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原题1:根据一次函数$y=kx+b$的图象，写出下列问题的答案：
(1)关于$x$的方程$kx+b=0$的解是
(2)关于$x$的方程$kx+b=-3$的解是
【解析】一次函数$y=kx+b$与方程$kx+b=0$的关系为:方程的解是一次函数$y=0$时$x$的值,即图象与$x$轴交点的横坐标,其他类似方程的意义也可类比。
(1)关于$x$的方程$kx+b=0$的解是
$x=2$
。(2)关于$x$的方程$kx+b=-3$的解是
$x=-1$
。【解析】一次函数$y=kx+b$与方程$kx+b=0$的关系为:方程的解是一次函数$y=0$时$x$的值,即图象与$x$轴交点的横坐标,其他类似方程的意义也可类比。
答案
(1) $x=2$
(2) $x=-1$
(2) $x=-1$
解析
【分析】
要解决这两个问题，首先要明确一次函数与对应一元一次方程的关系：关于x的方程$kx+b=a$的解，就是一次函数$y=kx+b$的函数值为$a$时对应的自变量$x$的值，也就是函数图象上纵坐标为$a$的点的横坐标。因此我们只需要从图象中找到对应纵坐标的点，读取其横坐标即可得到方程的解。
【解析】
(1) 方程$kx+b=0$对应一次函数$y=kx+b$中$y=0$的情况，观察图象可知，直线与x轴的交点坐标为$(2,0)$，即当$y=0$时，$x=2$，因此方程$kx+b=0$的解为$x=2$。
(2) 方程$kx+b=-3$对应一次函数$y=kx+b$中$y=-3$的情况，观察图象可知，当$y=-3$时，对应点的横坐标为$-1$，即此时$x=-1$，因此方程$kx+b=-3$的解为$x=-1$。
【答案】
(1) $x=2$
(2) $x=-1$
【知识点】
1.一次函数与一元一次方程的关系
2.一次函数的图象应用
【点评】
本题是一次函数与方程结合的基础题型，核心考查数形结合思想的应用，解题关键是建立方程的解与函数图象点坐标的对应关系，熟练掌握该知识点是解决一次函数与方程、不等式综合问题的基础。
【难度系数】
0.8
要解决这两个问题，首先要明确一次函数与对应一元一次方程的关系：关于x的方程$kx+b=a$的解，就是一次函数$y=kx+b$的函数值为$a$时对应的自变量$x$的值，也就是函数图象上纵坐标为$a$的点的横坐标。因此我们只需要从图象中找到对应纵坐标的点，读取其横坐标即可得到方程的解。
【解析】
(1) 方程$kx+b=0$对应一次函数$y=kx+b$中$y=0$的情况，观察图象可知，直线与x轴的交点坐标为$(2,0)$，即当$y=0$时，$x=2$，因此方程$kx+b=0$的解为$x=2$。
(2) 方程$kx+b=-3$对应一次函数$y=kx+b$中$y=-3$的情况，观察图象可知，当$y=-3$时，对应点的横坐标为$-1$，即此时$x=-1$，因此方程$kx+b=-3$的解为$x=-1$。
【答案】
(1) $x=2$
(2) $x=-1$
【知识点】
1.一次函数与一元一次方程的关系
2.一次函数的图象应用
【点评】
本题是一次函数与方程结合的基础题型，核心考查数形结合思想的应用，解题关键是建立方程的解与函数图象点坐标的对应关系，熟练掌握该知识点是解决一次函数与方程、不等式综合问题的基础。
【难度系数】
0.8
变式1:若一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点$(2,4)$和点$(-\dfrac{2}{3},0)$。求:
(1)关于$ x $的方程$ kx + b = 0 $的解。
(2)关于$ x $的方程$ kx + b = 4 $的解。
(1)关于$ x $的方程$ kx + b = 0 $的解。
(2)关于$ x $的方程$ kx + b = 4 $的解。
答案
(1) 当 $ y=0 $ 时,$x=-\dfrac{2}{3}$,故方程 $ kx+b=0 $的解为 $ x=-\dfrac{2}{3} $。
(2) 当 $ y=4 $ 时,$x=2$,故方程$kx+b=4$ 的解为 $ x=2 $。
(2) 当 $ y=4 $ 时,$x=2$,故方程$kx+b=4$ 的解为 $ x=2 $。
解析
【分析】
一次函数$y=kx+b$的函数值取固定值时，对应的自变量$x$的值就是对应一元一次方程$kx+b$等于该固定值的解，且一次函数图象上的点的坐标都满足函数解析式，即点的横坐标对应$x$值，纵坐标对应$y$值。解题时不需要额外求$k$、$b$的数值：问题(1)求方程$kx+b=0$的解，就是找函数值$y=0$时对应的$x$值；问题(2)求方程$kx+b=4$的解，就是找函数值$y=4$时对应的$x$值，直接利用题干给出的点的坐标即可得到结果。
【解析】
(1) 方程$kx+b=0$的解对应一次函数$y=kx+b$中$y=0$时的自变量$x$的值，已知一次函数图象过点$(-\dfrac{2}{3},0)$，即$y=0$时，$x=-\dfrac{2}{3}$，因此方程$kx+b=0$的解为$x=-\dfrac{2}{3}$。
