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2.已知$y=y_1+y_2$，$y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例，当$x=1$时，$y=4$；当$x=2$时，$y=5$，求$y$与$x$之间的函数关系式。
答案
解：
∵ $y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例，
∴ 设$y_1 = k_1x$（$k_1 ≠ 0$），$y_2 = \frac{k_2}{x}$（$k_2 ≠ 0$），
则 $y = k_1x + \frac{k_2}{x}$。
将$x=1$，$y=4$和$x=2$，$y=5$分别代入上式，得：
$\begin{cases}k_1 + k_2 = 4 \\2k_1 + \frac{k_2}{2} = 5\end{cases}$
解这个方程组：
给第二个方程两边同乘2，得$4k_1 + k_2 = 10$，
用该式减去第一个方程，得$3k_1 = 6$，解得$k_1=2$，
把$k_1=2$代入$k_1 + k_2 = 4$，得$k_2=2$。
∴ $y$与$x$之间的函数关系式为$y=2x + \frac{2}{x}$。
∵ $y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例，
∴ 设$y_1 = k_1x$（$k_1 ≠ 0$），$y_2 = \frac{k_2}{x}$（$k_2 ≠ 0$），
则 $y = k_1x + \frac{k_2}{x}$。
将$x=1$，$y=4$和$x=2$，$y=5$分别代入上式，得：
$\begin{cases}k_1 + k_2 = 4 \\2k_1 + \frac{k_2}{2} = 5\end{cases}$
解这个方程组：
给第二个方程两边同乘2，得$4k_1 + k_2 = 10$，
用该式减去第一个方程，得$3k_1 = 6$，解得$k_1=2$，
把$k_1=2$代入$k_1 + k_2 = 4$，得$k_2=2$。
∴ $y$与$x$之间的函数关系式为$y=2x + \frac{2}{x}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数和反比例函数的定义，先分别设出两个函数的表达式，注意两个比例系数要用不同字母区分，再组合得到y与x的含参表达式；接着将题目给出的两组x、y的对应值代入表达式，得到关于两个未知系数的二元一次方程组；最后解方程组求出系数，代回含参表达式就能得到最终的函数关系式。
【解析】
∵ $y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例，
∴ 设$y_1 = k_1x$（$k_1 ≠ 0$），$y_2 = \frac{k_2}{x}$（$k_2 ≠ 0$），
则 $y = k_1x + \frac{k_2}{x}$。
将$x=1$，$y=4$和$x=2$，$y=5$分别代入上式，得：
$\begin{cases}k_1 + k_2 = 4 \\2k_1 + \frac{k_2}{2} = 5\end{cases}$
解这个方程组：
给第二个方程两边同乘2，得$4k_1 + k_2 = 10$，
用该式减去第一个方程，得$3k_1 = 6$，解得$k_1=2$，
把$k_1=2$代入$k_1 + k_2 = 4$，得$k_2=2$。
∴ $y$与$x$之间的函数关系式为$y=2x + \frac{2}{x}$。
【答案】
$y=2x+\frac{2}{x}$
【知识点】
正比例函数的定义，反比例函数的定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数部分的基础题型，重点考查对正比例、反比例函数定义的理解，以及待定系数法的应用，解题时需注意区分两个不同的比例系数，避免混淆，解方程组时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正比例函数和反比例函数的定义，先分别设出两个函数的表达式，注意两个比例系数要用不同字母区分，再组合得到y与x的含参表达式；接着将题目给出的两组x、y的对应值代入表达式，得到关于两个未知系数的二元一次方程组；最后解方程组求出系数，代回含参表达式就能得到最终的函数关系式。
【解析】
∵ $y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例，
∴ 设$y_1 = k_1x$（$k_1 ≠ 0$），$y_2 = \frac{k_2}{x}$（$k_2 ≠ 0$），
则 $y = k_1x + \frac{k_2}{x}$。
将$x=1$，$y=4$和$x=2$，$y=5$分别代入上式，得：
$\begin{cases}k_1 + k_2 = 4 \\2k_1 + \frac{k_2}{2} = 5\end{cases}$
解这个方程组：
给第二个方程两边同乘2，得$4k_1 + k_2 = 10$，
用该式减去第一个方程，得$3k_1 = 6$，解得$k_1=2$，
把$k_1=2$代入$k_1 + k_2 = 4$，得$k_2=2$。
