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例1 下列函数解析式中,不是反比例函数解析式的是()
A.$y=-\dfrac{\sqrt{2}}{x}$
B.$y=\dfrac{1}{x}$
C.$y=-\dfrac{3}{2x}$
D.$y=\dfrac{x}{3}$
【思路导析】形如 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的函数是反比例函数,即自变量 $x$ 和函数 $y$ 的积为一个不为零的常数.
【请你解答】.
知识点二 列反比例函数的解析式
A.$y=-\dfrac{\sqrt{2}}{x}$
B.$y=\dfrac{1}{x}$
C.$y=-\dfrac{3}{2x}$
D.$y=\dfrac{x}{3}$
【思路导析】形如 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的函数是反比例函数,即自变量 $x$ 和函数 $y$ 的积为一个不为零的常数.
【请你解答】.
知识点二 列反比例函数的解析式
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个不是反比例函数，首先需明确反比例函数的定义标准：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数是反比例函数，也可变形为$xy=k$（$k\ne0$）或$y=kx^{-1}$（$k\ne0$）的形式。解题时先牢记定义，再将每个选项的解析式和反比例函数的标准形式比对，排除符合反比例函数定义的选项，剩下的就是所求答案。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne 0$）的函数为反比例函数，逐一分析选项：
A. $y=-\dfrac{\sqrt{2}}{x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=-\sqrt{2}\ne0$，是反比例函数；
B. $y=\dfrac{1}{x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=1\ne0$，是反比例函数；
C. $y=-\dfrac{3}{2x}$可变形为$y=\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=-\dfrac{3}{2}\ne0$，是反比例函数；
D. $y=\dfrac{x}{3}$可变形为$y=\dfrac{1}{3}x$，属于正比例函数的形式，不是反比例函数。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是准确掌握反比例函数的三种表达形式，注意区分反比例函数与正比例函数的解析式特征，避免将两类函数混淆。
【难度系数】
0.9
要判断哪个不是反比例函数，首先需明确反比例函数的定义标准：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数是反比例函数，也可变形为$xy=k$（$k\ne0$）或$y=kx^{-1}$（$k\ne0$）的形式。解题时先牢记定义，再将每个选项的解析式和反比例函数的标准形式比对，排除符合反比例函数定义的选项，剩下的就是所求答案。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne 0$）的函数为反比例函数，逐一分析选项：
A. $y=-\dfrac{\sqrt{2}}{x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=-\sqrt{2}\ne0$，是反比例函数；
B. $y=\dfrac{1}{x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=1\ne0$，是反比例函数；
C. $y=-\dfrac{3}{2x}$可变形为$y=\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=-\dfrac{3}{2}\ne0$，是反比例函数；
D. $y=\dfrac{x}{3}$可变形为$y=\dfrac{1}{3}x$，属于正比例函数的形式，不是反比例函数。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是准确掌握反比例函数的三种表达形式，注意区分反比例函数与正比例函数的解析式特征，避免将两类函数混淆。
【难度系数】
0.9
例2 某长方体的体积为$100\ \mathrm{cm}^3$，长方体的高为$h$(单位:$\mathrm{cm}$)与底面积$S$的函数关系式为()
A.$h=\dfrac{S}{100}$
B.$h=\dfrac{100}{S}$
C.$h=100S$
D.$\dfrac{h}{S}=100$
【思路导析】找准等量关系列出等式，再转化成函数关系式。
【请你解答】______.
A.$h=\dfrac{S}{100}$
B.$h=\dfrac{100}{S}$
C.$h=100S$
D.$\dfrac{h}{S}=100$
【思路导析】找准等量关系列出等式，再转化成函数关系式。
【请你解答】______.
