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7.如图所示,有一抛物线形拱桥,当水位线在AB位置时,拱桥离水面2 m,水面宽4 m,求水面下降1 m后水面的宽度.
答案
解：以抛物线形拱桥的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意可知，点B的坐标为$(2,-2)$，将其代入解析式得：
$-2 = a· 2^2$
解得$a=-\frac{1}{2}$，因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水面下降1m时，水面对应的纵坐标为$y=-3$，将$y=-3$代入解析式：
$-3 = -\frac{1}{2}x^2$
解得$x_1=\sqrt{6}$，$x_2=-\sqrt{6}$。
此时水面的宽度为$|\sqrt{6}-(-\sqrt{6})|=2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
答：水面下降1m后水面的宽度为$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
由题意可知，点B的坐标为$(2,-2)$，将其代入解析式得：
$-2 = a· 2^2$
解得$a=-\frac{1}{2}$，因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水面下降1m时，水面对应的纵坐标为$y=-3$，将$y=-3$代入解析式：
$-3 = -\frac{1}{2}x^2$
解得$x_1=\sqrt{6}$，$x_2=-\sqrt{6}$。
此时水面的宽度为$|\sqrt{6}-(-\sqrt{6})|=2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
答：水面下降1m后水面的宽度为$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
遇到抛物线类的实际应用问题，首先要通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解，为了简化计算，通常选择抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线解析式可设为最简形式$y=ax^2(a≠0)$。接下来结合题目给出的“水面宽4m、拱顶离水面2m”的条件，得到抛物线上已知点的坐标，代入解析式求出待定系数a，得到抛物线的完整解析式。最后水面下降1m时，将对应纵坐标代入解析式求出横坐标，两个横坐标的差即为此时水面的宽度。
【解析】
解：以抛物线形拱桥的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意可知，点B的坐标为$(2,-2)$，将其代入解析式得：
$-2 = a· 2^2$
解得$a=-\frac{1}{2}$，因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水面下降1m时，水面对应的纵坐标为$y=-3$，将$y=-3$代入解析式：
$-3 = -\frac{1}{2}x^2$
解得$x_1=\sqrt{6}$，$x_2=-\sqrt{6}$。
此时水面的宽度为$|\sqrt{6}-(-\sqrt{6})|=2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数应用的典型题型，核心考查将实际几何问题转化为二次函数代数问题的能力，解题的关键是建立合适的平面直角坐标系简化计算，整体解题思路清晰，对二次函数的基础性质掌握要求较高。
【难度系数】
0.7
遇到抛物线类的实际应用问题，首先要通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解，为了简化计算，通常选择抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线解析式可设为最简形式$y=ax^2(a≠0)$。接下来结合题目给出的“水面宽4m、拱顶离水面2m”的条件，得到抛物线上已知点的坐标，代入解析式求出待定系数a，得到抛物线的完整解析式。最后水面下降1m时，将对应纵坐标代入解析式求出横坐标，两个横坐标的差即为此时水面的宽度。
【解析】
解：以抛物线形拱桥的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意可知，点B的坐标为$(2,-2)$，将其代入解析式得：
$-2 = a· 2^2$
解得$a=-\frac{1}{2}$，因此抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
当水面下降1m时，水面对应的纵坐标为$y=-3$，将$y=-3$代入解析式：
$-3 = -\frac{1}{2}x^2$
解得$x_1=\sqrt{6}$，$x_2=-\sqrt{6}$。
此时水面的宽度为$|\sqrt{6}-(-\sqrt{6})|=2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数应用的典型题型，核心考查将实际几何问题转化为二次函数代数问题的能力，解题的关键是建立合适的平面直角坐标系简化计算，整体解题思路清晰，对二次函数的基础性质掌握要求较高。
【难度系数】
0.7
8.如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高为2.5m时,水柱落点距点O刚好2.5m;喷头高为4m时,水柱落点距点O3m.试求水柱落点距点O4m时的喷头高度.