∴ $y$与$x$之间的函数关系式为$y=2x + \frac{2}{x}$。
【答案】
$y=2x+\frac{2}{x}$
【知识点】
正比例函数的定义，反比例函数的定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题是函数部分的基础题型，重点考查对正比例、反比例函数定义的理解，以及待定系数法的应用，解题时需注意区分两个不同的比例系数，避免混淆，解方程组时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.8
1.若长方形的面积为12，则其长y与宽x之间的函数关系式为。
答案
解：
根据长方形的面积公式，可得 $xy=12$，
整理得长$y$与宽$x$之间的函数关系式为 $y=\frac{12}{x} \ (x＞0)$。
根据长方形的面积公式，可得 $xy=12$，
整理得长$y$与宽$x$之间的函数关系式为 $y=\frac{12}{x} \ (x＞0)$。
解析
【分析】解题的核心依据是长方形的面积公式，首先根据“长方形面积=长×宽”列出等量关系式，再将关系式变形为用含x的代数式表示y的形式，最后结合实际意义：长方形的宽属于长度，取值必须为正数，因此要标注自变量x的取值范围。
【解析】解：根据长方形的面积公式：面积=长×宽，已知面积为12，可得：
$xy=12$
将式子变形，同时结合宽x为正数（长度不能为0或负数）的实际要求，整理得长y与宽x之间的函数关系式为：
$y=\frac{12}{x} \ (x＞0)$
【答案】$y=\frac{12}{x} \ (x＞0)$
【知识点】长方形面积计算、反比例函数解析式、自变量取值范围
【点评】本题是反比例函数的基础应用类题目，解题关键是找准几何图形中的等量关系，易错点是容易忽略实际问题中自变量的取值范围，漏写x＞0的限制条件。
【难度系数】0.85
【解析】解：根据长方形的面积公式：面积=长×宽，已知面积为12，可得：
$xy=12$
将式子变形，同时结合宽x为正数（长度不能为0或负数）的实际要求，整理得长y与宽x之间的函数关系式为：
$y=\frac{12}{x} \ (x＞0)$
【答案】$y=\frac{12}{x} \ (x＞0)$
【知识点】长方形面积计算、反比例函数解析式、自变量取值范围
【点评】本题是反比例函数的基础应用类题目，解题关键是找准几何图形中的等量关系，易错点是容易忽略实际问题中自变量的取值范围，漏写x＞0的限制条件。
【难度系数】0.85
2.已知y是x的反比例函数，并且x=2时，y=4，则y与x的函数关系式为。
答案
解：设y与x的反比例函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=2$，$y=4$代入解析式，得：
$4=\frac{k}{2}$，
解得$k=8$，
则y与x的函数关系式为$\boldsymbol{y=\frac{8}{x}}$。
将$x=2$，$y=4$代入解析式，得：
$4=\frac{k}{2}$，
解得$k=8$，
则y与x的函数关系式为$\boldsymbol{y=\frac{8}{x}}$。
解析
【分析】
要确定反比例函数的关系式，首先需明确反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，其中k为待定系数。题目给出了x和y的一组对应值，我们只需将该组值代入一般形式求出k的取值，再将k代回一般式，即可得到所求的函数关系式。
【解析】
解：设y与x的反比例函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=2$，$y=4$代入解析式，得：
$4=\frac{k}{2}$，
解得$k=8$，
则y与x的函数关系式为$y=\frac{8}{x}$。
【答案】
$y=\frac{8}{x}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查用待定系数法求反比例函数解析式，掌握反比例函数的一般形式是解题的前提，属于需要熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
要确定反比例函数的关系式，首先需明确反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，其中k为待定系数。题目给出了x和y的一组对应值，我们只需将该组值代入一般形式求出k的取值，再将k代回一般式，即可得到所求的函数关系式。
【解析】
解：设y与x的反比例函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=2$，$y=4$代入解析式，得：
$4=\frac{k}{2}$，
解得$k=8$，
则y与x的函数关系式为$y=\frac{8}{x}$。
【答案】
$y=\frac{8}{x}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查用待定系数法求反比例函数解析式，掌握反比例函数的一般形式是解题的前提，属于需要熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
3.若$y=(k^2 + k)x^{k^2 -k -1}$是反比例函数，则k的值为.
