例1 下图所示的四组图形中,两个图形相似的有()


A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
【思路导析】如果两个图形的形状相同,那么这两个图形就是相似图形.
【请你解答】.
知识点二 比例线段

A

【分析】
解题时首先要明确相似图形的判定核心：两个图形只要形状完全相同，无论大小是否一致，都属于相似图形。接下来依次对四组图形逐一判断：先看整体轮廓，再看内部结构和各部分造型是否完全相同，排除形状存在差异的组别，最终确定符合要求的选项。
【解析】
根据相似图形的定义：形状相同的图形叫做相似图形，逐个分析各组：
1. 第①组：两个图形都为六角星形，仅大小不同，形状完全一致，是相似图形；
2. 第②组：两个图形都为同造型的四叶环形图案，仅大小不同，形状完全一致，是相似图形；
3. 第③组：上方图形是被互相垂直的两条直径四等分的圆，下方图形是被两条非垂直的相交线段分割的圆，内部结构不同，形状不一致，不是相似图形；
4. 第④组：上方图案中心为带菱形花纹的实心结构，花瓣为菱形造型；下方图案中心为空心圆，花瓣为尖叶造型，整体形状不一致，不是相似图形。
因此相似的是①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
相似图形定义；相似图形判定
【点评】
本题是相似图形的基础判定题，解题的关键是抓住“形状完全相同”这一核心特征，判断时要兼顾图形的整体轮廓和内部细节，避免因忽略结构差异出错。
【难度系数】
0.8

例2 下列各组线段(单位:cm)中,成比例线段的是()

A.1,2,3,4
B.1,2,2,4
C.3,5,9,13
D.1,2,2,3
【思路导析】四条线段从小到大排列(或从大到小排列)为$a,b,c,d$,若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,则这四条线段成比例.
【请你解答】.

B

【分析】
要判断四条线段是否为成比例线段，首先回忆判定方法：先将四条线段按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，若排序后第一条与第四条的乘积等于第二条与第三条的乘积（由比例的基本性质，若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$则$ad=bc$，用乘积验证比计算比值更简便），则这四条线段是成比例线段。接下来我们对每个选项逐一验证即可。
【解析】
我们先将每个选项的线段按从小到大排序，再验证最小数×最大数是否等于中间两数的乘积：
A选项：排序后为1,2,3,4，计算得$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，不成比例，排除；
B选项：排序后为1,2,2,4，计算得$1×4=4$，$2×2=4$，$4=4$，符合成比例线段的要求；
C选项：排序后为3,5,9,13，计算得$3×13=39$，$5×9=45$，$39≠45$，不成比例，排除；
D选项：排序后为1,2,2,3，计算得$1×3=3$，$2×2=4$，$3≠4$，不成比例，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段的判定、比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判定的基础题型，解题的核心是先对线段长度排序再验证，若直接按给出的顺序计算比值容易出错，用乘积相等的方法验证更高效准确。
【难度系数】
0.8

例3 两个相似多边形的对应边的比为2：3，则它们的相似比为。
【思路导析】相似多边形对应边的比就是相似比。
【请你解答】。
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧

$\boldsymbol{2:3}$

【分析】
解题时首先回忆相似比的基本定义，明确相似多边形的相似比就是其对应边的比值。本题已经直接给出两个相似多边形对应边的比为2:3，无需额外计算，直接对应定义即可得到结果。
【解析】
根据相似多边形的相关定义：相似多边形的相似比等于对应边的比。
已知两个相似多边形的对应边的比为2:3，因此它们的相似比为2:3。
【答案】
$2:3$
【知识点】
相似比的定义、相似多边形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对相似比核心定义的掌握程度，牢记相似多边形对应边的比即为相似比即可快速解题。
【难度系数】
0.9

例4 如图，梯形ABCD与梯形A'B'C'D'相似，求未知边x,y,z的长度和角α，β的度数。

【探究点拨】根据相似多边形的特征结合平行线的性质求解。
【规范解答】∵梯形ABCD与梯形A'B'C'D'相似，
∴ $\frac{x}{4}=\frac{9.6}{6.4}$，得$x=6$；
$\frac{y}{8}=\frac{9.6}{6.4}$，得$y=12$；
$\frac{z}{9}=\frac{4}{x}$，得$z=\frac{4×9}{6}=6$。
由梯形ABCD与梯形A'B'C'D'相似，得
$α=∠D,∠C=∠C'=110°$。
又∵ $AB// CD$，
∴ $∠D=180°-∠A=180°-62°=118°$。
∴ $α=118°,β=180°-∠C=118°-110°=70°$。
即 $x=6,y=12,z=6;α=118°,β=70°$。

解：
∵ 梯形ABCD与梯形A'B'C'D'相似，
∴ 它们的对应边成比例，相似比为 $\frac{AD}{A'D'}=\frac{9.6}{6.4}=\frac{3}{2}$，
可得：
$\frac{x}{4}=\frac{3}{2}$，解得 $x=6$；
$\frac{y}{8}=\frac{3}{2}$，解得 $y=12$；
$\frac{9}{z}=\frac{3}{2}$，解得 $z=6$。
由相似多边形的对应角相等，得 $∠ C = ∠ C' = 110°$，$∠ A' = ∠ A = 62°$。
又∵ 梯形的两底 $AB // CD$，
∴ $∠ D = 180° - ∠ A = 180° - 62° = 118°$，
$β = ∠ B = 180° - ∠ C = 180° - 110° = 70°$，
结合相似对应角相等得 $α = ∠ D = 118°$。
即 $x=6$，$y=12$，$z=6$，$α=118°$，$β=70°$。

【分析】
已知两个梯形相似，结合相似多边形的性质求解：首先找到已知的一组对应边AD与A'D'，计算出两个梯形的相似比；再利用相似多边形对应边成比例的性质，列出含未知边x、y、z的比例式，解出各边的长度；求角度时，先根据相似多边形对应角相等得到对应角的度数，再结合梯形上下底平行、同旁内角互补的性质，即可求出α、β的度数。
【解析】
∵ 梯形ABCD与梯形A'B'C'D'相似，
∴ 它们的对应边成比例，相似比为 $\frac{AD}{A'D'}=\frac{9.6}{6.4}=\frac{3}{2}$，
可得：
$\frac{x}{4}=\frac{3}{2}$，解得 $x=6$；
$\frac{y}{8}=\frac{3}{2}$，解得 $y=12$；
$\frac{9}{z}=\frac{3}{2}$，解得 $z=6$。
由相似多边形的对应角相等，得 $∠ C = ∠ C' = 110°$，$∠ A' = ∠ A = 62°$。
又
∵ 梯形的两底 $AB // CD$，
∴ $∠ D = 180° - ∠ A = 180° - 62° = 118°$，
$β = ∠ B = 180° - ∠ C = 180° - 110° = 70°$，
结合相似对应角相等得 $α = ∠ D = 118°$。
【答案】
$x=6$，$y=12$，$z=6$，$α=118°$，$β=70°$
【知识点】
1.相似多边形的性质
2.平行线的性质
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用题型，解题核心是准确找准相似图形的对应边与对应角，结合平行线同旁内角互补的性质即可求解，注意不要混淆对应关系导致计算错误。
【难度系数】
0.7