答案
B
解析
【分析】
要得到h与S的函数关系式，首先需明确长方体体积、底面积、高三者的等量关系。我们知道长方体体积公式为体积=底面积×高，题中已经给出体积为固定值100cm³，将已知体积代入公式后，把等式变形为用含S的式子表示h，即可得到对应的函数关系式。
【解析】
根据长方体体积计算公式：$\boldsymbol{V = S· h}$（$V$为体积，$S$为底面积，$h$为高）。
已知长方体体积$V=100\ \mathrm{cm}^3$，代入公式得：
$100 = S· h$
将等式变形，两边同时除以$S$（$S$是底面积，$S＞0$），可得：
$h=\dfrac{100}{S}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
长方体体积计算、根据实际问题列函数关系式、反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心是找准长方体体积、底面积、高三者的数量关系，通过等式变形即可得到目标函数关系式，是对基础公式应用和函数表达式变形能力的考察。
【难度系数】
0.9
要得到h与S的函数关系式，首先需明确长方体体积、底面积、高三者的等量关系。我们知道长方体体积公式为体积=底面积×高，题中已经给出体积为固定值100cm³，将已知体积代入公式后，把等式变形为用含S的式子表示h，即可得到对应的函数关系式。
【解析】
根据长方体体积计算公式：$\boldsymbol{V = S· h}$（$V$为体积，$S$为底面积，$h$为高）。
已知长方体体积$V=100\ \mathrm{cm}^3$，代入公式得：
$100 = S· h$
将等式变形，两边同时除以$S$（$S$是底面积，$S＞0$），可得：
$h=\dfrac{100}{S}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
长方体体积计算、根据实际问题列函数关系式、反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心是找准长方体体积、底面积、高三者的数量关系，通过等式变形即可得到目标函数关系式，是对基础公式应用和函数表达式变形能力的考察。
【难度系数】
0.9
例3 已知$y$是$x$的反比例函数，且当$x=-4$时，$y=\frac{1}{2}$。
(1)写出$y$与$x$之间的函数关系式；
(2)当$x=-6$时，求函数$y$的值；
(3)当$y=18$时，求$x$的值。
【探究点拨】反比例函数解析式可设为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，$k$为常数。
【规范解答】(1)设$y=\frac{k}{x}$，
∵ $x=-4$时，$y=\frac{1}{2}$，
∴ $k=-2$，即$y$与$x$的函数关系式为$y=-\frac{2}{x}$。
(2)把$x=-6$代入$y=-\frac{2}{x}$中得$y=\frac{1}{3}$。
(3)把$y=18$代入$y=-\frac{2}{x}$中得$x=-\frac{1}{9}$。
(1)写出$y$与$x$之间的函数关系式；
(2)当$x=-6$时，求函数$y$的值；
(3)当$y=18$时，求$x$的值。
【探究点拨】反比例函数解析式可设为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，$k$为常数。
【规范解答】(1)设$y=\frac{k}{x}$，
∵ $x=-4$时，$y=\frac{1}{2}$，
∴ $k=-2$，即$y$与$x$的函数关系式为$y=-\frac{2}{x}$。
(2)把$x=-6$代入$y=-\frac{2}{x}$中得$y=\frac{1}{3}$。
(3)把$y=18$代入$y=-\frac{2}{x}$中得$x=-\frac{1}{9}$。
答案
解：
(1) 设y与x之间的反比例函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
把$x=-4$，$y=\frac{1}{2}$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$\frac{1}{2}=\frac{k}{-4}$，
解得$k=-2$，
所以y与x之间的函数关系式为$y=-\frac{2}{x}$。
(2) 把$x=-6$代入$y=-\frac{2}{x}$，得
$y=-\frac{2}{-6}=\frac{1}{3}$。
(3) 把$y=18$代入$y=-\frac{2}{x}$，得
$18=-\frac{2}{x}$，
解得$x=-\frac{1}{9}$。
(1) 设y与x之间的反比例函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
把$x=-4$，$y=\frac{1}{2}$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$\frac{1}{2}=\frac{k}{-4}$，
解得$k=-2$，
所以y与x之间的函数关系式为$y=-\frac{2}{x}$。
(2) 把$x=-6$代入$y=-\frac{2}{x}$，得
$y=-\frac{2}{-6}=\frac{1}{3}$。
(3) 把$y=18$代入$y=-\frac{2}{x}$，得
$18=-\frac{2}{x}$，
解得$x=-\frac{1}{9}$。
解析
【分析】
本题围绕反比例函数的基础应用设置三个小问，解题思路清晰：(1)求函数关系式时，先根据反比例函数的定义设出含待定系数$k$的解析式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的$x$、$y$对应值代入解析式，解关于$k$的一元一次方程求出$k$，即可确定函数关系式；(2)已知$x$求$y$时，直接将$x$的取值代入已求出的解析式计算即可；(3)已知$y$求$x$时，将$y$的取值代入解析式，解关于$x$的方程即可得到结果，注意计算时符号不要出错。
【解析】
(1) 设y与x之间的反比例函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
把$x=-4$，$y=\frac{1}{2}$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$\frac{1}{2}=\frac{k}{-4}$，
解得$k=-2$，
所以y与x之间的函数关系式为$y=-\frac{2}{x}$。
(2) 把$x=-6$代入$y=-\frac{2}{x}$，得
$y=-\frac{2}{-6}=\frac{1}{3}$。
(3) 把$y=18$代入$y=-\frac{2}{x}$，得
$18=-\frac{2}{x}$，
解得$x=-\frac{1}{9}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{2}{x}$
(2) $\frac{1}{3}$
(3) $-\frac{1}{9}$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求解析式
