原题3:利用函数图象回答下列问题:
(1)求方程组$\begin{cases} y=k_1x, \\ y=k_2x+b_2 \end{cases}$的解。
(2)求函数值$y_1＞y_2$的解集。
(3)求函数值$k_1x＜k_2x+b_2$的解集。

【解析】两个一次函数$y_1$与$y_2$图象的交点为$(x_0,y_0)$，即联立的二元一次方程组

(1) 观察图象可知,两函数图象相交于点$(1,2)$,可求出方程组的解为 $\begin{cases} x=1, \\ y=2。 \end{cases}$
(2) 观察图象可知,函数值 $ y_1＞y_2 $ 的解集为 $ x＞1 $。
(3) 观察图象可知,函数值 $ y_1＜y_2 $ 的解集为 $ x＜1 $。

【分析】
解题可运用数形结合思路：①二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，交点处的x、y值同时满足两个函数表达式，即为方程组的解；②判断函数值大小的不等式，对应同一x值下两个函数图象的上下位置关系：上方图象对应的函数值更大，以交点横坐标为分界点，即可确定对应x的取值范围。
【解析】
(1) 联立两个一次函数表达式得到的方程组的解，就是两个函数图象的交点坐标。观察图象可得，$y_1=k_1x$和$y_2=k_2x+b_2$的图象交点为$(1,2)$，因此方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$。
(2) $y_1＞y_2$即正比例函数图象在一次函数图象上方的部分，以交点横坐标$x=1$为分界，观察可得$x＞1$时，$y_1$的图象在$y_2$上方，因此解集为$x＞1$。
(3) $k_1x＜k_2x+b_2$即$y_1＜y_2$，对应正比例函数图象在一次函数图象下方的部分，以交点横坐标$x=1$为分界，观察可得$x＜1$时，$y_1$的图象在$y_2$下方，因此解集为$x＜1$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
(2) $x＞1$
(3) $x＜1$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组；一次函数与一元一次不等式；一次函数图象的应用
【点评】
本题是一次函数与方程、不等式综合的基础题型，核心考查数形结合思想的应用，无需求解函数解析式，仅通过图象的交点位置、上下分布就能快速得到结果，是函数“形”的意义的典型应用。
【难度系数】
0.8

原题4:如图,在平面直角坐标系中,直线$y=x+4$分别交$x$轴,$y$轴于点$A$,$B$,直线$y=kx+b(k≠0)$交直线$y=x+4$于点$C$,交$x$轴于点$D(1,0)$。
(1)求点$A$的坐标。
(2)若点$C$在第二象限,$△ ACD$的面积是5。
①求点$C$的坐标；
②直接写出不等式组$x+4＞kx+b＞0$的解集。

(1) 把 $ y=0 $ 代入 $ y=x+4 $,解得 $ x=-4 $,所以点 $ A $ 的坐标为 $ (-4,0) $。
(2) ① 因为 $ D(1,0),A(-4,0) $,所以 $ AD=5 $。因为 $ S_{△ ACD}=5 $,点 $ C $ 在第二象限,所以 $ \frac{1}{2} × AD × y_C=5 $,所以 $ y_C=2 $,当 $ y=2 $ 时, $ 2=x+4 $,所以 $ x=-2 $,所以 $ C(-2,2) $;
② 由图象即可知:不等式组 $ x+4＞kx+b＞0 $ 的解集为 $ -2＜x＜1 $。