(2) 方程$kx+b=4$的解对应一次函数$y=kx+b$中$y=4$时的自变量$x$的值，已知一次函数图象过点$(2,4)$，即$y=4$时，$x=2$，因此方程$kx+b=4$的解为$x=2$。
【答案】
(1) $x=-\dfrac{2}{3}$；
(2) $x=2$
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查一次函数和一元一次方程的对应关系，解题关键是理解方程$kx+b=a$的解对应一次函数$y=kx+b$函数值为$a$时的自变量$x$，也对应函数图象上纵坐标为$a$的点的横坐标，无需计算函数解析式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
一次函数$y=kx+b$的函数值取固定值时，对应的自变量$x$的值就是对应一元一次方程$kx+b$等于该固定值的解，且一次函数图象上的点的坐标都满足函数解析式，即点的横坐标对应$x$值，纵坐标对应$y$值。解题时不需要额外求$k$、$b$的数值：问题(1)求方程$kx+b=0$的解，就是找函数值$y=0$时对应的$x$值；问题(2)求方程$kx+b=4$的解，就是找函数值$y=4$时对应的$x$值，直接利用题干给出的点的坐标即可得到结果。
【解析】
(1) 方程$kx+b=0$的解对应一次函数$y=kx+b$中$y=0$时的自变量$x$的值，已知一次函数图象过点$(-\dfrac{2}{3},0)$，即$y=0$时，$x=-\dfrac{2}{3}$，因此方程$kx+b=0$的解为$x=-\dfrac{2}{3}$。
(2) 方程$kx+b=4$的解对应一次函数$y=kx+b$中$y=4$时的自变量$x$的值，已知一次函数图象过点$(2,4)$，即$y=4$时，$x=2$，因此方程$kx+b=4$的解为$x=2$。
【答案】
(1) $x=-\dfrac{2}{3}$；
(2) $x=2$
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查一次函数和一元一次方程的对应关系，解题关键是理解方程$kx+b=a$的解对应一次函数$y=kx+b$函数值为$a$时的自变量$x$，也对应函数图象上纵坐标为$a$的点的横坐标，无需计算函数解析式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
原题2:已知一次函数$y=-2x+4$和$y=kx+b$,回答下列问题:
(1)在所给直角坐标系中画出一次函数$y=-2x+4$的图象。
(2)根据一次函数$y=-2x+4$的图象回答:不等式$-2x+4＞0$的解是
(3)根据一次函数$y=kx+b$的图象。求:
①关于x的不等式$kx+b＜0$的解;
②关于x的不等式$kx+b＞-3$的解。
变式2:在“原题2”的基础上,(1)根据一次函数$y=-2x+4$的图象,若$-2≤y≤2$,求x的取值范围。
(2)根据一次函数$y=kx+b$的图象。求关于x的不等式$kx+b+3＜0$的解。
(1)在所给直角坐标系中画出一次函数$y=-2x+4$的图象。
(2)根据一次函数$y=-2x+4$的图象回答:不等式$-2x+4＞0$的解是
$x＜2$
;当x$＜1$
时,$y＞2$;当$-4≤y≤0$时,相应x的取值范围是$2≤x≤4$
。(3)根据一次函数$y=kx+b$的图象。求:
①关于x的不等式$kx+b＜0$的解;
②关于x的不等式$kx+b＞-3$的解。
变式2:在“原题2”的基础上,(1)根据一次函数$y=-2x+4$的图象,若$-2≤y≤2$,求x的取值范围。
(2)根据一次函数$y=kx+b$的图象。求关于x的不等式$kx+b+3＜0$的解。
答案
(1) 如图
。(2) $x＜2$；$＜1$；$2≤x≤4$
(3) ① $x＜4$；② $x＞2$
变式2:
(1) $1≤x≤3$
(2) $x＜2$
解析
【分析】
1. 画一次函数图像时，利用一次函数图像为直线的性质，找到函数与x轴、y轴的两个交点，连接两点即可完成作图；
2. 一次函数相关不等式的求解，可通过数形结合思想，对应函数图像在指定区域的x取值范围得到解集，也可直接解一元一次不等式，结合函数增减性验证结果；
3. 先根据$y=kx+b$的图像确定其增减性和特殊点坐标，将不等式转化为对应y的取值范围，即可找到对应的x解集；变式题是基础题型的变形，只需将所求不等式转化为已知y的范围求x范围即可。
【解析】
(1) 对于$y=-2x+4$：令$x=0$，得$y=4$，即与y轴交点为$(0,4)$；令$y=0$，得$-2x+4=0$，解得$x=2$，即与x轴交点为$(2,0)$。在坐标系中描出两点后连接，得到$y=-2x+4$的图像，如图。
(2) ①不等式$-2x+4＞0$对应$y=-2x+4$图像在x轴上方的部分，此时$x＜2$；