答案
解：
以点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意，喷头上下移动时抛物线仅竖直平移，因此抛物线的二次项系数、一次项系数均不变，设抛物线解析式为 $ y = ax^2 + bx + c $，其中c为喷头的高度。
将已知条件代入解析式：
当c=2.5时，抛物线过点(2.5, 0)，得：
$ 2.5^2 a + 2.5b + 2.5 = 0 $，整理得 $ 2.5a + b + 1 = 0 $ ①
当c=4时，抛物线过点(3, 0)，得：
$ 3^2 a + 3b + 4 = 0 $，整理得 $ 9a + 3b + 4 = 0 $ ②
联立①②，解得：
$ a = -\frac{2}{3} $，$ b = \frac{2}{3} $
设水柱落点距点O 4m时喷头高度为H，此时抛物线过点(4, 0)，代入解析式得：
$ -\frac{2}{3} × 4^2 + \frac{2}{3} × 4 + H = 0 $
解得 $ H = 8 $
答：水柱落点距点O 4m时的喷头高度为8m。
以点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意，喷头上下移动时抛物线仅竖直平移，因此抛物线的二次项系数、一次项系数均不变，设抛物线解析式为 $ y = ax^2 + bx + c $，其中c为喷头的高度。
将已知条件代入解析式：
当c=2.5时，抛物线过点(2.5, 0)，得：
$ 2.5^2 a + 2.5b + 2.5 = 0 $，整理得 $ 2.5a + b + 1 = 0 $ ①
当c=4时，抛物线过点(3, 0)，得：
$ 3^2 a + 3b + 4 = 0 $，整理得 $ 9a + 3b + 4 = 0 $ ②
联立①②，解得：
$ a = -\frac{2}{3} $，$ b = \frac{2}{3} $
设水柱落点距点O 4m时喷头高度为H，此时抛物线过点(4, 0)，代入解析式得：
$ -\frac{2}{3} × 4^2 + \frac{2}{3} × 4 + H = 0 $
解得 $ H = 8 $
答：水柱落点距点O 4m时的喷头高度为8m。
解析
【分析】
解题首先要抓住核心特征：喷头上下移动时水柱抛物线仅发生竖直平移，因此抛物线的二次项系数、一次项系数保持不变，仅常数项（等于喷头高度）发生变化。我们先建立平面直角坐标系，设出抛物线的一般式，再将两组已知的喷头高度和对应落点坐标代入解析式，联立方程组求解出固定的系数a、b，最后将落点距O点4m的条件代入解析式，即可求出对应的喷头高度。
【解析】
解：以点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由于喷头上下移动时抛物线仅竖直平移，因此抛物线的二次项系数、一次项系数均不变，设抛物线解析式为 $ y = ax^2 + bx + c $，其中常数项c为喷头的高度。
将已知条件代入解析式：
1. 当c=2.5时，抛物线过落点$(2.5, 0)$，代入得：
$ 2.5^2 a + 2.5b + 2.5 = 0 $，两边同除以2.5整理得 $ 2.5a + b + 1 = 0$ ①
2. 当c=4时，抛物线过落点$(3, 0)$，代入得：
$ 3^2 a + 3b + 4 = 0 $，整理得 $ 9a + 3b + 4 = 0$ ②
联立①②求解：
由①得$b = -1 -2.5a$，代入②：
$9a + 3×(-1 -2.5a) +4 =0$
化简得$1.5a +1=0$，解得 $a = -\frac{2}{3}$
将$a = -\frac{2}{3}$代入①，解得 $b = \frac{2}{3}$
设水柱落点距点O 4m时喷头高度为H，此时抛物线过点$(4, 0)$，代入解析式得：
$ -\frac{2}{3} × 4^2 + \frac{2}{3} × 4 + H = 0 $
计算得：$-\frac{32}{3} + \frac{8}{3} + H =0$，解得 $ H = 8 $
【答案】
8m
【知识点】
二次函数平移性质；待定系数法求解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的喷泉水柱场景考查二次函数的应用，解题关键是明确抛物线竖直平移的性质，准确利用已知条件建立方程求解固定系数，再代入目标条件计算，能够有效锻炼学生的数学建模和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.65
解题首先要抓住核心特征：喷头上下移动时水柱抛物线仅发生竖直平移，因此抛物线的二次项系数、一次项系数保持不变，仅常数项（等于喷头高度）发生变化。我们先建立平面直角坐标系，设出抛物线的一般式，再将两组已知的喷头高度和对应落点坐标代入解析式，联立方程组求解出固定的系数a、b，最后将落点距O点4m的条件代入解析式，即可求出对应的喷头高度。