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y = ax^{-1}$（$a≠0$），需同时满足两个条件：①自变量$x$的指数为$-1$；②自变量的系数不为0。解题时先根据指数为$-1$列方程求出$k$的候选值，再代入系数验证，排除系数为0的情况，即可得到正确的$k$值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列条件如下：
1. 自变量的指数满足：$k^2 - k - 1 = -1$
整理方程得：$k^2 - k = 0$，因式分解为$k(k - 1) = 0$，解得$k = 0$或$k = 1$。
2. 自变量的系数满足：$k^2 + k ≠ 0$
分别代入候选值检验：
当$k = 0$时，$k^2 + k = 0 + 0 = 0$，不符合系数不为0的要求，舍去；
当$k = 1$时，$k^2 + k = 1 + 1 = 2 ≠ 0$，符合要求。
综上，$k$的值为1。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
反比例函数的定义、一元二次方程的解法、代数式检验
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略反比例函数中系数不为0的隐含条件，直接将解方程得到的$k=0$作为答案，解题时要牢记概念的限制条件，求出结果后及时检验，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y = ax^{-1}$（$a≠0$），需同时满足两个条件：①自变量$x$的指数为$-1$；②自变量的系数不为0。解题时先根据指数为$-1$列方程求出$k$的候选值，再代入系数验证，排除系数为0的情况，即可得到正确的$k$值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列条件如下：
1. 自变量的指数满足：$k^2 - k - 1 = -1$
整理方程得：$k^2 - k = 0$，因式分解为$k(k - 1) = 0$，解得$k = 0$或$k = 1$。
2. 自变量的系数满足：$k^2 + k ≠ 0$
分别代入候选值检验：
当$k = 0$时，$k^2 + k = 0 + 0 = 0$，不符合系数不为0的要求，舍去；
当$k = 1$时，$k^2 + k = 1 + 1 = 2 ≠ 0$，符合要求。
综上，$k$的值为1。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
反比例函数的定义、一元二次方程的解法、代数式检验
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略反比例函数中系数不为0的隐含条件，直接将解方程得到的$k=0$作为答案，解题时要牢记概念的限制条件，求出结果后及时检验，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
4.已知函数$y=\frac{m(m+1)}{x}$是反比例函数，则m必须满足的条件是()
A.$m≠-1$
B.$m≠0$或$m≠-1$
C.$m≠0$
D.$m≠0$且$m≠-1$
A.$m≠-1$
B.$m≠0$或$m≠-1$
C.$m≠0$
D.$m≠0$且$m≠-1$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数。本题的核心是保证反比例函数的比例系数不为0，即$m(m+1)≠0$，再根据乘积不为0的条件推导m的取值范围即可。
【解析】
根据反比例函数的定义可知，函数$y=\frac{k}{x}$中比例系数$k$需满足$k$为常数且$k≠0$。
本题中比例系数$k=m(m+1)$，因此需满足：
$m(m+1)≠0$
根据“若两个数的乘积不为0，则两个数都不能为0”，可得：
$m≠0$且$m+1≠0$
解得$m≠0$且$m≠-1$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 因式乘积不为零的条件
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考察题，易错点有两个：一是忽略比例系数不能为0的要求，二是将“且”误记为“或”，需注意乘积不为0时两个因式需同时满足不为0的条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数。本题的核心是保证反比例函数的比例系数不为0，即$m(m+1)≠0$，再根据乘积不为0的条件推导m的取值范围即可。
【解析】
根据反比例函数的定义可知，函数$y=\frac{k}{x}$中比例系数$k$需满足$k$为常数且$k≠0$。
本题中比例系数$k=m(m+1)$，因此需满足：
$m(m+1)≠0$
根据“若两个数的乘积不为0，则两个数都不能为0”，可得：
$m≠0$且$m+1≠0$
解得$m≠0$且$m≠-1$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 因式乘积不为零的条件
