrm{cm}$需分两种情况：①P、Q未相遇时，$AP+PQ+BQ=AB$；②P、Q相遇后错开时，P、Q的路程和比AB总长多了PQ的长度，即$AP+BQ-PQ=AB$，分别列方程求解并验证解的合理性即可。
(3)Q为A、B、P中某两点线段的中点，分三种情况讨论：Q是AB中点、Q是AP中点、Q是BP中点，结合中点分线段为等长两段的性质列方程求解即可。
【解析】
(1)当$t=4$时，$AP=4×1=4\ \mathrm{cm}$，
点Q的运动时间为$4-1=3\ \mathrm{s}$，$BQ=3×2=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore PQ=AB-AP-BQ=20-4-6=10\ \mathrm{cm}$。
(2)由题意得$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2(t-1)\ \mathrm{cm}$，$1≤ t≤11$，分两种情况：
① P、Q未相遇，$PQ=4\ \mathrm{cm}$时：
$t + 4 + 2(t-1) = 20$
解得$t=6$，符合取值范围；
② P、Q相遇后，$PQ=4\ \mathrm{cm}$时：
$t + 2(t-1) - 4 = 20$
解得$t=\frac{26}{3}$，符合取值范围。
(3)先表示$AQ=20-2(t-1)=22-2t$，$BP=20-t$，分三种情况：
① Q为AB中点时，$AQ=\frac{1}{2}AB=10\ \mathrm{cm}$，
$22-2t=10$，解得$t=6$；
② Q为AP中点时，$AQ=\frac{1}{2}AP$，
$22-2t=\frac{1}{2}t$，解得$t=\frac{44}{5}$；
③ Q为BP中点时，$BQ=\frac{1}{2}BP$，
$2(t-1)=\frac{1}{2}(20-t)$，解得$t=\frac{24}{5}$。
以上解均符合$1≤ t≤11$的要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$
(2) $t$的值为$6$或$\frac{26}{3}$
(3) $t$的值为$\frac{24}{5}$、$6$或$\frac{44}{5}$
【知识点】
线段和差计算；动点问题；线段中点的性质
【点评】
本题是线段动点的典型题型，重点考查分类讨论思想，解题时需结合点的运动位置分情况分析，避免漏解，同时要注意运动时间的取值范围，保证所求的解符合实际运动情况。
【难度系数】
0.55
这是线段上的动点问题，解题首先明确两点的运动规律：点P运动时间为$t\ \mathrm{s}$，速度$1\ \mathrm{cm/s}$，故$AP=t\ \mathrm{cm}$；点Q比P晚出发$1\ \mathrm{s}$，速度$2\ \mathrm{cm/s}$，故Q的运动时间为$(t-1)\ \mathrm{s}$，$BQ=2(t-1)\ \mathrm{cm}$，且Q从B到A总运动时间为$10\ \mathrm{s}$，因此$t$的取值范围为$1≤ t≤11$。
(1)求$t=4$时的PQ长度，只需先算出此时AP、BQ的长度，用AB总长减去AP、BQ的和即可。
(2)PQ长为$4\ \mathrm{cm}$需分两种情况：①P、Q未相遇时，$AP+PQ+BQ=AB$；②P、Q相遇后错开时，P、Q的路程和比AB总长多了PQ的长度，即$AP+BQ-PQ=AB$，分别列方程求解并验证解的合理性即可。
(3)Q为A、B、P中某两点线段的中点，分三种情况讨论：Q是AB中点、Q是AP中点、Q是BP中点，结合中点分线段为等长两段的性质列方程求解即可。
【解析】
(1)当$t=4$时，$AP=4×1=4\ \mathrm{cm}$，
点Q的运动时间为$4-1=3\ \mathrm{s}$，$BQ=3×2=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore PQ=AB-AP-BQ=20-4-6=10\ \mathrm{cm}$。
(2)由题意得$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=2(t-1)\ \mathrm{cm}$，$1≤ t≤11$，分两种情况：
① P、Q未相遇，$PQ=4\ \mathrm{cm}$时：
$t + 4 + 2(t-1) = 20$
解得$t=6$，符合取值范围；
② P、Q相遇后，$PQ=4\ \mathrm{cm}$时：
$t + 2(t-1) - 4 = 20$
解得$t=\frac{26}{3}$，符合取值范围。
(3)先表示$AQ=20-2(t-1)=22-2t$，$BP=20-t$，分三种情况：
① Q为AB中点时，$AQ=\frac{1}{2}AB=10\ \mathrm{cm}$，
$22-2t=10$，解得$t=6$；
② Q为AP中点时，$AQ=\frac{1}{2}AP$，
$22-2t=\frac{1}{2}t$，解得$t=\frac{44}{5}$；
③ Q为BP中点时，$BQ=\frac{1}{2}BP$，
$2(t-1)=\frac{1}{2}(20-t)$，解得$t=\frac{24}{5}$。
以上解均符合$1≤ t≤11$的要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$
(2) $t$的值为$6$或$\frac{26}{3}$
(3) $t$的值为$\frac{24}{5}$、$6$或$\frac{44}{5}$
【知识点】
线段和差计算；动点问题；线段中点的性质
【点评】
本题是线段动点的典型题型，重点考查分类讨论思想，解题时需结合点的运动位置分情况分析，避免漏解，同时要注意运动时间的取值范围，保证所求的解符合实际运动情况。
【难度系数】
0.55