【解析】
解：以点O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由于喷头上下移动时抛物线仅竖直平移，因此抛物线的二次项系数、一次项系数均不变，设抛物线解析式为 $ y = ax^2 + bx + c $，其中常数项c为喷头的高度。
将已知条件代入解析式：
1. 当c=2.5时，抛物线过落点$(2.5, 0)$，代入得：
$ 2.5^2 a + 2.5b + 2.5 = 0 $，两边同除以2.5整理得 $ 2.5a + b + 1 = 0$ ①
2. 当c=4时，抛物线过落点$(3, 0)$，代入得：
$ 3^2 a + 3b + 4 = 0 $，整理得 $ 9a + 3b + 4 = 0$ ②
联立①②求解：
由①得$b = -1 -2.5a$，代入②：
$9a + 3×(-1 -2.5a) +4 =0$
化简得$1.5a +1=0$，解得 $a = -\frac{2}{3}$
将$a = -\frac{2}{3}$代入①，解得 $b = \frac{2}{3}$
设水柱落点距点O 4m时喷头高度为H，此时抛物线过点$(4, 0)$，代入解析式得：
$ -\frac{2}{3} × 4^2 + \frac{2}{3} × 4 + H = 0 $
计算得：$-\frac{32}{3} + \frac{8}{3} + H =0$，解得 $ H = 8 $
【答案】
8m
【知识点】
二次函数平移性质；待定系数法求解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的喷泉水柱场景考查二次函数的应用，解题关键是明确抛物线竖直平移的性质，准确利用已知条件建立方程求解固定系数，再代入目标条件计算，能够有效锻炼学生的数学建模和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.65
9. 如图所示，一场篮球比赛中，球员甲跳起来投篮，已知球出手时离地面$\frac{20}{9}$ m，与篮筐中心的水平距离为7 m，当球运行的水平距离为4 m时，达到最大高度4 m，设篮球运行的路线为抛物线，篮筐距地面3 m. 试问：
(1)此球能否投进？
(2)此时对方球员乙前来盖帽，已知乙手能伸到的最高点为3.19 m，那么他如何做才能盖帽成功？
(1)此球能否投进？
(2)此时对方球员乙前来盖帽，已知乙手能伸到的最高点为3.19 m，那么他如何做才能盖帽成功？
答案
解：
(1) 以球出手时球员甲所在位置的地面点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,4)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+4$。
将出手点坐标$(0,\frac{20}{9})$代入解析式：
$\frac{20}{9}=a·(0-4)^2 +4$
解得$a=-\frac{1}{9}$，因此抛物线的解析式为：
$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4 \quad (0≤ x≤7)$
篮筐的坐标为$(7,3)$，将$x=7$代入解析式：
$y=-\frac{1}{9}×(7-4)^2 +4 = -1 +4=3$
即篮筐点$(7,3)$在该抛物线上，因此此球能投进。
(2) 令$y=3.19$，代入抛物线解析式：
$3.19=-\frac{1}{9}(x-4)^2 +4$
整理得$(x-4)^2=7.29$，解得$x_1=1.3$，$x_2=6.7$（该点对应球下落阶段接近篮筐的位置，不符合盖帽实际场景，舍去）。
可知当球运行的水平距离小于1.3m时，球的高度小于3.19m。
答：(1) 此球能投进；(2) 乙向前移动到距离甲出手点水平距离小于1.3m的位置起跳，即可盖帽成功。
(1) 以球出手时球员甲所在位置的地面点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,4)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+4$。
将出手点坐标$(0,\frac{20}{9})$代入解析式：
$\frac{20}{9}=a·(0-4)^2 +4$
解得$a=-\frac{1}{9}$，因此抛物线的解析式为：
$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4 \quad (0≤ x≤7)$
篮筐的坐标为$(7,3)$，将$x=7$代入解析式：
$y=-\frac{1}{9}×(7-4)^2 +4 = -1 +4=3$
即篮筐点$(7,3)$在该抛物线上，因此此球能投进。
(2) 令$y=3.19$，代入抛物线解析式：