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考察题，易错点有两个：一是忽略比例系数不能为0的要求，二是将“且”误记为“或”，需注意乘积不为0时两个因式需同时满足不为0的条件。
【难度系数】
0.7
5.若y与-3x成反比例，x与z成正比例，则
y是z的()
A.正比例函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.不能确定
y是z的()
A.正比例函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.不能确定
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确正比例函数、反比例函数的定义，先根据y与-3x成反比例设出对应的函数表达式，再根据x与z成正比例设出x和z的函数表达式，最后将x的表达式代入y的表达式中消去x，整理后根据函数定义判断y和z的函数类型即可。
【解析】
解：①根据反比例函数的定义：若两个量成反比例，则可表示为$ y=\frac{k}{a} $（k为常数，$ k≠0 $）。
∵ y与-3x成反比例
∴ 设$ y = \frac{k_1}{-3x} $（$ k_1 $为常数，$ k_1 ≠ 0 $）
②根据正比例函数的定义：若两个量成正比例，则可表示为$ a = k b $（k为常数，$ k≠0 $）。
∵ x与z成正比例
∴ 设$ x = k_2 z $（$ k_2 $为常数，$ k_2 ≠ 0 $）
③将$ x = k_2 z $代入$ y = \frac{k_1}{-3x} $中得：
$ y = \frac{k_1}{-3 · k_2 z} = \frac{-\frac{k_1}{3k_2}}{z} $
令$ k = -\frac{k_1}{3k_2} $，显然k是不为0的常数，符合反比例函数$ y=\frac{k}{z} $（$ k≠0 $）的形式，因此y是z的反比例函数。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的概念；正比例函数的概念；函数关系转化
【点评】
本题重点考查正比例、反比例函数定义的应用，解题的核心是正确设出两类函数的表达式，通过代换消去中间变量x，推导过程中要注意比例系数不为0的隐含要求，避免忽略限制条件判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确正比例函数、反比例函数的定义，先根据y与-3x成反比例设出对应的函数表达式，再根据x与z成正比例设出x和z的函数表达式，最后将x的表达式代入y的表达式中消去x，整理后根据函数定义判断y和z的函数类型即可。
【解析】
解：①根据反比例函数的定义：若两个量成反比例，则可表示为$ y=\frac{k}{a} $（k为常数，$ k≠0 $）。
∵ y与-3x成反比例
∴ 设$ y = \frac{k_1}{-3x} $（$ k_1 $为常数，$ k_1 ≠ 0 $）
②根据正比例函数的定义：若两个量成正比例，则可表示为$ a = k b $（k为常数，$ k≠0 $）。
∵ x与z成正比例
∴ 设$ x = k_2 z $（$ k_2 $为常数，$ k_2 ≠ 0 $）
③将$ x = k_2 z $代入$ y = \frac{k_1}{-3x} $中得：
$ y = \frac{k_1}{-3 · k_2 z} = \frac{-\frac{k_1}{3k_2}}{z} $
令$ k = -\frac{k_1}{3k_2} $，显然k是不为0的常数，符合反比例函数$ y=\frac{k}{z} $（$ k≠0 $）的形式，因此y是z的反比例函数。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的概念；正比例函数的概念；函数关系转化
【点评】
本题重点考查正比例、反比例函数定义的应用，解题的核心是正确设出两类函数的表达式，通过代换消去中间变量x，推导过程中要注意比例系数不为0的隐含要求，避免忽略限制条件判断错误。
【难度系数】
0.7
6.已知$y$与$x+1$成反比例，且比例系数为3，则$y$与$x$的函数关系式是（）
A.$y=\dfrac{3}{x}+1$
B.$y=\dfrac{3}{x+1}$
C.$y=3(x+1)$
D.以上都不对
A.$y=\dfrac{3}{x}+1$
B.$y=\dfrac{3}{x+1}$
C.$y=3(x+1)$
D.以上都不对
答案
B
解析
【分析】
首先回忆成反比例的定义：若两个量A与B成反比例，则满足关系式$A=\frac{k}{B}$（$k$为不等于0的常数，叫做比例系数）。本题明确y与$x+1$成反比例，比例系数是3，我们只需把A替换为y，B替换为$x+1$，k替换为3，就能直接得到y与x的函数关系式，再对应选项判断即可。
【解析】
根据成反比例的定义：如果两个量成反比例，那么它们的关系式为$A=\frac{k}{B}$（$k≠0$，k是比例系数）。
已知y与$x+1$成反比例，比例系数$k=3$，将对应量代入得：
$y=\frac{3}{x+1}$
对比选项，B选项符合该关系式。
【答案】
B
【知识点】
反比例的定义，反比例函数解析式确定
