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1.一座拱桥的轮廓是抛物线形，如图所示，拱高为5 m，跨度长20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.若支柱MN的高度为3.25 m，则桥高为 m. 
答案
解：以拱桥底部左端点为原点，跨度所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。
由题意可知，抛物线过点$(0,0)$，$(20,0)$，顶点坐标为$(10,5)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-10)^2+5$，
将$(0,0)$代入解析式得：
$0=a·(0-10)^2+5$
解得$a=-\dfrac{1}{20}$，
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{20}(x-10)^2+5$。
由相邻两支柱间距为5m，可得支柱MN对应的横坐标为15，
将$x=15$代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{20}×(15-10)^2+5=3.75$
即点N距离底部水平面的高度为3.75m。
已知支柱MN的高度为3.25m，因此桥高为$3.75+3.25=7\ \mathrm{m}$。
答：桥高为$\boldsymbol{7}$ m。
由题意可知，抛物线过点$(0,0)$，$(20,0)$，顶点坐标为$(10,5)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-10)^2+5$，
将$(0,0)$代入解析式得：
$0=a·(0-10)^2+5$
解得$a=-\dfrac{1}{20}$，
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{20}(x-10)^2+5$。
由相邻两支柱间距为5m，可得支柱MN对应的横坐标为15，
将$x=15$代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{20}×(15-10)^2+5=3.75$
即点N距离底部水平面的高度为3.75m。
已知支柱MN的高度为3.25m，因此桥高为$3.75+3.25=7\ \mathrm{m}$。
答：桥高为$\boldsymbol{7}$ m。
解析
【分析】
解决本题可利用二次函数建模思想：首先根据拱桥为抛物线形的特点建立合适的平面直角坐标系，把已知的拱高、跨度等条件转化为抛物线上的点坐标；再用待定系数法求出抛物线的解析式；之后根据支柱间距确定支柱MN对应的横坐标，代入解析式求出点N到水平面的高度，最后加上MN的高度即可得到桥高。
【解析】
解：以拱桥底部左端点为原点，跨度所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。
由题意可知，抛物线过点$(0,0)$、$(20,0)$，顶点坐标为$(10,5)$。
设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-10)^2+5$，
将$(0,0)$代入解析式得：
$0=a×(0-10)^2+5$
解得$a=-\dfrac{1}{20}$，
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{20}(x-10)^2+5$。
已知相邻两支柱间距为5m，可得支柱MN对应的横坐标为$10+5=15$，
将$x=15$代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{20}×(15-10)^2+5=3.75$
即点N距离底部水平面的高度为3.75m。
已知支柱MN的高度为3.25m，因此桥高为$3.75+3.25=7\ \mathrm{m}$。
【答案】
7
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数求值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的核心是合理建立平面直角坐标系，将实际条件转化为二次函数的相关量，准确求解后代入计算即可，主要考察建模思想和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
解决本题可利用二次函数建模思想：首先根据拱桥为抛物线形的特点建立合适的平面直角坐标系，把已知的拱高、跨度等条件转化为抛物线上的点坐标；再用待定系数法求出抛物线的解析式；之后根据支柱间距确定支柱MN对应的横坐标，代入解析式求出点N到水平面的高度，最后加上MN的高度即可得到桥高。
【解析】
解：以拱桥底部左端点为原点，跨度所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。
由题意可知，抛物线过点$(0,0)$、$(20,0)$，顶点坐标为$(10,5)$。
设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-10)^2+5$，
将$(0,0)$代入解析式得：
$0=a×(0-10)^2+5$