②令$y＞2$，代入得$-2x+4＞2$，解得$x＜1$；
③当$-4≤y≤0$时，列不等式组$\begin{cases}-2x+4≥-4\\-2x+4≤0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x≤4\\x≥2\end{cases}$，即$2≤x≤4$。
(3) 由图可知$y=kx+b$过$(4,0)$、$(0,-6)$，y随x的增大而增大：
①不等式$kx+b＜0$对应函数图像在x轴下方的部分，此时$x＜4$；
②先求$y=kx+b$的解析式：代入两点坐标得$k=\frac{3}{2}$，$b=-6$，即$y=\frac{3}{2}x-6$。令$y=-3$，解得$x=2$，不等式$kx+b＞-3$即$y＞-3$，因函数递增，故$x＞2$。
变式2：
(1) 当$-2≤y≤2$时，列不等式组$\begin{cases}-2x+4≥-2\\-2x+4≤2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x≤3\\x≥1\end{cases}$，即$1≤x≤3$；
(2) 不等式$kx+b+3＜0$变形为$kx+b＜-3$，由(3)②知$y=-3$时$x=2$，函数递增，故$y＜-3$时$x＜2$。
【答案】
(1) 如图。
(2) $x＜2$；$＜1$；$2≤x≤4$
(3) ① $x＜4$；② $x＞2$
变式2:
(1) $1≤x≤3$
(2) $x＜2$
【知识点】
一次函数的图像画法，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质
【点评】
本题考查一次函数与不等式的综合应用，核心是数形结合思想的运用，解题时既可以通过代数方法解不等式得到结果，也可以直接观察函数图像的取值范围快速得到解集，熟练掌握一次函数的增减性可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
1. 画一次函数图像时，利用一次函数图像为直线的性质，找到函数与x轴、y轴的两个交点，连接两点即可完成作图；
2. 一次函数相关不等式的求解，可通过数形结合思想，对应函数图像在指定区域的x取值范围得到解集，也可直接解一元一次不等式，结合函数增减性验证结果；
3. 先根据$y=kx+b$的图像确定其增减性和特殊点坐标，将不等式转化为对应y的取值范围，即可找到对应的x解集；变式题是基础题型的变形，只需将所求不等式转化为已知y的范围求x范围即可。
【解析】
(1) 对于$y=-2x+4$：令$x=0$，得$y=4$，即与y轴交点为$(0,4)$；令$y=0$，得$-2x+4=0$，解得$x=2$，即与x轴交点为$(2,0)$。在坐标系中描出两点后连接，得到$y=-2x+4$的图像，如图
。(2) ①不等式$-2x+4＞0$对应$y=-2x+4$图像在x轴上方的部分，此时$x＜2$；
②令$y＞2$，代入得$-2x+4＞2$，解得$x＜1$；
③当$-4≤y≤0$时，列不等式组$\begin{cases}-2x+4≥-4\\-2x+4≤0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x≤4\\x≥2\end{cases}$，即$2≤x≤4$。
(3) 由图可知$y=kx+b$过$(4,0)$、$(0,-6)$，y随x的增大而增大：
①不等式$kx+b＜0$对应函数图像在x轴下方的部分，此时$x＜4$；
②先求$y=kx+b$的解析式：代入两点坐标得$k=\frac{3}{2}$，$b=-6$，即$y=\frac{3}{2}x-6$。令$y=-3$，解得$x=2$，不等式$kx+b＞-3$即$y＞-3$，因函数递增，故$x＞2$。
变式2：
(1) 当$-2≤y≤2$时，列不等式组$\begin{cases}-2x+4≥-2\\-2x+4≤2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x≤3\\x≥1\end{cases}$，即$1≤x≤3$；
(2) 不等式$kx+b+3＜0$变形为$kx+b＜-3$，由(3)②知$y=-3$时$x=2$，函数递增，故$y＜-3$时$x＜2$。
【答案】
(1) 如图
。(2) $x＜2$；$＜1$；$2≤x≤4$
(3) ① $x＜4$；② $x＞2$
变式2:
(1) $1≤x≤3$
(2) $x＜2$
【知识点】
一次函数的图像画法，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质
【点评】
本题考查一次函数与不等式的综合应用，核心是数形结合思想的运用，解题时既可以通过代数方法解不等式得到结果，也可以直接观察函数图像的取值范围快速得到解集，熟练掌握一次函数的增减性可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