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是明确成反比例的对象是$x+1$这个整体，不要误当成y与x直接成反比例，掌握基本定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先回忆成反比例的定义：若两个量A与B成反比例，则满足关系式$A=\frac{k}{B}$（$k$为不等于0的常数，叫做比例系数）。本题明确y与$x+1$成反比例，比例系数是3，我们只需把A替换为y，B替换为$x+1$，k替换为3，就能直接得到y与x的函数关系式，再对应选项判断即可。
【解析】
根据成反比例的定义：如果两个量成反比例，那么它们的关系式为$A=\frac{k}{B}$（$k≠0$，k是比例系数）。
已知y与$x+1$成反比例，比例系数$k=3$，将对应量代入得：
$y=\frac{3}{x+1}$
对比选项，B选项符合该关系式。
【答案】
B
【知识点】
反比例的定义，反比例函数解析式确定
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是明确成反比例的对象是$x+1$这个整体，不要误当成y与x直接成反比例，掌握基本定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 下列函数解析式中,是反比例函数的有哪些?
(1)$xy=\dfrac{1}{2}$;
(2)$y=\dfrac{2}{-5x}$;
(3)$y=\dfrac{2k}{x}$;
(4)$xy=\dfrac{1}{π}$.
(1)$xy=\dfrac{1}{2}$;
(2)$y=\dfrac{2}{-5x}$;
(3)$y=\dfrac{2k}{x}$;
(4)$xy=\dfrac{1}{π}$.
答案
解：反比例函数的定义为形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数。
(1) 对$xy=\frac{1}{2}$变形可得$y=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，其中常数$k=\frac{1}{2}≠0$，符合反比例函数定义，是反比例函数。
(2) 对$y=\frac{2}{-5x}$变形可得$y=\frac{-\frac{2}{5}}{x}$，其中常数$k=-\frac{2}{5}≠0$，符合反比例函数定义，是反比例函数。
(3) $y=\frac{2k}{x}$中未说明$k$是不为0的常数，当$k=0$时函数为$y=0$，不符合反比例函数要求，因此它不是反比例函数。
(4) 对$xy=\frac{1}{π}$变形可得$y=\frac{\frac{1}{π}}{x}$，其中常数$k=\frac{1}{π}≠0$，符合反比例函数定义，是反比例函数。
综上，是反比例函数的为(1)(2)(4)。
(1) 对$xy=\frac{1}{2}$变形可得$y=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，其中常数$k=\frac{1}{2}≠0$，符合反比例函数定义，是反比例函数。
(2) 对$y=\frac{2}{-5x}$变形可得$y=\frac{-\frac{2}{5}}{x}$，其中常数$k=-\frac{2}{5}≠0$，符合反比例函数定义，是反比例函数。
(3) $y=\frac{2k}{x}$中未说明$k$是不为0的常数，当$k=0$时函数为$y=0$，不符合反比例函数要求，因此它不是反比例函数。
(4) 对$xy=\frac{1}{π}$变形可得$y=\frac{\frac{1}{π}}{x}$，其中常数$k=\frac{1}{π}≠0$，符合反比例函数定义，是反比例函数。
综上，是反比例函数的为(1)(2)(4)。
解析
【分析】
要判断给定函数是否为反比例函数，首先需明确反比例函数的核心判定依据：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数为反比例函数，也可变形为$xy=k$（$k$为非零常数）的形式。解题时先对每个解析式做变形处理，再验证两个要点：①变形后是否符合反比例函数的形式；②比例系数$k$是否为确定的、不为0的常数，逐一判断即可得到结论。
【解析】
反比例函数的定义为形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数，也可转化为$xy=k$（$k≠0$）的形式，据此逐个判断：
(1) 对$xy=\frac{1}{2}$变形可得$y=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，其中常数$k=\frac{1}{2}≠0$，符合反比例函数定义，是反比例函数。
(2) 对$y=\frac{2}{-5x}$变形可得$y=\frac{-\frac{2}{5}}{x}$，其中常数$k=-\frac{2}{5}≠0$，符合反比例函数定义，是反比例函数。
(3) $y=\frac{2k}{x}$中未说明$k$是不为0的常数，当$k=0$时函数为$y=0$，属于常函数，不符合反比例函数要求，因此它不是反比例函数。
(4) 对$xy=\frac{1}{π}$变形可得$y=\frac{\frac{1}{π}}{x}$，其中$π$是固定常数，故$k=\frac{1}{π}≠0$，符合反比例函数定义，是反比例函数。