解得$a=-\dfrac{1}{20}$，
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{20}(x-10)^2+5$。
已知相邻两支柱间距为5m，可得支柱MN对应的横坐标为$10+5=15$，
将$x=15$代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{20}×(15-10)^2+5=3.75$
即点N距离底部水平面的高度为3.75m。
已知支柱MN的高度为3.25m，因此桥高为$3.75+3.25=7\ \mathrm{m}$。
【答案】
7
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数求值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的核心是合理建立平面直角坐标系，将实际条件转化为二次函数的相关量，准确求解后代入计算即可，主要考察建模思想和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图所示，小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意的成绩，函数$h=3.5t -4.9t^2$可以描述他跳跃时重心高度$h$（单位：m）随时间$t$（单位：s）的变化关系，由此可知他起跳后重心到达最高点时所用的时间$t$约为（）
A.0.71 s
B.0.70 s
C.0.63 s
D.0.36 s
第2题图 第3题图
A.0.71 s
B.0.70 s
C.0.63 s
D.0.36 s
第2题图 第3题图
答案
D
解析
【分析】
我们要求重心到达最高点的时间，也就是求重心高度h取最大值时对应的时间t。已知h关于t的函数是二次函数，对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时抛物线开口向下，顶点处函数取得最大值，顶点的横坐标就是函数取最大值时对应的自变量值，因此我们代入二次函数顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$计算即可。
【解析】
将函数整理为标准二次函数形式：$h=-4.9t^2+3.5t$，其中$a=-4.9$，$b=3.5$。
因为$a=-4.9＜0$，所以抛物线开口向下，顶点处h取得最大值，即此时重心最高。
根据二次函数顶点横坐标公式，最高点对应的时间为：
$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{3.5}{2×(-4.9)}=\frac{3.5}{9.8}\approx0.36\ \mathrm{s}$
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点公式；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合跳远的生活场景考查二次函数的应用，解题核心是将“求最高点对应时间”转化为“求开口向下的二次函数顶点的横坐标”，熟练掌握二次函数顶点公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
我们要求重心到达最高点的时间，也就是求重心高度h取最大值时对应的时间t。已知h关于t的函数是二次函数，对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时抛物线开口向下，顶点处函数取得最大值，顶点的横坐标就是函数取最大值时对应的自变量值，因此我们代入二次函数顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$计算即可。
【解析】
将函数整理为标准二次函数形式：$h=-4.9t^2+3.5t$，其中$a=-4.9$，$b=3.5$。
因为$a=-4.9＜0$，所以抛物线开口向下，顶点处h取得最大值，即此时重心最高。
根据二次函数顶点横坐标公式，最高点对应的时间为：
$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{3.5}{2×(-4.9)}=\frac{3.5}{9.8}\approx0.36\ \mathrm{s}$
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点公式；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合跳远的生活场景考查二次函数的应用，解题核心是将“求最高点对应时间”转化为“求开口向下的二次函数顶点的横坐标”，熟练掌握二次函数顶点公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.某景点的“喷水巨龙”喷嘴C处的水流呈抛物线状喷出，该水流喷出的高度$y$(单位:m)与水平距离$x$(单位:m)之间的关系如图所示，$D$为该水流的最高点，$DA ⊥ OB$，垂足为$A$。已知$OC=OB=8\ \mathrm{m}$，$OA=2\ \mathrm{m}$，则$AD$的长为()
A.8.3 m
B.8.6 m
C.8.8 m
D.9 m
A.8.3 m
B.8.6 m