3. 反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题型，侧重考查基础概念和基本运算能力，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，代入计算时注意核对符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.85
本题围绕反比例函数的基础应用设置三个小问，解题思路清晰：(1)求函数关系式时，先根据反比例函数的定义设出含待定系数$k$的解析式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的$x$、$y$对应值代入解析式，解关于$k$的一元一次方程求出$k$，即可确定函数关系式；(2)已知$x$求$y$时，直接将$x$的取值代入已求出的解析式计算即可；(3)已知$y$求$x$时，将$y$的取值代入解析式，解关于$x$的方程即可得到结果，注意计算时符号不要出错。
【解析】
(1) 设y与x之间的反比例函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
把$x=-4$，$y=\frac{1}{2}$代入$y=\frac{k}{x}$，得
$\frac{1}{2}=\frac{k}{-4}$，
解得$k=-2$，
所以y与x之间的函数关系式为$y=-\frac{2}{x}$。
(2) 把$x=-6$代入$y=-\frac{2}{x}$，得
$y=-\frac{2}{-6}=\frac{1}{3}$。
(3) 把$y=18$代入$y=-\frac{2}{x}$，得
$18=-\frac{2}{x}$，
解得$x=-\frac{1}{9}$。
【答案】
(1) $y=-\frac{2}{x}$
(2) $\frac{1}{3}$
(3) $-\frac{1}{9}$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求解析式
3. 反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题型，侧重考查基础概念和基本运算能力，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，代入计算时注意核对符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.85
1.若函数 $y=(m+1)x^{|m|-2}$ 是反比例函数.
(1)求$m$的值；
(2)求函数的解析式.
(1)求$m$的值；
(2)求函数的解析式.
答案
解：
(1) 由反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}|m| - 2 = -1 \\m + 1 ≠ 0\end{cases}$
由$|m| - 2 = -1$，得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$。
由$m + 1 ≠ 0$，得$m ≠ -1$。
综上，$m=1$。
(2) 将$m=1$代入$y=(m+1)x^{|m|-2}$，得$m+1=2$，
因此函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$。
(1) 由反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}|m| - 2 = -1 \\m + 1 ≠ 0\end{cases}$
由$|m| - 2 = -1$，得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$。
由$m + 1 ≠ 0$，得$m ≠ -1$。
综上，$m=1$。
(2) 将$m=1$代入$y=(m+1)x^{|m|-2}$，得$m+1=2$，
因此函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$。
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确反比例函数的核心特征：反比例函数可表示为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，需同时满足两个条件：一是自变量的指数为$-1$，二是比例系数不为0。第一问求$m$的值时，可根据这两个条件分别列方程和不等式，联立求解即可；第二问只需将求得的$m$代入原函数表达式，化简就能得到解析式。
【解析】
(1) 根据反比例函数的定义，列方程组：
$\begin{cases}|m| - 2 = -1 \\m + 1 ≠ 0\end{cases}$
解方程$|m| - 2 = -1$，移项得$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
解不等式$m + 1 ≠ 0$，得$m≠-1$；
联立两个结果，可得$m=1$。
(2) 将$m=1$代入原函数$y=(m+1)x^{|m|-2}$，计算得$m+1=2$，指数为$-1$，因此函数解析式为$y=2x^{-1}$，即$y=\frac{2}{x}$。
【答案】
(1) $m=1$；(2) 函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$
【知识点】
反比例函数的定义、绝对值方程求解、不等式求解
【点评】
本题是基础概念应用类题目，解题关键是牢记反比例函数的两个成立条件，尤其要注意不要遗漏比例系数不为0的限制，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确反比例函数的核心特征：反比例函数可表示为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，需同时满足两个条件：一是自变量的指数为$-1$，二是比例系数不为0。第一问求$m$的值时，可根据这两个条件分别列方程和不等式，联立求解即可；第二问只需将求得的$m$代入原函数表达式，化简就能得到解析式。
【解析】
(1) 根据反比例函数的定义，列方程组：
$\begin{cases}|m| - 2 = -1 \\m + 1 ≠ 0\end{cases}$
解方程$|m| - 2 = -1$，移项得$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
解不等式$m + 1 ≠ 0$，得$m≠-1$；
联立两个结果，可得$m=1$。
(2) 将$m=1$代入原函数$y=(m+1)x^{|m|-2}$，计算得$m+1=2$，指数为$-1$，因此函数解析式为$y=2x^{-1}$，即$y=\frac{2}{x}$。
【答案】
(1) $m=1$；(2) 函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$
【知识点】
反比例函数的定义、绝对值方程求解、不等式求解
【点评】
本题是基础概念应用类题目，解题关键是牢记反比例函数的两个成立条件，尤其要注意不要遗漏比例系数不为0的限制，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