综上，是反比例函数的为(1)(2)(4)。
【答案】
(1)(2)(4)
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 反比例函数的变形形式
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考察题，解题关键是准确把握反比例函数的两个核心要求：一是比例系数$k$必须是确定的非零常数，二是要熟悉反比例函数的多种表达形式，避免误判未说明参数取值的函数，或是把常数$π$当成变量导致出错。
【难度系数】
0.7
要判断给定函数是否为反比例函数，首先需明确反比例函数的核心判定依据：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数为反比例函数，也可变形为$xy=k$（$k$为非零常数）的形式。解题时先对每个解析式做变形处理，再验证两个要点：①变形后是否符合反比例函数的形式；②比例系数$k$是否为确定的、不为0的常数，逐一判断即可得到结论。
【解析】
反比例函数的定义为形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数，也可转化为$xy=k$（$k≠0$）的形式，据此逐个判断：
(1) 对$xy=\frac{1}{2}$变形可得$y=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，其中常数$k=\frac{1}{2}≠0$，符合反比例函数定义，是反比例函数。
(2) 对$y=\frac{2}{-5x}$变形可得$y=\frac{-\frac{2}{5}}{x}$，其中常数$k=-\frac{2}{5}≠0$，符合反比例函数定义，是反比例函数。
(3) $y=\frac{2k}{x}$中未说明$k$是不为0的常数，当$k=0$时函数为$y=0$，属于常函数，不符合反比例函数要求，因此它不是反比例函数。
(4) 对$xy=\frac{1}{π}$变形可得$y=\frac{\frac{1}{π}}{x}$，其中$π$是固定常数，故$k=\frac{1}{π}≠0$，符合反比例函数定义，是反比例函数。
综上，是反比例函数的为(1)(2)(4)。
【答案】
(1)(2)(4)
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 反比例函数的变形形式
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考察题，解题关键是准确把握反比例函数的两个核心要求：一是比例系数$k$必须是确定的非零常数，二是要熟悉反比例函数的多种表达形式，避免误判未说明参数取值的函数，或是把常数$π$当成变量导致出错。
【难度系数】
0.7
8.已知函数$y=(m^2+2m)x^{m^2+m-1}$。
(1)若$y$是$x$的正比例函数，求$m$的值；
(2)若$y$是$x$的反比例函数，求该反比例函数的解析式。
(1)若$y$是$x$的正比例函数，求$m$的值；
(2)若$y$是$x$的反比例函数，求该反比例函数的解析式。
答案
解：
(1) 由正比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 + m - 1 = 1 \\m^2 + 2m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 + m -1 =1$，整理得$m^2 + m -2=0$，
因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$。
解不等式$m^2 + 2m ≠ 0$，得$m(m+2)≠0$，即$m≠0$且$m≠-2$。
综上，$m=1$。
(2) 由反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 + m -1 = -1 \\m^2 + 2m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 + m -1 = -1$，整理得$m^2 + m =0$，
因式分解得$m(m+1)=0$，解得$m=0$或$m=-1$。
解不等式$m^2 + 2m ≠ 0$，得$m≠0$且$m≠-2$。
所以$m=-1$，此时系数$m^2+2m=(-1)^2 + 2×(-1) = -1$，
因此该反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{1}{x}$。
(1) 由正比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 + m - 1 = 1 \\m^2 + 2m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 + m -1 =1$，整理得$m^2 + m -2=0$，
因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$。
解不等式$m^2 + 2m ≠ 0$，得$m(m+2)≠0$，即$m≠0$且$m≠-2$。
综上，$m=1$。