C.8.8 m
D.9 m
答案
D
解析
【分析】
本题是二次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：首先根据题目给出的坐标系和已知线段长度，确定抛物线上已知点的坐标：C点坐标为(0,8)，B点坐标为(8,0)，抛物线的最高点D的横坐标为OA的长度2，因此可设抛物线的顶点式解析式，将两个已知点代入解析式联立求解，即可得到顶点的纵坐标，也就是AD的长度。选择顶点式求解可以简化计算，避免使用一般式带来的复杂运算。
【解析】
解：设水流抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-2)^2+k$（$a≠0$），其中顶点$D$的坐标为$(2,k)$，$k$即为所求$AD$的长度。
由题意得：$OC=8\mathrm{m}$，故点$C$坐标为$(0,8)$；$OB=8\mathrm{m}$，故点$B$坐标为$(8,0)$。
将$C(0,8)$代入解析式得：
$8=a(0-2)^2+k$，即$4a + k = 8$ ①
将$B(8,0)$代入解析式得：
$0=a(8-2)^2+k$，即$36a + k = 0$ ②
用②式减去①式消去$k$得：$32a = -8$，解得$a=-\frac{1}{4}$。
将$a=-\frac{1}{4}$代入①式得：$4×(-\frac{1}{4}) +k =8$，解得$k=9$。
因此$AD$的长为$9\mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础应用类题目，解题的核心是根据已知条件确定抛物线上点的坐标，合理选择顶点式简化计算，掌握二次函数解析式的求解方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：首先根据题目给出的坐标系和已知线段长度，确定抛物线上已知点的坐标：C点坐标为(0,8)，B点坐标为(8,0)，抛物线的最高点D的横坐标为OA的长度2，因此可设抛物线的顶点式解析式，将两个已知点代入解析式联立求解，即可得到顶点的纵坐标，也就是AD的长度。选择顶点式求解可以简化计算，避免使用一般式带来的复杂运算。
【解析】
解：设水流抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-2)^2+k$（$a≠0$），其中顶点$D$的坐标为$(2,k)$，$k$即为所求$AD$的长度。
由题意得：$OC=8\mathrm{m}$，故点$C$坐标为$(0,8)$；$OB=8\mathrm{m}$，故点$B$坐标为$(8,0)$。
将$C(0,8)$代入解析式得：
$8=a(0-2)^2+k$，即$4a + k = 8$ ①
将$B(8,0)$代入解析式得：
$0=a(8-2)^2+k$，即$36a + k = 0$ ②
用②式减去①式消去$k$得：$32a = -8$，解得$a=-\frac{1}{4}$。
将$a=-\frac{1}{4}$代入①式得：$4×(-\frac{1}{4}) +k =8$，解得$k=9$。
因此$AD$的长为$9\mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础应用类题目，解题的核心是根据已知条件确定抛物线上点的坐标，合理选择顶点式简化计算，掌握二次函数解析式的求解方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
4.伞是生活中常见的一种工具，伞撑开后如图①所示.如图②，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA，OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，点C为抛物线顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称.已知抛物线的解析式为$y=-0.2x^2+1$，若点A到x轴的距离是0.6 dm，则A，B两点之间的距离是()
A.$\sqrt{2}$ dm
B.2 dm
C.4 dm
D.$2\sqrt{2}$ dm
A.$\sqrt{2}$ dm
B.2 dm
C.4 dm
D.$2\sqrt{2}$ dm
答案
D
解析
【分析】
解题时首先明确：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，结合点A在x轴上方，可确定A的纵坐标值；将纵坐标代入抛物线解析式即可求出点A的横坐标；再根据OA、OB关于y轴对称，可得点B的坐标特征，最后计算两点距离即可。
【解析】
∵点A到x轴的距离是0.6 dm，且点A在x轴上方，
∴点A的纵坐标为0.6。
将y=0.6代入抛物线解析式$y=-0.2x^2+1$，得：
$0.6=-0.2x^2+1$
移项计算：$0.2x^2=1-0.6=0.4$，
解得$x^2=2$，即$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$。
∵点A在y轴右侧，
∴A点坐标为$(\sqrt{2},0.6)$，
又
∵OA、OB关于y轴对称，
∴点B坐标为$(-\sqrt{2},0.6)$，
A、B两点纵坐标相同，故两点距离为：$\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$（dm）。