$3.19=-\frac{1}{9}(x-4)^2 +4$
整理得$(x-4)^2=7.29$，解得$x_1=1.3$，$x_2=6.7$（该点对应球下落阶段接近篮筐的位置，不符合盖帽实际场景，舍去）。
可知当球运行的水平距离小于1.3m时，球的高度小于3.19m。
答：(1) 此球能投进；(2) 乙向前移动到距离甲出手点水平距离小于1.3m的位置起跳，即可盖帽成功。
解析
【分析】
本题是二次函数在实际场景中的应用问题，解题思路如下：首先建立合适的平面直角坐标系，已知抛物线的顶点坐标，因此采用顶点式设二次函数解析式更简便；代入球出手点的坐标求出解析式后，第一问将篮筐对应的水平距离代入解析式，验证所得高度是否和篮筐高度一致，即可判断能否投进；第二问将乙能摸到的最大高度代入解析式，求解对应的水平距离，结合盖帽需在球上升阶段完成的实际规则，舍去不符合题意的解，即可得到盖帽的有效位置。
【解析】
(1) 以球出手时球员甲所在位置的地面点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,4)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+4$。
将出手点坐标$(0,\frac{20}{9})$代入解析式：
$\frac{20}{9}=a·(0-4)^2 +4$
解得$a=-\frac{1}{9}$，因此抛物线的解析式为：
$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4 \quad (0≤ x≤7)$
篮筐的坐标为$(7,3)$，将$x=7$代入解析式：
$y=-\frac{1}{9}×(7-4)^2 +4 = -1 +4=3$
即篮筐点$(7,3)$在该抛物线上，因此此球能投进。
(2) 令$y=3.19$，代入抛物线解析式：
$3.19=-\frac{1}{9}(x-4)^2 +4$
整理得$(x-4)^2=7.29$，解得$x_1=1.3$，$x_2=6.7$（该点对应球下落阶段接近篮筐的位置，不符合盖帽实际场景，舍去）。
可知当球运行的水平距离小于1.3m时，球的高度小于3.19m。
【答案】
(1) 此球能投进；
(2) 乙向前移动到距离甲出手点水平距离小于1.3m的位置起跳，即可盖帽成功。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合投篮的生活场景考查二次函数的应用，解题的关键是建立合适的坐标系求出抛物线解析式，同时要注意结合实际情况对求得的解进行取舍，很好地体现了数学与生活的联系。
【难度系数】
0.65
本题是二次函数在实际场景中的应用问题，解题思路如下：首先建立合适的平面直角坐标系，已知抛物线的顶点坐标，因此采用顶点式设二次函数解析式更简便；代入球出手点的坐标求出解析式后，第一问将篮筐对应的水平距离代入解析式，验证所得高度是否和篮筐高度一致，即可判断能否投进；第二问将乙能摸到的最大高度代入解析式，求解对应的水平距离，结合盖帽需在球上升阶段完成的实际规则，舍去不符合题意的解，即可得到盖帽的有效位置。
【解析】
(1) 以球出手时球员甲所在位置的地面点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,4)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+4$。
将出手点坐标$(0,\frac{20}{9})$代入解析式：
$\frac{20}{9}=a·(0-4)^2 +4$
解得$a=-\frac{1}{9}$，因此抛物线的解析式为：
$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4 \quad (0≤ x≤7)$
篮筐的坐标为$(7,3)$，将$x=7$代入解析式：
$y=-\frac{1}{9}×(7-4)^2 +4 = -1 +4=3$
即篮筐点$(7,3)$在该抛物线上，因此此球能投进。
(2) 令$y=3.19$，代入抛物线解析式：
$3.19=-\frac{1}{9}(x-4)^2 +4$
整理得$(x-4)^2=7.29$，解得$x_1=1.3$，$x_2=6.7$（该点对应球下落阶段接近篮筐的位置，不符合盖帽实际场景，舍去）。
可知当球运行的水平距离小于1.3m时，球的高度小于3.19m。
【答案】
(1) 此球能投进；
(2) 乙向前移动到距离甲出手点水平距离小于1.3m的位置起跳，即可盖帽成功。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合投篮的生活场景考查二次函数的应用，解题的关键是建立合适的坐标系求出抛物线解析式，同时要注意结合实际情况对求得的解进行取舍，很好地体现了数学与生活的联系。
【难度系数】
0.65