(2) 由反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 + m -1 = -1 \\m^2 + 2m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 + m -1 = -1$，整理得$m^2 + m =0$，
因式分解得$m(m+1)=0$，解得$m=0$或$m=-1$。
解不等式$m^2 + 2m ≠ 0$，得$m≠0$且$m≠-2$。
所以$m=-1$，此时系数$m^2+2m=(-1)^2 + 2×(-1) = -1$，
因此该反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{1}{x}$。
解析
【分析】
要解决本题，需紧扣正比例函数和反比例函数的定义，两类函数都需同时满足两个条件：一是自变量x的指数符合对应函数的要求，二是x的系数不能为0（否则函数无意义）。解题时先根据函数定义列出关于m的方程和不等式，先解方程得到m的候选值，再结合不等式排除不符合要求的取值，即可得到正确的m值，第二问求出m后代入系数就能得到反比例函数解析式。
【解析】
(1) 由正比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 + m - 1 = 1 \\m^2 + 2m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 + m -1 =1$，整理得$m^2 + m -2=0$，
因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$。
解不等式$m^2 + 2m ≠ 0$，因式分解得$m(m+2)≠0$，即$m≠0$且$m≠-2$。
综上，$m=1$。
(2) 由反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 + m -1 = -1 \\m^2 + 2m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 + m -1 = -1$，整理得$m^2 + m =0$，
因式分解得$m(m+1)=0$，解得$m=0$或$m=-1$。
解不等式$m^2 + 2m ≠ 0$，得$m≠0$且$m≠-2$。
所以$m=-1$，此时系数$m^2+2m=(-1)^2 + 2×(-1) = -1$，
因此该反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{1}{x}$。
【答案】
(1) $m=1$；(2) $y=-\dfrac{1}{x}$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，一元二次方程求解
【点评】
本题是基础概念类题型，解题的关键是牢记正比例、反比例函数的定义，尤其不要忽略系数不为0的隐含限制，避免漏看条件出现多解错误。
【难度系数】
0.75
要解决本题，需紧扣正比例函数和反比例函数的定义，两类函数都需同时满足两个条件：一是自变量x的指数符合对应函数的要求，二是x的系数不能为0（否则函数无意义）。解题时先根据函数定义列出关于m的方程和不等式，先解方程得到m的候选值，再结合不等式排除不符合要求的取值，即可得到正确的m值，第二问求出m后代入系数就能得到反比例函数解析式。
【解析】
(1) 由正比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 + m - 1 = 1 \\m^2 + 2m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 + m -1 =1$，整理得$m^2 + m -2=0$，
因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$。
解不等式$m^2 + 2m ≠ 0$，因式分解得$m(m+2)≠0$，即$m≠0$且$m≠-2$。
综上，$m=1$。
(2) 由反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 + m -1 = -1 \\m^2 + 2m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 + m -1 = -1$，整理得$m^2 + m =0$，
因式分解得$m(m+1)=0$，解得$m=0$或$m=-1$。
解不等式$m^2 + 2m ≠ 0$，得$m≠0$且$m≠-2$。
所以$m=-1$，此时系数$m^2+2m=(-1)^2 + 2×(-1) = -1$，
因此该反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{1}{x}$。
【答案】
(1) $m=1$；(2) $y=-\dfrac{1}{x}$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，一元二次方程求解
【点评】
本题是基础概念类题型，解题的关键是牢记正比例、反比例函数的定义，尤其不要忽略系数不为0的隐含限制，避免漏看条件出现多解错误。
【难度系数】
0.75
9.为完善基础设施，某社区计划硬化一段长为6 km的路面.