【分析】
(1) 点A是直线$y=x+4$与x轴的交点，x轴上所有点的纵坐标为0，因此将$y=0$代入直线解析式求出对应的x值，即可得到A点坐标。
(2) ① 先根据A、D两点的坐标计算线段AD的长度，$△ ACD$的底为AD，高为点C的纵坐标（AD在x轴上，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点C在第二象限，纵坐标为正），结合已知的三角形面积列方程求出C点的纵坐标，再将纵坐标代入$y=x+4$求出横坐标，即可得到C点坐标。
② 不等式$x+4＞kx+b$的几何意义是直线$y=x+4$的图象在直线$y=kx+b$图象的上方，对应x的取值小于点C的横坐标；不等式$kx+b＞0$的几何意义是直线$y=kx+b$的图象在x轴上方，对应x的取值小于D点的横坐标，取两个范围的公共部分即可得到不等式组的解集。
【解析】
(1) 令$y=0$，代入$y=x+4$得：
$0=x+4$，解得$x=-4$
∴点A的坐标为$(-4,0)$。
(2) ① 已知$A(-4,0)$，$D(1,0)$，两点均在x轴上，因此$AD=1-(-4)=5$。
$△ ACD$的面积公式为$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×AD×y_C$（$y_C$为点C的纵坐标），将$S_{△ ACD}=5$、$AD=5$代入得：
$\frac{1}{2}×5×y_C=5$，解得$y_C=2$。
∵点C在直线$y=x+4$上，将$y=2$代入得：
$2=x+4$，解得$x=-2$，结合点C在第二象限的条件，坐标符合要求。
∴点C的坐标为$(-2,2)$。
② 结合图象分析：$x+4＞kx+b$对应直线$y=x+4$在$y=kx+b$上方的部分，x的取值范围为$x＜-2$；$kx+b＞0$对应直线$y=kx+b$在x轴上方的部分，x的取值范围为$x＜1$，两个范围的公共部分为$-2＜x＜1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{A(-4,0)}$
(2) ① $\boldsymbol{C(-2,2)}$；② $\boldsymbol{-2＜x＜1}$
【知识点】
一次函数交点求法，一次函数面积计算，一次函数与不等式
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心考察数形结合思想的应用，解题关键是理解函数图象的坐标、线段长度、面积、不等式之间的对应关系，是一次函数模块的经典考法。
【难度系数】
0.7

变式3:在“原题3”的基础上,求关于x的不等式组$\begin{cases} k_2x + b_2 ＞ 3, \\ k_2x + b_2 ≥ k_1x \end{cases}$的解集。

$x＜0$

【分析】
本题是一次函数与一元一次不等式组的综合题，解题思路如下：
1. 明确一元一次不等式和一次函数的对应关系：不等式$k_2x + b_2 ＞ 3$的解集就是一次函数$y=k_2x + b_2$函数值大于3时自变量x的取值范围；
2. 不等式$k_2x + b_2 ≥ k_1x$的解集就是函数$y=k_2x + b_2$的图像位于$y=k_1x$图像上方（含交点）时自变量x的取值范围；
3. 分别求出两个不等式的解集后，取它们的公共部分，即为原不等式组的解集。
【解析】
1. 解不等式$k_2x + b_2 ＞ 3$：结合原题3的函数图像信息，可知$y=k_2x + b_2$过点$(0,3)$，且y随x的增大而减小，因此当函数值大于3时，x的取值范围为$x＜0$；
2. 解不等式$k_2x + b_2 ≥ k_1x$：结合两个一次函数的图像，可知两函数交点的横坐标为0，且当$x≤0$时，$y=k_2x + b_2$的图像在$y=k_1x$的图像上方（含交点），因此该不等式的解集为$x≤0$；
3. 取两个解集的公共部分，可得原不等式组的解集为$x＜0$。
【答案】
$x＜0$
【知识点】
1. 一次函数与不等式的关系
2. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题将一次函数图像性质和不等式组求解结合，借助图像法求解不等式更为直观，需要熟练掌握函数值大小关系和图像上下位置的对应规律。
【难度系数】
0.7

变式4:在“原题4”(2)的基础上，将$△ CAD$沿$x$轴平移，点$C,A,D$的对应点分别为$C_1,A_1,D_1$，设点$D_1$的横坐标为$m$。直接写出平移过程中$△ C_1A_1D_1$只有两个顶点在$△ BAD$外部时，$m$的取值范围。

连结 $ BD $,如图所示,把 $ x=0 $ 代入 $ y=x+4 $ 得 $ y=4 $,所以点 $ B $ 的坐标为 $ (0,4) $,设直线 $ BD $ 的表达式为 $ y=k'x+b'(k'≠0) $,把 $ B(0,4),D(1,0) $ 代入得 $ \begin{cases} b'=4, \\ k'+b'=0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k'=-4, \\ b'=4, \end{cases} $ 所以直线 $ BD $ 的表达式为 $ y=-4x+4 $,把 $ y=2 $ 代入 $ y=-4x+4 $ 得:$ 2=-4x+4 $,解得:$ x=\frac{1}{2} $,$ \frac{1}{2}-(-2)=\frac{5}{2} $,当点 $ C_1 $ 在直线 $ BD $ 上时,点 $ D_1 $ 的横坐标为:$ 1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2} $,当点 $ A_1 $ 在点 $ D $ 上时,点 $ D_1 $ 的横坐标为:$ 1+5=6 $,所以当 $ △ C_1A_1D_1 $ 沿 $ x $ 轴向右平移时,$ △ C_1A_1D_1 $ 只有两个顶点在 $ △ BAD $ 外部时 $ \frac{7}{2}＜m≤6 $;当 $ △ C_1A_1D_1 $ 沿 $ x $ 轴向左平移,$ △ C_1A_1D_1 $ 只有两个顶点在 $ △ BAD $ 外部时 $ -4≤m＜1 $;综上分析可知,$ △ C_1A_1D_1 $ 只有两个顶点在 $ △ BAD $ 外部时, $ m $ 的取值范围为 $ \frac{7}{2}＜m≤6 $ 或 $ -4≤m＜1 $。