【答案】
D
【知识点】
二次函数点坐标求解；坐标对称性质；两点距离计算
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是将点到坐标轴的距离转化为点的坐标特征，再结合函数解析式和对称性求解，属于二次函数实际应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，结合点A在x轴上方，可确定A的纵坐标值；将纵坐标代入抛物线解析式即可求出点A的横坐标；再根据OA、OB关于y轴对称，可得点B的坐标特征，最后计算两点距离即可。
【解析】
∵点A到x轴的距离是0.6 dm，且点A在x轴上方，
∴点A的纵坐标为0.6。
将y=0.6代入抛物线解析式$y=-0.2x^2+1$，得：
$0.6=-0.2x^2+1$
移项计算：$0.2x^2=1-0.6=0.4$，
解得$x^2=2$，即$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$。
∵点A在y轴右侧，
∴A点坐标为$(\sqrt{2},0.6)$，
又
∵OA、OB关于y轴对称，
∴点B坐标为$(-\sqrt{2},0.6)$，
A、B两点纵坐标相同，故两点距离为：$\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$（dm）。
【答案】
D
【知识点】
二次函数点坐标求解；坐标对称性质；两点距离计算
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的基础应用，解题的核心是将点到坐标轴的距离转化为点的坐标特征，再结合函数解析式和对称性求解，属于二次函数实际应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数$y=0.5x^2 -2x -3$的图象形状相同的抛物线形，杯脚AB高7 cm，杯口宽CD为8 cm，则酒杯总高度为()
A.10 cm
B.12 cm
C.15 cm
D.16 cm
A.10 cm
B.12 cm
C.15 cm
D.16 cm
答案
C
解析
【分析】
本题是二次函数在实际生活中的应用类问题，解题思路如下：首先根据抛物线形状相同的性质确定二次项系数，其次合理建立平面直角坐标系简化计算，设出对应抛物线的解析式，再将杯口宽度对应的横坐标代入解析式，求出杯身顶点A到杯口CD的垂直高度，最后加上杯脚AB的高度即可得到酒杯总高度。
【解析】
解：
∵杯身抛物线与二次函数$y=0.5x^2 -2x -3$的图象形状相同，且开口向上，
∴杯身抛物线的二次项系数$a=0.5$。
以杯身抛物线的顶点A为原点，AB所在直线为y轴，过A作水平直线为x轴建立平面直角坐标系，此时抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，故可设抛物线解析式为$y=0.5x^2$。
已知杯口宽CD为8 cm，因此杯口D点的横坐标为4，将$x=4$代入解析式得：
$y=0.5×4^2=0.5×16=8$，即杯口CD到顶点A的垂直距离为8 cm。
又
∵杯脚AB高7 cm，
∴酒杯总高度为$8+7=15$ cm。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是合理建立平面直角坐标系简化计算，同时需要掌握抛物线形状相同则二次项系数绝对值相等的性质，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际生活中的应用类问题，解题思路如下：首先根据抛物线形状相同的性质确定二次项系数，其次合理建立平面直角坐标系简化计算，设出对应抛物线的解析式，再将杯口宽度对应的横坐标代入解析式，求出杯身顶点A到杯口CD的垂直高度，最后加上杯脚AB的高度即可得到酒杯总高度。
【解析】
解：
∵杯身抛物线与二次函数$y=0.5x^2 -2x -3$的图象形状相同，且开口向上，
∴杯身抛物线的二次项系数$a=0.5$。
以杯身抛物线的顶点A为原点，AB所在直线为y轴，过A作水平直线为x轴建立平面直角坐标系，此时抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，故可设抛物线解析式为$y=0.5x^2$。
已知杯口宽CD为8 cm，因此杯口D点的横坐标为4，将$x=4$代入解析式得：
$y=0.5×4^2=0.5×16=8$，即杯口CD到顶点A的垂直距离为8 cm。
又
∵杯脚AB高7 cm，
∴酒杯总高度为$8+7=15$ cm。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是合理建立平面直角坐标系简化计算，同时需要掌握抛物线形状相同则二次项系数绝对值相等的性质，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
6. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示.下列结论：
①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3 s后，速度越来越快；③小球抛出3 s时速度为0；④小球的高度h=30 m时，t=1.5 s.