(1)求完成硬化路面的天数y(单位:天)与每日硬化路面的长度x(单位:km)之间的函数关系式；
(2)若每日能硬化路面0.2 km，共需要多少天才能完成硬化路面的任务？
(1)求完成硬化路面的天数y(单位:天)与每日硬化路面的长度x(单位:km)之间的函数关系式；
(2)若每日能硬化路面0.2 km，共需要多少天才能完成硬化路面的任务？
答案
解：
(1) 由题意可得：$xy=6$，
整理得函数关系式为 $y=\frac{6}{x}\ (x＞0)$。
(2) 把$x=0.2$代入$y=\frac{6}{x}$，得
$y=\frac{6}{0.2}=30$。
答：共需要30天才能完成硬化路面的任务。
(1) 由题意可得：$xy=6$，
整理得函数关系式为 $y=\frac{6}{x}\ (x＞0)$。
(2) 把$x=0.2$代入$y=\frac{6}{x}$，得
$y=\frac{6}{0.2}=30$。
答：共需要30天才能完成硬化路面的任务。
解析
【分析】
(1) 首先结合工程问题的核心等量关系：工作总量=工作效率×工作时间分析，本题中工作总量为固定的6km，工作效率是每日硬化长度x km，工作时间为y天，代入等量关系整理即可得到函数关系式，同时要注意x表示每日硬化的长度，取值必须大于0。
(2) 第二问已知每日硬化长度即x的取值，直接将x=0.2代入第一问求出的函数关系式中，计算即可得到对应的工作时长y。
【解析】
(1) 根据“工作总量=工作效率×工作时间”可得：$xy=6$，
整理得函数关系式为 $y=\frac{6}{x}\ (x＞0)$。
(2) 把$x=0.2$代入$y=\frac{6}{x}$，得：
$y=\frac{6}{0.2}=30$。
答：共需要30天才能完成硬化路面的任务。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}\ (x＞0)$；
(2) 30天
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 代入法求函数值
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题关键是找准工程问题的等量关系建立函数表达式，再代入数值计算即可，考查的都是基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.9
(1) 首先结合工程问题的核心等量关系：工作总量=工作效率×工作时间分析，本题中工作总量为固定的6km，工作效率是每日硬化长度x km，工作时间为y天，代入等量关系整理即可得到函数关系式，同时要注意x表示每日硬化的长度，取值必须大于0。
(2) 第二问已知每日硬化长度即x的取值，直接将x=0.2代入第一问求出的函数关系式中，计算即可得到对应的工作时长y。
【解析】
(1) 根据“工作总量=工作效率×工作时间”可得：$xy=6$，
整理得函数关系式为 $y=\frac{6}{x}\ (x＞0)$。
(2) 把$x=0.2$代入$y=\frac{6}{x}$，得：
$y=\frac{6}{0.2}=30$。
答：共需要30天才能完成硬化路面的任务。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}\ (x＞0)$；
(2) 30天
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 代入法求函数值
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题关键是找准工程问题的等量关系建立函数表达式，再代入数值计算即可，考查的都是基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.9