【分析】
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：首先，沿x轴平移时，图形所有点的纵坐标不变，横坐标的变化量完全相同，我们可以通过D点的横坐标变化得到整体平移的距离。接下来需要先确定边界直线BD的解析式，再分向右平移、向左平移两种情况讨论，分别找到“只有两个顶点在△BAD外部”的两个临界位置：一个是刚好有1个顶点落在△BAD的边上，另一个是刚好第三个顶点也脱离△BAD，结合临界位置的取值就能确定m的范围。
【解析】
1. 求点B坐标与直线BD解析式：
把$x=0$代入$y=x+4$得$y=4$，因此点B的坐标为$(0,4)$，已知点D坐标为$(1,0)$。
设直线BD的表达式为$y=k'x+b'(k'≠0)$，将B、D两点坐标代入得：
$\begin{cases} b'=4 \\ k'+b'=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k'=-4 \\ b'=4 \end{cases}$，即直线BD的表达式为$y=-4x+4$。
2. 求向右平移的临界值：
原C点纵坐标为2，把$y=2$代入$y=-4x+4$，得$2=-4x+4$，解得$x=\frac{1}{2}$。原C点横坐标为$-2$，因此C点平移到BD上时，水平平移距离为$\frac{1}{2}-(-2)=\frac{5}{2}$，此时点$D_1$的横坐标为$1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$。
当点$A_1$与点D重合时，原A点横坐标为$-4$，平移距离为$1-(-4)=5$，此时点$D_1$的横坐标为$1+5=6$。
因此向右平移时，$\frac{7}{2}＜m≤6$满足条件。
3. 求向左平移的临界值：
当向左平移时，只要D点还未与原A点重合前，都只有2个顶点在△BAD外部，当$D_1$横坐标为$-4$时为临界，因此向左平移时$-4≤ m＜1$满足条件。
4. 综合两种情况得到最终取值范围。
【答案】
连结 $ BD $,如图所示,把 $ x=0 $ 代入 $ y=x+4 $ 得 $ y=4 $,所以点 $ B $ 的坐标为 $ (0,4) $,设直线 $ BD $ 的表达式为 $ y=k'x+b'(k'≠0) $,把 $ B(0,4),D(1,0) $ 代入得 $ \begin{cases} b'=4, \\ k'+b'=0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k'=-4, \\ b'=4, \end{cases} $ 所以直线 $ BD $ 的表达式为 $ y=-4x+4 $,把 $ y=2 $ 代入 $ y=-4x+4 $ 得:$ 2=-4x+4 $,解得:$ x=\frac{1}{2} $,$ \frac{1}{2}-(-2)=\frac{5}{2} $,当点 $ C_1 $ 在直线 $ BD $ 上时,点 $ D_1 $ 的横坐标为:$ 1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2} $,当点 $ A_1 $ 在点 $ D $ 上时,点 $ D_1 $ 的横坐标为:$ 1+5=6 $,所以当 $ △ C_1A_1D_1 $ 沿 $ x $ 轴向右平移时,$ △ C_1A_1D_1 $ 只有两个顶点在 $ △ BAD $ 外部时 $ \frac{7}{2}＜m≤6 $;当 $ △ C_1A_1D_1 $ 沿 $ x $ 轴向左平移,$ △ C_1A_1D_1 $ 只有两个顶点在 $ △ BAD $ 外部时 $ -4≤m＜1 $;综上分析可知,$ △ C_1A_1D_1 $ 只有两个顶点在 $ △ BAD $ 外部时, $ m $ 的取值范围为 $ \frac{7}{2}＜m≤6 $ 或 $ -4≤m＜1 $。
【知识点】
待定系数法求解析式，平移的性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于一次函数与几何动态的综合题，需要结合平移性质分析动点的位置变化，解题关键是找准不同平移方向下的临界状态，注意临界值的取舍，能够很好地锻炼数形结合能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.4