其中正确的是()
A.①④
B.①②
C.②③④
D.②③
①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3 s后，速度越来越快；③小球抛出3 s时速度为0；④小球的高度h=30 m时，t=1.5 s.
其中正确的是()
A.①④
B.①②
C.②③④
D.②③
答案
D
解析
【分析】
首先从图像提取关键信息：小球高度h是运动时间t的二次函数，抛物线过(0,0)、(6,0)，顶点为(3,40)，说明小球0s从地面抛出，3s到达40m的最高点，6s落回地面。接下来逐个验证结论：①路程是运动轨迹的总长度，需计算上升和下落的总距离；②3s后小球处于下落阶段，结合运动常识判断速度变化；③最高点是上升和下落的转折点，瞬间速度为0；④先求出h关于t的函数解析式，代入h=30求解t的取值，判断是否仅为1.5s。
【解析】
1. 求函数解析式：设二次函数顶点式为$ h=a(t-3)^2+40 $，将点(0,0)代入得：
$ 0=a×(0-3)^2+40 $，解得$ a=-\frac{40}{9} $，即解析式为$ h=-\frac{40}{9}(t-3)^2+40 $。
2. 逐个判断结论：
①小球上升高度为40m，下落还需走40m，总路程为$ 40+40=80m $，故①错误；
②抛出3s后小球处于下落阶段，下落过程受重力作用速度越来越快，故②正确；
③3s时小球到达最高点，此时瞬间速度为0，之后开始下落，故③正确；
④将$ h=30 $代入解析式得：$ 30=-\frac{40}{9}(t-3)^2+40 $，整理得$ (t-3)^2=\frac{9}{4} $，解得$ t_1=1.5s $，$ t_2=4.5s $，即h=30m时t有两个取值，故④错误。
综上，正确结论为②③。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数性质，竖直上抛规律
【点评】
本题结合运动图像考查二次函数的应用，解题关键是提取图像的交点、顶点等关键信息，结合运动常识和二次函数性质判断结论，易错点是忽略下落阶段对应的路程和函数值。
【难度系数】
0.7
首先从图像提取关键信息：小球高度h是运动时间t的二次函数，抛物线过(0,0)、(6,0)，顶点为(3,40)，说明小球0s从地面抛出，3s到达40m的最高点，6s落回地面。接下来逐个验证结论：①路程是运动轨迹的总长度，需计算上升和下落的总距离；②3s后小球处于下落阶段，结合运动常识判断速度变化；③最高点是上升和下落的转折点，瞬间速度为0；④先求出h关于t的函数解析式，代入h=30求解t的取值，判断是否仅为1.5s。
【解析】
1. 求函数解析式：设二次函数顶点式为$ h=a(t-3)^2+40 $，将点(0,0)代入得：
$ 0=a×(0-3)^2+40 $，解得$ a=-\frac{40}{9} $，即解析式为$ h=-\frac{40}{9}(t-3)^2+40 $。
2. 逐个判断结论：
①小球上升高度为40m，下落还需走40m，总路程为$ 40+40=80m $，故①错误；
②抛出3s后小球处于下落阶段，下落过程受重力作用速度越来越快，故②正确；
③3s时小球到达最高点，此时瞬间速度为0，之后开始下落，故③正确；
④将$ h=30 $代入解析式得：$ 30=-\frac{40}{9}(t-3)^2+40 $，整理得$ (t-3)^2=\frac{9}{4} $，解得$ t_1=1.5s $，$ t_2=4.5s $，即h=30m时t有两个取值，故④错误。
综上，正确结论为②③。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数性质，竖直上抛规律
【点评】
本题结合运动图像考查二次函数的应用，解题关键是提取图像的交点、顶点等关键信息，结合运动常识和二次函数性质判断结论，易错点是忽略下落阶段对应的路程和函数值。
【难度系数】
0.7
